База учебников, документов и методических разработок

Воспользуйтесь поиском и введите свой вопрос в форме ниже!

Математика

Математика
СОДЕРЖАНИЕ

Наименование разделов стр.
1. Введение 3
2. Образовательный маршрут по дисциплине 5
3. Содержание дисциплины 7
4. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины 28
5. Информационное обеспечение дисциплины 30

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!
Учебно-методический комплекс по дисциплине Математика (далее УМКД) создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине Математика. УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, а также вопросы и задания по итоговой аттестации (при наличии экзамена).
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия курса приведены в глоссарии.
После изучения теоретического блока приведен перечень практических работ, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому, в случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине, Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу.
В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая чтение текста (учебник), поиск и чтение текста в интернет-ресурсах, конспектирование текста, выписки из текста, повторная работа над учебным материалом, с конспектом лекции, ответы на контрольные вопросы, подготовка к выполнению аудиторных контрольных работ, поиск информации по теме с последующим ее представлением в аудитории в форме доклада, решение задач и упражнений по образцу, подготовка к экзамену.
Зачет сдается по билетам либо в тестовом варианте, вопросы к которому приведены в конце УМКД. В результате освоения дисциплины Вы должны уметь:
— решать задачи на отыскание производной сложной функции, производной второго и высших порядков;
— применять основные методы интегрирования при решении задач;
— применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.
В результате освоения дисциплины Вы должны знать:
— основные понятия и методы математического анализа;
— основные численные методы решения прикладных задач.
В результате освоения дисциплины у Вас должны формироваться общие компетенции (ОК):
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 9. Ориентироваться в условиях постоянного изменения правовой базы.
Учебный курс дисциплины Математика состоит из фиксированного в учебном плане количества теоретических и практических часов, часов самостоятельной работы студентов, а также итоговых (семестровых) форм контроля.
Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете прийти на дополнительные занятия к преподавателю, которые проводятся согласно графику. Время проведения консультаций Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомиться с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Таблица 1
Формы отчетности, обязательные для сдачи количество
практические занятия 16 часов
Точки рубежного контроля —
Итоговая аттестация Дифференциальный зачет

Желаем Вам удачи!
Объем и виды учебной работы

Вид учебной работы Объем часов
Максимальная учебная нагрузка (всего) 70
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) 48
в том числе:
лабораторные работы —
практические занятия 16
контрольные работы —
курсовая работа —

Самостоятельная работа обучающегося (всего) 22

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел №1. Линейная алгебра
План изучения темы:
1. Понятие матрицы.
2. Действия над матрицами (сумма и разность матиц; умножение матрицы на число; транспонирование; умножение матриц).
3. Определители (первого, второго и третьего порядков).
4. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
5. Метод исключения переменных при решении систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса).
6. Теорема Крамера.
7. Применение метода Гаусса при решении систем линейных алгебраических уравнений.
8. Применение теоремы Крамера при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Краткое изложение теоретических вопросов:
Матрица размера — это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Операции над матрицами
Сложение (вычитание) (определено только для матриц одинакового размера): соответствующие (с одинаковыми номерами) элементы матриц складываются (вычитаются).
Умножение матрицы на число: каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример

Транспонирование матрицы: строки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка.
Пример

Решение:

Умножение матриц : (определено только когда число столбцов первой матрицы( ) равно числу строк второй матрицы( )) Произведением матриц называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример

В общем случае для матриц
Определитель матрицы первого порядка это сам элемент этой матрицы.
Пример
Найти определитель матрицы
Решение:

Определитель матрицы второго порядка — произведение элементов матрицы на главной диагонали минус произведение элементов матрицы на побочной диагонали.
Пример
Найти определитель матрицы
Решение:

Определитель матрицы третьего порядка: Вычисляется по правилу Сарруса (привило треугольника): произведение элементов на главной диагонали плюс произведение элементов на первом главном треугольнике, плюс произведение элементов на втором главном треугольнике минус произведение элементов на побочной диагонали, минус произведение элементов на первом побочном треугольнике, минус произведение элементов на втором побочном треугольнике.

