База учебников, документов и методических разработок

Воспользуйтесь поиском и введите свой вопрос в форме ниже!

Математика

Основы социологии и политологии
СОДЕРЖАНИЕ

Наименование разделов стр.
1. Введение 4
2. Образовательный маршрут по дисциплине 6
3. Содержание дисциплины 7
4. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины 35
5. Глоссарий 36
6. Информационное обеспечение дисциплины 38


Введение
УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине (далее УМКД) МАТЕМАТИКА создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине. УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия курса приведены в глоссарии.
После изучения теоретического блока приведен перечень практических работ, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине, поэтому, в случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине, Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу.
В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая чтение текста (учебник), поиск и чтение текста в интернет-ресурсах, конспектирование текста, выписки из текста, повторная работа над учебным материалом, с конспектом лекции, ответы на контрольные вопросы, подготовка к выполнению аудиторных контрольных работ, поиск информации по теме с последующим ее представлением в аудитории в форме доклада, презентаций, решение задач и упражнений по образцу, подготовка к зачету.
Содержание рубежного контроля (точек рубежного контроля) составлено на основе вопросов самоконтроля, приведенных по каждой теме. По итогам изучения дисциплины проводится дифференцированный зачет.
В зачетную книжку выставляется дифференцированная оценка. Зачет выставляется на основании оценок за практические работы и точки рубежного контроля. В результате освоения дисциплины обучающийся должен
уметь:
использовать математические методы при решении прикладных (профессиональных) задач;
анализировать результаты измерения величин с допустимой погрешностью, представлять их графически;
выполнять приближенные вычисления;
проводить элементарную статистическую обработку информации и результатов исследований;

В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
понятие множества, отношения между множествами, операции над ними;
способы обоснования истинности высказываний;
понятие положительной скалярной величины, процесс ее измерения;
стандартные единицы величин и соотношения между ними;
правила приближенных вычислений;
методы математической статистики
В результате освоения дисциплины у Вас должны формироваться следующие компетенции:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.
ПК 1.3. Проводить лабораторно-практические занятия в аудиториях, учебно-производственных мастерских и в организациях.
ПК 3.1. Разрабатывать учебно-методические материалы (рабочие программы, учебно-тематические планы) на основе примерных.
ПК 4.2.Участвовать в разработке и внедрении технологических процессов.
ПК 4.3. Разрабатывать и оформлять техническую и технологическую документацию.

Учебный курс дисциплины состоит из фиксированного в учебном плане количества теоретических и практических часов, часов самостоятельной работы студентов, а также итоговых форм контроля.
Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете прийти на дополнительные занятия к преподавателю, которые проводятся согласно графику. Время проведения консультаций Вы сможете узнать у преподавателя.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Вид учебной работы Объем часов
Максимальная учебная нагрузка (всего) 72
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) 48
в том числе:
лабораторные работы
практические занятия 24
контрольные работы
курсовая работа
Самостоятельная работа обучающегося (всего) 24

Желаем Вам удачи!

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел №1 Приближенные вычисления и правила их вычисления
План изучения темы:
Понятие положительной скалярной величины.
Стандартные единицы величин и соотношения между ними.
Правила приближенных вычислений.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Основные положения:
1) Любые две величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Имеют место отношения «равно»,»меньше» и «больше»,и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: АB.
Пример: масса яблока меньше массы арбуза.
2) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если AB.
Пример: если А-длина отрезка a, В-длина отрезка b, то С=А-В- это длина отрезка c.
5) Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В= x∙A , В- произведение величины А на число х.
Пример: если А-масса одного яблока, то умножив А на число х=3,получим величину В=3 х А — массу трех яблок.
6) Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.
Частным величин А и В называется такое положительное действительное число
х = А:В, что А = х х В.
Пример: если А-длина отрезка а, В-длина отрезка b и отрезок А состоит из 4-х отрезков равных b, то А:В=4,т.к А = 4 х В.
Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью- их можно оценивать количественно.
Выбирают величину, которую называют единицей измерения-Е.
Если задана величина А и выбрана единица величины Е, то измерить величину А-это значит найти такое положительное действительное число х, что А= х х Е.
Число х- численное значение величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше(меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.
Если А = х х Е, то число х называют мерой величины А при единице Е и пишут
х= mE(А)
Если А = х х Е, то число х называют мерой величины А при единице Е и пишут х= mE(А)
Пример: А-длина отрезка а, Е-длина отрезка b, то А=4 х Е.число 4-это мера длины А при единице длины Е.
Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.
Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.
Положительная скалярная величина — скалярная величина, которая при выбранной единице измерения принимает только положительные численные значения.
Пример: площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.
Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода или разнородными величинами.
Пример: длина и масса-это разнородные величины.

