База учебников, документов и методических разработок

Воспользуйтесь поиском и введите свой вопрос в форме ниже!

Математика

Учебно-методический комплекс по дисциплине Математика (далее УМКД) создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине Математика. УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, а также вопросы и задания по итоговой аттестации (при наличии экзамена).
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия курса приведены в глоссарии.

Основы философии

СОДЕРЖАНИЕ

Наименование разделов стр.
1. Введение 4
2. Образовательный маршрут по дисциплине 6
3. Содержание дисциплины 7
4. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины 42
5. Глоссарий 43
6. Информационное обеспечение дисциплины 45

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине Математика (далее УМКД) создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине Математика. УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, а также вопросы и задания по итоговой аттестации (при наличии экзамена).
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия курса приведены в глоссарии.
После изучения теоретического блока приведен перечень практических работ, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому, в случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине, Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу.
В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая чтение текста (учебник), поиск и чтение текста в интернет-ресурсах, конспектирование текста, выписки из текста, повторная работа над учебным материалом, с конспектом лекции, ответы на контрольные вопросы, подготовка к выполнению аудиторных контрольных работ, поиск информации по теме с последующим ее представлением в аудитории в форме доклада, решение задач и упражнений по образцу, подготовка к дифференцированному зачету.

Дифференцированный зачет сдается по билетам либо в тестовом варианте, вопросы к которому приведены в конце УМКД. В результате освоения дисциплины Вы должны уметь:
-решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
знать:
-значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ;
-основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
-основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;
-основы интегрального и дифференциального исчисления.

В результате освоения дисциплины у Вас должны формироваться следующие компетенции:
ОК 1 — 9
ПК 1.1, 1.3, 1.6 — 1.7, 2.1 — 2.2, 3.1, 4.1 — 4.5, 5.1
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Анализировать социально-экономические и политические проблемы и процессы, использовать методы гуманитарно-социологических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности.
ОК 3. Организовывать свою собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 5. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 8. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.
ОК 9. Уважительно и бережно относиться к историческому наследию и культурным традициям, толерантно воспринимать социальные и культурные традиции.
Специалист по земельно-имущественным отношениям базовой подготовки должен обладать профессиональными компетенциями, соответствующими видам деятельности:
5.2.1. Управление земельно-имущественным комплексом.
ПК 1.1. Составлять земельный баланс района.
ПК 1.2. Подготавливать документацию, необходимую для принятия управленческих решений по эксплуатации и развитию территорий.
ПК 1.3. Готовить предложения по определению экономической эффективности использования имеющегося недвижимого имущества.
ПК 1.4. Участвовать в проектировании и анализе социально-экономического развития территории.
ПК 1.5. Осуществлять мониторинг земель территории.
5.2.2. Осуществление кадастровых отношений.
ПК 2.1. Выполнять комплекс кадастровых процедур.
ПК 2.2. Определять кадастровую стоимость земель.
ПК 2.3. Выполнять кадастровую съемку.
ПК 2.4. Осуществлять кадастровый и технический учет объектов недвижимости.
ПК 2.5. Формировать кадастровое дело.
5.2.3. Картографо-геодезическое сопровождение земельно-имущественных отношений.
ПК 3.1. Выполнять работы по картографо-геодезическому обеспечению территорий, создавать графические материалы.
ПК 3.2. Использовать государственные геодезические сети и иные сети для производства картографо-геодезических работ.
ПК 3.3. Использовать в практической деятельности геоинформационные системы.
ПК 3.4. Определять координаты границ земельных участков и вычислять их площади.
ПК 3.5. Выполнять поверку и юстировку геодезических приборов и инструментов.
5.2.4. Определение стоимости недвижимого имущества.
ПК 4.1. Осуществлять сбор и обработку необходимой и достаточной информации об объекте оценки и аналогичных объектах.
ПК 4.2. Производить расчеты по оценке объекта оценки на основе применимых подходов и методов оценки.
ПК 4.3. Обобщать результаты, полученные подходами, и давать обоснованное заключение об итоговой величине стоимости объекта оценки.
ПК 4.4. Рассчитывать сметную стоимость зданий и сооружений в соответствии с действующими нормативами и применяемыми методиками.
ПК 4.5. Классифицировать здания и сооружения в соответствии с принятой типологией.
ПК 4.6. Оформлять оценочную документацию в соответствии с требованиями нормативных актов, регулирующих правоотношения в этой области.