Понятие системы линейных алгебраических уравнений
общий вид системы
m линейных уравнений
с n переменными

матрица коэффициентов системы
матрица-столбец переменных системы
матрица-столбец
свободных членов
Метод Гаусса
Прямой ход метода Гаусса: Составляют расширенную матрицу (А|В), приписывая к матрице А столбец свободных членов;
с помощью элементарных преобразований приводят эту матрицу к ступенчатому виду.
Обратный ход метода Гаусса: По ступенчатой матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных, начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:
Прямой ход:

Обратный ход:
Выписываем последнюю строку получившейся матрицы в виде уравнения

Выписываем вторую (снизу) строку получившейся матрицы в виде уравнения

Выписываем третью (снизу) строку получившейся матрицы в виде уравнения

Терема Крамера
Переменные системы линейных алгебраических уравнений находятся по формулам (при условии, что определитель системы отличен от нуля)
,

где — определитель матрицы А (матрица коэффициентов системы); — определитель, получаемый из матрицы А, заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Решение:

Практические занятия
№1 Операции над матрицами, вычисление определителей, решение линейных алгебраических уравнений.
1.
Даны матрицы ,найти:
а) А+3В; в) 2А+В; с) А; d) 3А 2В
2.
Найти
3) Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера и методом исключения (методом Гаусса).

Задания для самостоятельного выполнения
1) Изучить историю развития матричного анализа.
2) Отработать навыки выполнения действий над матрицами.
3) Отработать навыки вычисления определителей.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Оценка доклада или выступления на уроке.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практической работы.
4) Проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Определение матрицы.
2) Виды матриц.
3) Правила выполнения действий над матрицами (сумма и разность матиц; умножение матрицы на число; транспонирование; умножение матриц).
4) Правила вычисления определителей (первого, второго и третьего порядков).
5) Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
6) Метод исключения переменных при решении систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса).
7) Теорема Крамера.
8) Применение теоремы Крамера при решении систем линейных алгебраических уравнений.
9) Применение метода Гаусса при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление
План изучения темы:
1. Понятие производной функции, таблица производных простейших функций.
2. Правила дифференцирования
3. Геометрический и механический смысл производной.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Определение. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке ,
и обозначают его .
т.е.
Правила дифференцирования
1)
2)
3)
4)
5)

Таблица производных
Функция Производная Функция Производная

Геометрический смысл производной
Если функция, и касательная проведенная к функции в точке , то , где — угол наклона касательной с осью OX (с ее положительным направлением)

Физический смысл производной
Если — закон, описывающий некоторый процесс (например скорость движения тела), то — мгновенная скорость протекания этого процесса, т.е. скорость в момент времени .
Экономический смысл производной
Если — отражает количество произведенной продукции в зависимости от времени, тогда — производительность труда в момент времени .
Схема исследования функции для построения ее графика.
1) Найти область определения функции (все значения аргумента x, при которых функция существует)
2) Определить четность/нечетность функции: если f(-х)=f(х), то функция четная (графики четных функций симметричны относительно оси OY); если f(-х)=-f(х), то функция нечетная (графики нечетных функций симметричны относительно начала координат).
3) Найти нули функции, т.е. точки пересечения графика с осью OX (приравнять уравнение функции к нулю и решить получавшееся уравнение).
4) Найти точки пересечения с осью OY (в уравнение функции вместо x подставить ноль и вычислить).
5) Исследовать функцию на наличие асимптот.
Если , то прямая является горизонтальной асимптотой;
Если (т.е. является дробно рациональной функцией) и при знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то вертикальная асимптота.
6) Исследовать функцию на монотонность и точки экстремума
Подробное описание Краткая запись
a) Найти производную функции
b) Найти критические точки, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
c) На числовую прямую нанести точки из пункта 2 и определить знак производной на каждом получившемся промежутке; сделать вывод о промежутках возрастания и убывания, точках максимума и минимума.
d) Вычислить значение функции в точках максимума и минимума. a. Найти
b. Найти такие значения , для которых или не существует.
c.