Правила приближенных вычислений
Очень часто неопытные лица добиваются при вычислениях получения такой точности результата, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это приводит к бесполезной затрате труда и времени.
Рассмотрим такой случай.
Пусть при решении задачи требуется вычислить плотность вещества некоторого тела. Заданы масса тела и его объём . Важно отметить, что исходные данные имеют три значащие цифры.
Справка. Значащими цифрами называют все цифры, кроме нуля, а также и нуль в двух случаях: 1) когда он стоит между значащими цифрами; 2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единиц соответствующего разряда в данном числе не имеется. Например, числа , , имеют три значащих цифры.
Без критического подхода к вычислениям можно для искомой плотности вещества получить такой результат
.
Записанный результат имеет шесть значащих цифр. Однако достоверными могут считаться только три первые значащие цифры, что соответствует точности исходных данных. Следовательно, полученный результат необходимо округлить и представить в виде
.
Приближенные вычисления следует проводить с соблюдением следующих правил.
При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных.
Например, при сложении чисел

следует сумму округлить до сотых долей, приняв равной .
При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.
Например, вместо вычисления выражения

следует вычислять выражение
.
В окончательном результате следует оставлять такое же количество значащих цифр, какое имеется в сомножителях, после их округления.
В промежуточных результатах надо сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило соблюдается и при делении приближенных чисел.
При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.
Например,
.
При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении.
Например,
.
При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий.
Например,
.
Сомножитель имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:
.
После округления результата до двух значащих цифр окончательно получаем .
В заключение отметим, что указанные правила приближенных вычислений следует использовать не только при решении задач, но и при обработке результатов измерений в процессе выполнения лабораторных работ.

Практические занятия
Пр №1-3
Выполнить задание
Выполнить задание
Измерить все стороны предложенного кирпича, записать результат в мм.
Найти площадь каждой грани кирпича, результат записать в см2.
Найти объем кирпича, результат записать в м3.
Зарисовать кирпич и отметить его размеры.
Применяя математические вычисления, решите профессиональную задачу: Какой должна быть минимальная ширина кладки в кирпичах, чтобы можно было ее выполнять стоя на стене?
Измерить стену №1 в кабинете и найти ее площадь.
Рассчитать количество рулонов обоев для измеряемой стены. (Рулон 60см*10м).
Рассчитать расход линолеума для кабинета, в котором проходит урок.
3,14 является приближенным значением числа p, определить его погрешность, абсолютную погрешность, относительную погрешность.
Задания для самостоятельного выполнения
Доклад на тему «Развитие стандартизации в измерениях».
Оформление конспекта.
Выполнение домашнего задания.
Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
Оценка доклада или выступления
Проверка конспекта.
Проверка домашнего задания.
Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме:
Понятие положительной скалярной величины.
Стандартные единицы величин и соотношения между ними.
Правила приближенных вычислений.