Учебный курс дисциплины Математика состоит из фиксированного в учебном плане количества теоретических и практических часов, часов самостоятельной работы студентов, а также итоговых (семестровых) форм контроля.
Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете прийти на дополнительные занятия к преподавателю, которые проводятся согласно графику. Время проведения консультаций Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомиться с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Таблица 1
Формы отчетности, обязательные для сдачи количество
практические занятия 24
Точки рубежного контроля —
Итоговая аттестация дифференцированный зачет

Объем и виды учебной работы

Вид учебной работы Объем часов
Максимальная учебная нагрузка (всего) 72
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) 48
в том числе:
лабораторные работы
практические занятия 24
контрольные работы
курсовая работа

Самостоятельная работа обучающегося (всего) 24

Желаем Вам удачи!

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел №1. Линейная алгебра


Тема 1.1 Матрицы и определители.
План изучения темы:
1. Понятие матрицы.
2. Действия над матрицами (сумма и разность матиц; умножение матрицы на число; транспонирование; умножение матриц).
3. Определители (первого, второго и третьего порядков)

Краткое изложение теоретических вопросов:
Матрица размера — это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Операции над матрицами
Сложение (вычитание) (определено только для матриц одинакового размера): соответствующие (с одинаковыми номерами) элементы матриц складываются (вычитаются).
Умножение матрицы на число: каждый элемент матрицы умножается на это число.
Пример

Транспонирование матрицы: строки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка.
Пример

Решение:

Умножение матриц : (определено только когда число столбцов первой матрицы( ) равно числу строк второй матрицы( )) Произведением матриц называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример

В общем случае для матриц
Определитель матрицы первого порядка это сам элемент этой матрицы.
Пример
Найти определитель матрицы
Решение:

Определитель матрицы второго порядка — произведение элементов матрицы на главной диагонали минус произведение элементов матрицы на побочной диагонали.
Пример
Найти определитель матрицы
Решение:

Определитель матрицы третьего порядка: Вычисляется по правилу Сарруса (привило треугольника): произведение элементов на главной диагонали плюс произведение элементов на первом главном треугольнике, плюс произведение элементов на втором главном треугольнике минус произведение элементов на побочной диагонали, минус произведение элементов на первом побочном треугольнике, минус произведение элементов на втором побочном треугольнике.

Практические занятия
№1 Операции над матрицами, вычисление определителей
1.
Даны матрицы ,найти:
а) А+3В; в) 2А+В; с) А; d) 3А 2В
2.
Найти
Задания для самостоятельного выполнения
1) Изучить историю развития матричного анализа.
2) Отработать навыки выполнения действий над матрицами.
3) Отработать навыки вычисления определителей.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Оценка доклада или выступления на уроке.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практической работы.
4) Проверка конспекта.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Определение матрицы.
2) Виды матриц.
3) Правила выполнения действий над матрицами (сумма и разность матиц; умножение матрицы на число; транспонирование; умножение матриц).
4) Правила вычисления определителей (первого, второго и третьего порядков).