d. Вычислить

7) Учитывая полученные в ходе исследования свойства построить график функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
1) Найти производную функции.
2) Найти критические точки, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
3) Из точек, найденных в пункте 2 выбрать те, которые принадлежат заданному отрезку.
4) Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.
5) Из найденных значений в пункте 4 выбрать наибольшее – это и будет наибольшее значение функции и наименьшее – это и будет наименьшее значение функции на отрезке.

Практические занятия
№ 2. Решение практических задач с использованием производной. Исследование функции с помощью производной и построение ее графика.
Исследовать функцию и построить ее график
1.
2.
3.

№ 3. Решение практических задач с использованием производной.
1) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
3) Какой длины должны быть стороны прямоугольно участка, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
4) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 300 вписан прямоугольник, стороны которого лежит на гипотенузе. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

Задания для самостоятельного выполнения
1) Доклад на тему «Применение производной в профессиональной деятельности».
2) Оформление конспекта.
3) Выполнение домашнего задания.
4) Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Оценка доклада или выступления.
2) Проверка конспекта.
3) Проверка домашнего задания.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Понятие производной функции.
2) Таблица производных простейших функций.
3) Правила дифференцирования.
4) Геометрический и механический смысл производной.
5) Схема исследования функции (правило нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции).
6) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Раздел 3. Интегральное исчисление
План изучения темы:
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
2. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, метод подстановки.
3. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. , где F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного интеграла:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач ознакомьтесь с таблицей интегралов.

Примечание. Формулы верны, когда х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х=х(t).
Методом замены переменной (подстановкой).
При этом вводится новая переменная t= (x) , которая является функцией от x. Если новая переменная введена удачно, то в результате замены получаем табличные интегралы.
Некоторые рекомендации по введению новой переменной смотрите ниже в примерах.
Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:

Пример 1.
Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t часто удобно принимать показатель степени, если к тому же под интегралом присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя.

В конце возвращаемся к старой переменной, подставив вместо t выражение (-x3).
Проверка: Если интеграл взят правильно, то производная от полученного результата равна подынтегральной функции:
,
что и требовалось доказать.
Пример 2.
Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то часто удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует к тому же и производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).

Проверка:

Пример 3.
Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции.

Проверка:

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется прирощение первообразной F(x) для этой функции,
то есть baf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x) ba .
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница.

где F(х) – первообразная для , то есть ;
a и b — пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.
Обратите внимание на то, что определенный интеграл – это число, в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах.
Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции
Ключевые слова: площадь, криволинейная трапеция, интеграл, первообразная, график функции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Примеры криволинейных трапеций

Вычисление площадей плоских фигур
Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).
Примеры плоских фигур

Рассмотрим применение определенного интеграла на примере.
Пример
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=x2-6x+5 и прямой y = x-1. Сделать чертеж.
Решение.
Построим параболу и прямую.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

тогда
Итак, вершина параболы в точке (3;-4).
Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда
х2-6х+5=0, откуда х1=1; х2=5, то есть точки (1;0) и (5;0).
Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5).
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх (рис. 9).
Прямую y=х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0).
Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

где функции ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при
В нашей задаче
Поэтому:

Ответ:
Площадь искомой криволинейной трапеции:

Практические занятия
№ 4. Вычисление неопределенного и определенного интеграла
Вычислить неопределенные интегралы
1.
2.
3.
4.

Вычислить определенные интегралы
1.
2.
3.
4.