Раздел №2. Дифференциальное исчисление
План изучения темы:
Понятие производной функции, таблица производных простейших функций.
Правила дифференцирования
Геометрический и механический смысл производной.
Исследование функции с помощью производной (нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции).
Решение практических задач на максимум и минимум.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Определение. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке ,
и обозначают его .
т.е.
Правила дифференцирования

Таблица производных
Функция Производная Функция Производная

Геометрический смысл производной
Если функция, и касательная проведенная к функции в точке , то , где — угол наклона касательной с осью OX (с ее положительным направлением)

Физический смысл производной
Если — закон, описывающий некоторый процесс (например скорость движения тела), то — мгновенная скорость протекания этого процесса, т.е. скорость в момент времени .
Экономический смысл производной
Если — отражает количество произведенной продукции в зависимости от времени, тогда — производительность труда в момент времени .
Применение производной к исследованию функции для построения ее графика.
Схема исследования
Найти область определения функции (все значения аргумента x, при которых функция существует)
Определить четность/нечетность функции: если f(-х)=f(х), то функция четная (графики четных функций симметричны относительно оси OY); если f(-х)=-f(х), то функция нечетная (графики нечетных функций симметричны относительно начала координат).
Найти нули функции, т.е. точки пересечения графика с осью OX (приравнять уравнение функции к нулю и решить получавшееся уравнение).
Найти точки пересечения с осью OY (в уравнение функции вместо x подставить ноль и вычислить).
Исследовать функцию на наличие асимптот.
Если , то прямая является горизонтальной асимптотой;
Если (т.е. является дробно рациональной функцией) и при знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то вертикальная асимптота.
Исследовать функцию на монотонность и точки экстремума
Подробное описание Краткая запись
Найти производную функции
Найти критические точки, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
На числовую прямую нанести точки из пункта 2 и определить знак производной на каждом получившемся промежутке; сделать вывод о промежутках возрастания и убывания, точках максимума и минимума.
Вычислить значение функции в точках максимума и минимума. Найти
Найти такие значения , для которых или не существует.

Вычислить

Учитывая полученные в ходе исследования свойства построить график функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
Найти производную функции.
Найти критические точки, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
Из точек, найденных в пункте 2 выбрать те, которые принадлежат заданному отрезку.
Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.
Из найденных значений в пункте 4 выбрать наибольшее – это и будет наибольшее значение функции и наименьшее – это и будет наименьшее значение функции на отрезке.
Практические занятия
№ 4. Решение практических задач с использованием производной. Исследование функции с помощью производной и построение ее графика.
Исследовать функцию и построить ее график
1.
2.
3.

№ 5-6. Решение практических задач с использованием производной Решение практических задач на максимум и минимум.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Какой длины должны быть стороны прямоугольно участка, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 300 вписан прямоугольник, стороны которого лежит на гипотенузе. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Задания для самостоятельного выполнения
Доклад на тему «Применение производной в профессиональной деятельности».
Оформление конспекта.
Выполнение домашнего задания.
Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
Оценка доклада или выступления
Проверка конспекта.
Проверка домашнего задания.
Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме:
Схема исследования функции (правило нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции).
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Понятие производной функции.
Таблица производных простейших функций.
Правила дифференцирования.
Геометрический и механический смысл производной.

Раздел 3. Интегральное исчисление
План изучения темы:
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, метод подстановки.
Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Понятие криволинейной трапеции.
Примеры криволинейных трапеций
Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов.
Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. , где F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного интеграла:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач ознакомьтесь с таблицей интегралов.

Примечание. Формулы верны, когда х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х=х(t).
Методом замены переменной (подстановкой).
При этом вводится новая переменная t=(x) , которая является функцией от x. Если новая переменная введена удачно, то в результате замены получаем табличные интегралы.
Некоторые рекомендации по введению новой переменной смотрите ниже в примерах.
Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:

Пример 1.
Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t часто удобно принимать показатель степени, если к тому же под интегралом присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя.