Тема 1.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

План изучения темы:
1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
2. Метод исключения переменных при решении систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса).
3. Теорема Крамера.
4. Применение метода Гаусса при решении систем линейных алгебраических уравнений.
5. Применение теоремы Крамера при решении систем линейных алгебраических уравнений.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Понятие системы линейных алгебраических уравнений
общий вид системы
m линейных уравнений
с n переменными

матрица коэффициентов системы
матрица-столбец переменных системы
матрица-столбец
свободных членов
Метод Гаусса
Прямой ход метода Гаусса: Составляют расширенную матрицу (А|В), приписывая к матрице А столбец свободных членов;
с помощью элементарных преобразований приводят эту матрицу к ступенчатому виду.
Обратный ход метода Гаусса: По ступенчатой матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных, начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение:
Прямой ход:

Обратный ход:
Выписываем последнюю строку получившейся матрицы в виде уравнения

Выписываем вторую (снизу) строку получившейся матрицы в виде уравнения

Выписываем третью (снизу) строку получившейся матрицы в виде уравнения

Терема Крамера
Переменные системы линейных алгебраических уравнений находятся по формулам (при условии, что определитель системы отличен от нуля)
,

где — определитель матрицы А (матрица коэффициентов системы); — определитель, получаемый из матрицы А, заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Решение:

Практические занятия
№2-3 Решение СЛАУ различными способами.
Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера и методом исключения (методом Гаусса).
1. 2.
3.

Задания для самостоятельного выполнения
1) Решение домашних заданий.
2) Отработка навыков решения СЛАУ методом исключения переменных.
3) Отработка навыков решения СЛАУ методом Крамера.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Проверка домашнего задания.
2) Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
2) Метод исключения переменных при решении систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса).
3) Теорема Крамера.
4) Применение теоремы Крамера при решении систем линейных алгебраических уравнений.
5) Применение метода Гаусса при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление


Тема 2.1. Понятие производной.
План изучения темы:
1. Понятие производной функции, таблица производных простейших функций.
2. Правила дифференцирования
3. Геометрический и механический смысл производной.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Определение. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке ,
и обозначают его .
т.е.
Правила дифференцирования
1)
2)
3)
4)
5)

Таблица производных
Функция Производная Функция Производная

Геометрический смысл производной
Если функция, и касательная проведенная к функции в точке , то , где — угол наклона касательной с осью OX (с ее положительным направлением)

Физический смысл производной
Если — закон, описывающий некоторый процесс (например скорость движения тела), то — мгновенная скорость протекания этого процесса, т.е. скорость в момент времени .
Экономический смысл производной
Если — отражает количество произведенной продукции в зависимости от времени, тогда — производительность труда в момент времени .
Практические занятия
Не предусмотрено
Задания для самостоятельного выполнения
1) Доклад на тему «Применение производной в профессиональной деятельности».
2) Оформление конспекта.
3) Выполнение домашнего задания.
4) Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Оценка доклада или выступления.
2) Проверка конспекта.
3) Проверка домашнего задания.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Понятие производной функции.
2) Таблица производных простейших функций.
3) Правила дифференцирования.
4) Геометрический и механический смысл производной.


Тема 2.2. Приложение производной к решению практических задач.
План изучения темы:
1. Исследование функции с помощью производной (нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции).
2. Решение практических задач на максимум и минимум.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Применение производной к исследованию функции для построения ее графика.
Схема исследования
1) Найти область определения функции (все значения аргумента x, при которых функция существует)
2) Определить четность/нечетность функции: если f(-х)=f(х), то функция четная (графики четных функций симметричны относительно оси OY); если f(-х)=-f(х), то функция нечетная (графики нечетных функций симметричны относительно начала координат).
3) Найти нули функции, т.е. точки пересечения графика с осью OX (приравнять уравнение функции к нулю и решить получавшееся уравнение).
4) Найти точки пересечения с осью OY (в уравнение функции вместо x подставить ноль и вычислить).
5) Исследовать функцию на наличие асимптот.
Если , то прямая является горизонтальной асимптотой;
Если (т.е. является дробно рациональной функцией) и при знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то вертикальная асимптота.
6) Исследовать функцию на монотонность и точки экстремума
Подробное описание Краткая запись
a) Найти производную функции
b) Найти критические точки, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
c) На числовую прямую нанести точки из пункта 2 и определить знак производной на каждом получившемся промежутке; сделать вывод о промежутках возрастания и убывания, точках максимума и минимума.
d) Вычислить значение функции в точках максимума и минимума. a. Найти
b. Найти такие значения , для которых или не существует.
c.

d. Вычислить

7) Учитывая полученные в ходе исследования свойства построить график функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
1) Найти производную функции.
2) Найти критические точки, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
3) Из точек, найденных в пункте 2 выбрать те, которые принадлежат заданному отрезку.
4) Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.
5) Из найденных значений в пункте 4 выбрать наибольшее – это и будет наибольшее значение функции и наименьшее – это и будет наименьшее значение функции на отрезке.