№ 5. Применение определенного интеграла
к решению практических задач.
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями, сделать чертеж.
у = х2 — 6х + 7; у = х + 1 у = -х2 + 6х -5; у = х – 5 у = х2 — 6х + 7; у = -х + 7

Задания для самостоятельного выполнения
1) Оформление конспекта.
2) Выполнение домашнего задания.
3) Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Проверка конспекта.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме
1) Первообразная и неопределенный интеграл.
2) Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
3) Вычисления неопределенного интеграла непосредственным интегрированием.
4) Вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.
5) Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
6) Вычисления определенного интеграла непосредственным интегрированием.
7) Вычисления определенного интеграла методом подстановки.
8) Понятие криволинейной трапеции.
9) Примеры криволинейных трапеций.
10) Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов.
11) Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла.

Раздел 4. Численные методы.
План изучения темы:
1. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем.
2. Метод деления отрезка пополам.
3. Вычисление производных.
4. Численное интегрирование.

Краткое изложение теоретических вопросов:

Численные методы решения нелинейных уравнений и систем.
Постановка задачи: дана функция на отрезке и нужно решить уравнение , т.е. найти его корень с погрешностью, не превышающей EPS.

При этом задачу можно разбить на две:
1. Отделение корней, т.е. определение области, где лежит корень. Если например на отрезке выполняется условие , то функция меняет знак на этом отрезке и, следовательно, имеет корень. Если корней несколько, то либо найдем любой из этих корней, либо изменим отрезок, чтобы на нем был один корень.
Заметим, что определение корней с помощью графиков позволяет лишь грубо оценить значение корня, т.к. для задач проектирования характерны значения EPS = 10-5 .. 10-3.
2. Отыскание корней с заданной точностью.
Все численные методы нахождения корня являются итерационными. Итерация — это одно выполнение цикла и в латыни слово «itero» означает «многократно повторять». Итерационный метод соответствует циклическому выполнению группы вычислений, причем завершается цикл при получении правильного значения.
При решении (1) выполняются итерации и на каждой уточняется значение . При этом для каждого текущего вычисляются:
— значение ,
— значение поправки ,
— новое значение ,
— проверяются условия , .
Если указанные условия выполняются, то решение получено, иначе — переход к первому пункту, т.е. вычислению значения .
Для проведения итераций должны быть решены следующие проблемы:
— как выбирать начальное значение для первой итерации,
— как вычислять поправку ,
— как уменьшить количество итераций при заданной погрешности EPS, что важно для сложных функций.
Рассмотрим, как решаются эти проблемы.
Вывод формул для поправки обычно основан на линейной или параболической интерполяции заданной функции вблизи текущей точки . Пересечение прямой или параболы с осью дает новое значение для следующей итерации. Чем сложнее метод определения , тем обычно меньше требуется итераций для нахождения корня с заданной погрешностью.
Выбор начального значения проводится на основании физических соображений или анализа поведения функции, можно также выбрать произвольное начальное значение («с потолка»), если нет дополнительной информации.
Метод деления отрезка пополам.
Метод деления отрезка пополам — это один из простейших методов, который можно использовать как самостоятельно, так и для поиска начального приближения других методов.
1) Считаем, что , т.е. функция меняет знак на отрезке .
2) Вычислим , т.е. в середине отрезка и выберем ту половину отрезка, где она меняет знак.
Если , то выбираем .
Если , то выбираем .
3) Далее полученный отрезок делим пополам и выбираем ту его половину, где функция меняет знак.
4) Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока длина полученного не становится меньше заданного . В пределах этого малого отрезка и лежит корень.
Вычисление производных.
Постановка задачи: дана непрерывная или дискретная функция и требуется вычислить производную в произвольной точке .
Далее для значения производной будем использовать штрих < ' >.
В обоих случаях для вычисления производной применяют интерполяцию полиномами или сплайнами. Если исходные точки дискретной функции имеют погрешность, то вместо интерполяции нужно использовать аппроксимацию. В этом же случае можно применять и интерполяцию, но ей должно предшествовать сглаживание.
Наиболее широкое применение имеют формулы численного дифференцирования, полученные с применением локальной интерполяции полиномом. Полином степени строится для текущей точки и учитывает несколько соседних точек непрерывной или дискретной функции.
Пусть имеем постоянный шаг дискретизации функции вблизи точки дифференцирования и значения функции , , в точках , , соответственно. Для этих трех точек можно выполнить линейную и параболическую интерполяцию известными методами:
,
,
.
Дифференцируя эти две прямых или параболу в точке , получаем три известных формулы для вычисления :