В конце возвращаемся к старой переменной, подставив вместо t выражение (-x3).
Проверка: Если интеграл взят правильно, то производная от полученного результата равна подынтегральной функции:
,
что и требовалось доказать.
Пример 2.
Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то часто удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует к тому же и производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).

Проверка:

Пример 3.
Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции.

Проверка:

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется прирощение первообразной F(x) для этой функции,
то есть baf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x) ba .
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница.

где F(х) – первообразная для , то есть ;
a и b — пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.
Обратите внимание на то, что определенный интеграл – это число, в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах.
Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции
Ключевые слова: площадь, криволинейная трапеция, интеграл, первообразная, график функции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Примеры криволинейных трапеций

Вычисление площадей плоских фигур
Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).
Примеры плоских фигур

Рассмотрим применение определенного интеграла на примере.
Пример
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=x2-6x+5 и прямой y = x-1. Сделать чертеж.
Решение.
Построим параболу и прямую.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

тогда
Итак, вершина параболы в точке (3;-4).
Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда
х2-6х+5=0, откуда х1=1; х2=5, то есть точки (1;0) и (5;0).
Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5).
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх (рис. 9).
Прямую y=х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0).
Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

где функции ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при
В нашей задаче
Поэтому:

Ответ:
Площадь искомой криволинейной трапеции:

Практические занятия
№7 Вычисление неопределенного и определенного интеграла
Вычислить неопределенные интегралы
1.
2.
3.
4.

Вычислить определенные интегралы
1.
2.
3.
4.

№8-9 Применение определенного интеграла
к решению практических задач.
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями, сделать чертеж.
у = х2 — 6х + 7; у = х + 1 у = -х2 + 6х -5; у = х – 5 у = х2 — 6х + 7; у = -х + 7

Задания для самостоятельного выполнения
Подобрать практические примеры применения определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
Оформление конспекта.
Выполнение домашнего задания.
Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
Проверка конспекта.
Проверка домашнего задания.
Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме
Первообразная и неопределенный интеграл.
Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
Вычисления неопределенного интеграла непосредственным интегрированием.
Вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.
Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисления определенного интеграла непосредственным интегрированием.
Вычисления определенного интеграла методом подстановки.
Понятие криволинейной трапеции.
Примеры криволинейных трапеций.
Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов.
Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла.

Раздел 4. Основы дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики.
План изучения темы:
Понятие множества.
Операции над множествами.
Понятие вероятности.
Элементы комбинаторики.
Решение простейших вероятностных задач.
Основы математической статистики (статистическое исследование, ряд распределения, числовые характеристики ряда распределения).
Выполнение простейших статистических исследований с расчетом основным числовых характеристик ряда распределения.
Краткое изложение теоретических вопросов:


Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.
Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е.
.
Привило умножения
Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать способами, то оба объекта (x иy) в указанном порядке можно выбрать способами.
Пример
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если
а) цифры не повторяются;
б) цифры могут повторяться
Решение
а) Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном в числе). После того как первое место занято, осталось 4 цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор их трех цифр. Таким образом:
б) если цифры могут повторяться, то для каждого места в трехзначном числе 5 цифр. Таким образом: .
Правило суммы
Если некоторый объект x можно выбрать способами, а объект y можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x илиy) можно выбрать способами.
Пример
В группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола.
Решение
Двух девушек можно выбрать (используя правило умножения) способами. Двух юношей можно выбрать (используя правило умножения) 6 способами. Чтобы найти общее число способов воспользуемся правилом суммы: 182+30=212 способов.
Схема выбора без возвращений.
(Выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, состоящее изn элементов)
Размещением из nэлементов по m элементов ( ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения).
Количество размещений вычисляется по формуле
Пример
Сколькими способами можно составить двузначное число из цифр 1,2,3,4,5,6, если цифры не повторяются.
Решение
Т.к. цифры не повторяются, а порядок цифр важен, то это – размещения.
.
Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов (элементы не выбираются, а переставляются местами внутри множества).
Количество перестановок вычисляется по формуле
Пример
Сколькими способами можно составить шестизначное число из цифр 1,2,3,4,5,6, если цифры не повторяются.
Решение
Т.к. цифры не выбираются, а только переставляются, то это — перестановки.
.
Сочетанием из n элементов по m элементов ( ) называется любое подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга только составом элементов).
Количество сочетаний вычисляется по формуле
Пример
Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?
Решение
Т.к. порядок выбора не имеет значения, то это – сочетания.
.
Основы статистики
Этапы простейшей обработки данных:
Сбор данных
Упорядочивание и группировка
Составление таблицы распределения
Построение графика распределения (в виде многоугольника, гистограммы)
Вычисление основных числовых характеристик ряда распределения:
5.1. Объем измерения (объем выборки) равен количеству измерений, т.е.
5.2. Размах измерения (размах выборки) равен разности между наибольшим полученным значением и наименьшим).
5.3. Мода (наиболее часто встречающийся результат), определяется по наивысшей частоте.
5.4. Средняя выборочная равна частному от деления суммы всех результатов измерения на объем измерения.
5.5. Медиана равна варианте, находящейся в середине сгруппированного ряда; если в середине находится две варианты, то медиана равна их полусумме.
Номер медианы .
По накопленным частотам, используя номер медианы, находим ее зщначение
5.6. Относительная частота равна частному от деления частоты варианты на объем выборки, т.е.
5.7. Относительная частота в процентах – это относительная частота умноженная на 100%.
Рассмотрим пример
На праздничном вечере среди 50 студентов провели лотерею. Каждый студент задумал число от 0 до 10 и записал его на левой правой половине лотерейного билета Правые половинки билетов остались у их владельцев, а левые передали организатору лотереи. Как разобраться во всей массе этих билетов?
Решение
Упорядочим и сгруппируем билеты по записанным числам
Ответ
Варианта,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Кол-во
Частота,
2 5 3 9 4 10 3 5 3 5 1
Накопленные частоты 2 7 10 19 23 33 36 41 44 49 50
Относительная частота,
0,04 0,1 0,06 0,18 0,08 0,2 0,06 0,1 0,06 0,1 0,02
Относительная частота в процентах,
4 10 6 18 8 20 6 10 6 10 2
Составим график распределения

Составим полигон распределения

Вычислим основные числовые характеристики ряда распределения
Объем выборки= =2+5+3+9+4+10+3+5+3+5+1=50
Размах= =10-0=10
Мода =5 (по наивысшей частоте)
Средняя выборочная

Медиана
Найдем номер медианы округлив получим
Т.к. , находим по накопленной частоте
Относительные частоты вычислим по формуле

Относительные частоты в процентах

Практические занятия
№8 Основы дискретной математики

№10-11 Решение простейших задач на вычисление вероятностей
Решить задачи
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2,7,8, если цифры в числе повторяться не могут?
Сколькими способами можно выбрать трех студентов для участия в семинаре из группы в 25 человек?
Из букв слова МАСТЕР составляются различные четырехбуквенные слова (буквы повторяться не могут). Сколько таких «слов» можно составить?
На четырех одинаковых карточках записаны буквы Р О У К. Карточки перемешали и наугад раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово УРОК?
В вазе 8 гвоздик, 3 хризантемы, и 5 роз. Какова вероятность того, что среди наугад взятых 5 цветков окажется 3 гвоздики, 2 хризантемы и 1 роза?
Пять карточек с цифрами 1,2,3,4,5. Найти вероятность того, что получится число 2341, если наугад одна за другой выбираются четыре карточки.
Их колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 6 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 короля и 4 туза?