(1)

(2)

(3)
Формула (1) называется левой, т.к. использует соседнюю точку слева, формула (2) называется правой, формула (3) — симметричной, т.к. парабола учитывает левую и правую соседние точки.
Эти же формулы можно получить через конечные разности и , которые используются в строгом определении производной как . Очевидно, что в формулах (1-3) используются конечные разности и , а опущен. Отметим, что (3) можно рассматривать как среднее значение для двух первых формул, т.е. она точнее.
Дифференцируя ту же параболу, что и при выводе (3), нетрудно получить известную формулу для второй производной в точке :

(4)
Эта же формула получится, если использовать при выводе разность левой и правой производных первого порядка.
При вычислениях по (1-4) нужно знать, как выбирать шаг дискретизации h для непрерывной или дискретной функции. Если на отрезке интерполяции исходная функция и полученная в результате интерполяции не совпадают, то производные будут иметь погрешность. Очевидно, что эта погрешность возрастает при увеличении шага дискретизации.
Численное интегрирование.
Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т.е. численное интегрирование выполняется для дискретных и непрерывных функций и при этом для интерполяции используются полиномы и сплайны.
Постановка задачи. Дана дискретная или непрерывная функция . Вычислить на отрезке значение интеграла
,
(11)
причем погрешность не должна превышать заданное значение EPS. Интеграл геометрически определяет площадь под кривой .Любую формулу численного интегрирования можно записать в виде суммы всех ординат c весовыми коэффициентами , 1, 2, …, ,
,
(12)
где — это приближенное значение . Значения весовых коэффициентов определяются шагом дискретизации и методом интерполяции. Самые известные методы численного интегрирования — метод трапеций и метод Симпсона — используют линейную и параболическую интерполяцию соответственно.
При линейной интерполяции в методе трапеций график функции представлен в виде ломаной, соединяющей точки . В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных трапеций.

, , и в результате при постоянном шаге дискретизации получается формула трапеций:

(13)
Эту формулу можно получить также, рассматривая сумму площадей прямоугольников высоты и ширины для всех внутренних точек и ширины для двух крайних точек.
Парабола в методе Симпсона проводится через каждые три точки, т.е. значение должно быть нечетным. Разобьем отрезок интегрирования на четное число отрезков , … .
На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим параболой , , коэффициенты которой определяются любым из рассмотренных методов интерполяции по трем точкам , , . Тогда элементарная площадь под параболой вычисляется, применяя, например, параболическую интерполяцию п.4.1, получим:
.
В результате суммирования получается формула Симпсона:

(14)
В (4.14) все четные ординаты имеют множитель 4, а все нечетные, кроме первой и последней, множитель 2.
Формулы численного интегрирования включают все погрешности, рассмотренные для численного дифференцирования. Исследования погрешности метода показывают, что при малых шагах дискретизации погрешность формулы трапеций пропорциональна , а погрешность формулы Симпсона пропорциональна , т. е. при заданной погрешности EPS формула Симпсона допускает более крупные шаги. Отметим, что формула Симпсона точна, если исходная функция является кубическим полиномом.
Для погрешностей исходных данных и округления можно также получить оценки, аналогичные (4.9). Очевидно, что в случае большого количества точек абсолютные погрешности для всех слагаемых могут суммироваться, и тогда для формул трапеций и Симпсона можно в качестве оценки взять погрешность максимальное значение
,
где — количество точек. Видим, что полученное значение не зависит от шага . Зависимость суммарной погрешности от шага дискретизация показана на рисунке.

Зависимость суммарной погрешности численного интегрирования от шага дискретизации .