№12-14 Выполнение простейших статистических исследований
Провести статистическое исследование в своей группе – опросив, узнать возраст каждого студента, по полученным данным составить таблицу распределения, построить график и полигон распределения возрастов; расчитатьосновные числовые характеристики полученного ряда распределения.
Задания для самостоятельного выполнения
Подготовить доклад на тему «История развития теории вероятностей».
Оформление конспекта.
Выполнение домашнего задания.
Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
Оценка доклада.
Проверка конспекта.
Проверка домашнего задания.
Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме
Понятие вероятности.
Элементы комбинаторики (сочетания, перестановки и размещения в схеме выбора без возвращения).
Основы математической статистики (статистическое исследование, ряд распределения, числовые характеристики ряда распределения).

КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Итоговый контроль по дисциплине
Вопросы к зачету

Понятие производной, правила дифференцирования.
Геометрический и механический смысл производной.
Исследование функции с помощью производной (нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции)
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке с помощью производной.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла, свойства интегралов.
Понятие определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница.
Понятие криволинейной трапеции и формула вычисления ее площади.
Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
Понятие случайного события, понятие вероятности.
Элементы комбинаторики, схема выбора без возвращений (сочетания, перестановки, размещения)
Основные этапы статистического исследования (правила расчета основных числовых характеристик числового ряда).

ГЛОССАРИЙ
Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е. .
Дополнение множества В до множества А состоит из всех элементов, множества А, которые не принадлежат множеству В.
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию.
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Медиана равна варианте, находящейся в середине сгруппированного ряда; если в середине находится две варианты, то медиана равна их полусумме.
Множество – это совокупность объектов, объединенных по какому либо признаку.
Мода – это наиболее часто встречающийся результат, определяется по наивысшей частоте.
Неопределенный интеграл , где F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная.
Объединение двух множеств А и В состоит из элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В, или обоим сразу.
Объем измерения (объем выборки) равен количеству измерений
Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется приращение первообразной F(x) для этой функции,
то есть =F(b)−F(a)=
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Относительная частота в процентах – это относительная частота умноженная на 100%.
Относительная частота равна частному от деления частоты варианты на объем выборки
Пересечение двух множеств А и В состоит из элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов (элементы не выбираются, а переставляются местами внутри множества).
Количество перестановок вычисляется по формуле
Говорят, что А является подмножеством множества S, если каждый элемент множества А автоматически является элементом множества S.
Правило суммы
Если некоторый объект x можно выбрать способами, а объект y можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y) можно выбрать способами.
Правило умножения
Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать способами.
Два множества называются равными, если каждое из них содержится в другом.
Производной функции в точке , Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке ,
и обозначают его .
т.е.
Размах измерения (размах выборки) равен разности между наибольшим полученным значением и наименьшим).
Размещением из n элементов по m элементов ( ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения).
Количество размещений вычисляется по формуле
Симметрическая разность двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые принадлежат либо множеству А либо множеству В, но не одновременно.
Сочетанием из n элементов по m элементов ( ) называется любое подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга только составом элементов).
Количество сочетаний вычисляется по формуле
Скалярная величина – это величина, которая определяется одним численным значением.
Средняя выборочная равна частному от деления суммы всех результатов измерения на объем измерения.
Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.


ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы.

Основные источники (для студентов)
Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М.: Дрофа,2009
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа: 10-11 классы: в 2 ч..ч1 Учебник.ч.2 Задачник. – М.: Мнемозина,2009
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М., 2009.

Дополнительные источники (для студентов)
Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности. Сборник задач: учеб. пособие для вузов.-М.:Дрофа, 2009.
Прикладные задачи по математике, 5-11 классы, Петров В.А., Дрофа, 2010
Комбинаторика Виленкин Н.Я. «МЦНМО», 2013
Математика. Задачи с решениями. Учебное пособие «Дрофа» 2010

Интернет-ресурсы:
i-exam.ru
interneturok.ru
ru.wikipedia.org/wiki/

Ответить

Ваш email нигде не будет опубликован. Обязательные поля отмечены *

Вы можете использовать HTML теги и атрибуты <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>