Отметим, что обычно относительные погрешности результатов численного интегрирования меньше, чем численного дифференцирования.
Контроль точности вычисления интеграла любым численным методом аналогичен численному дифференцированию.

№ 6-9. Применение численных методов для решения практических задач.
Решить уравнение
1) Решить уравнение x3 6×2+3x+11=0
2) Вычислить интеграл
3)

Задания для самостоятельного выполнения
1) Оформление конспекта.
2) Выполнение домашнего задания.
3) Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Проверка конспекта.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме
1. Приемы решения нелинейных уравнений численными методами.
2. Метод деления отрезка пополам.
3. Вычисление производных численными методами.
4. Численное интегрирование.

КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Итоговый контроль по дисциплине
Вопросы к дифференцированному зачету
1) Понятие производной функции.
2) Таблица производных простейших функций.
3) Правила дифференцирования.
4) Геометрический и механический смысл производной.
5) Схема исследования функции (правило нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции).
6) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
7) Первообразная и неопределенный интеграл.
8) Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
9) Вычисления неопределенного интеграла непосредственным интегрированием.
10) Вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.
11) Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
12) Вычисления определенного интеграла непосредственным интегрированием.
13) Вычисления определенного интеграла методом подстановки.
14) Понятие криволинейной трапеции.
15) Примеры криволинейных трапеций.
16) Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов.
17) Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла.
18) Понятие вероятности.
19) Элементы комбинаторики (сочетания, перестановки и размещения в схеме выбора без возвращения).
20) Статистическое исследование
21) Ряд распределения.
22) Числовые характеристики ряда распределения.
23) Понятие множества.
24) Операции над множествами.

[/TAB_PANE][TAB_PANE]ГЛОССАРИЙ
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию.
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Матрица размера — это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Неопределенный интеграл , где F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная.
Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется приращение первообразной F(x) для этой функции,
то есть =F(b)−F(a)=
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Определитель матрицы второго порядка — произведение элементов матрицы на главной диагонали минус произведение элементов матрицы на побочной диагонали.
Определитель матрицы первого порядка это сам элемент этой матрицы.
Определитель матрицы третьего порядка: Вычисляется по правилу Сарруса (привило треугольника): произведение элементов на главной диагонали плюс произведение элементов на первом главном треугольнике, плюс произведение элементов на втором главном треугольнике минус произведение элементов на побочной диагонали, минус произведение элементов на первом побочном треугольнике, минус произведение элементов на втором побочном треугольнике.
Производной функции в точке , Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке ,
и обозначают его .
т.е.

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основные источники (для студентов)
1. Крамер Н.Ш. Практикум по высшей математике – М.,2012
2. Крамер Н.Ш. Высшая математика для экономистов М.,2014
3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М., 2011.
4. Пехлецкий И.Д. Математика – М., 2011

Дополнительные источники (для студентов)
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2012.
2. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2013.
3. Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности. Сборник задач: учеб. пособие для вузов.-М.:Дрофа, 2012.
4. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие/М.:Просвящение, 2011.
5. Прикладные задачи по математике, 5-11 классы, Петров В.А., Дрофа, 2013
6. Комбинаторика Виленкин Н.Я. «МЦНМО», 2013
7. Математика. Задачи с решениями. Учебное пособие «Дрофа» 2013

Интернет-ресурсы:
1. i-exam.ru
2. interneturok.ru
3. ru.wikipedia.org/wiki/


Кудинова Ольга Александровна

Преподаватель математики

Министерство образования и науки РФ
Волгоградский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения инклюзивного высшего образования
«Московский государственный гуманитарно-экономический университет»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Математика

Математический и общий естественнонаучный цикл
основной профессиональной образовательной программы по специальности
40.02.01 Право и организация социального обеспечения

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

ВОЛГОГРАД, 2014

Ответить

Ваш email нигде не будет опубликован. Обязательные поля отмечены *

Вы можете использовать HTML теги и атрибуты <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>