Практические занятия
№ 4. Решение практических задач с использованием производной. Исследование функции с помощью производной и построение ее графика.
Исследовать функцию и построить ее график
1.
2.
3.

№ 5-6. Решение практических задач с использованием производной Решение практических задач на максимум и минимум.
1) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции
3) Какой длины должны быть стороны прямоугольно участка, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей?
4) В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 300 вписан прямоугольник, стороны которого лежит на гипотенузе. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.
Задания для самостоятельного выполнения
1) Доклад на тему «Применение производной в профессиональной деятельности».
2) Оформление конспекта.
3) Выполнение домашнего задания.
4) Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Проверка конспекта.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Схема исследования функции (правило нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции).
2) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Раздел 3. Интегральное исчисление


Тема 3.1 Неопределенный и определенный интеграл..
План изучения темы:
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
2. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, метод подстановки.
3. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. , где F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного интеграла:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач ознакомьтесь с таблицей интегралов.

Примечание. Формулы верны, когда х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х=х(t).
Методом замены переменной (подстановкой).
При этом вводится новая переменная t= (x) , которая является функцией от x. Если новая переменная введена удачно, то в результате замены получаем табличные интегралы.
Некоторые рекомендации по введению новой переменной смотрите ниже в примерах.
Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:

Пример 1.
Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t часто удобно принимать показатель степени, если к тому же под интегралом присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя.

В конце возвращаемся к старой переменной, подставив вместо t выражение (-x3).
Проверка: Если интеграл взят правильно, то производная от полученного результата равна подынтегральной функции:
,
что и требовалось доказать.
Пример 2.
Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то часто удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует к тому же и производная этой функции (с точностью до постоянного множителя).

Проверка:

Пример 3.
Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции.

Проверка:

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется прирощение первообразной F(x) для этой функции,
то есть baf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x) ba .
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница.

где F(х) – первообразная для , то есть ;
a и b — пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.
Обратите внимание на то, что определенный интеграл – это число, в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах.
Практические занятия
№7. Вычисление неопределенного и определенного интеграла
Вычислить неопределенные интегралы
1.
2.
3.
4.

Вычислить определенные интегралы
1.
2.
3.
4.

Задания для самостоятельного выполнения
1) Оформление конспекта.
2) Выполнение домашнего задания.
3) Выполнение практической работы.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Проверка конспекта.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме
1) Первообразная и неопределенный интеграл.
2) Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов.
3) Вычисления неопределенного интеграла непосредственным интегрированием.
4) Вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.
5) Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
6) Вычисления определенного интеграла непосредственным интегрированием.
7) Вычисления определенного интеграла методом подстановки.


Тема 3.2. Приложение определенного интеграла
к решению практических задач.
План изучения темы:
1. Понятие криволинейной трапеции.
2. Примеры криволинейных трапеций
3. Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов.
4. Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции
Ключевые слова: площадь, криволинейная трапеция, интеграл, первообразная, график функции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.
Примеры криволинейных трапеций

Вычисление площадей плоских фигур
Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).
Примеры плоских фигур

Рассмотрим применение определенного интеграла на примере.
Пример
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=x2-6x+5 и прямой y = x-1. Сделать чертеж.
Решение.
Построим параболу и прямую.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

тогда
Итак, вершина параболы в точке (3;-4).
Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда
х2-6х+5=0, откуда х1=1; х2=5, то есть точки (1;0) и (5;0).
Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5).
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх (рис. 9).
Прямую y=х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0).
Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

где функции ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при
В нашей задаче
Поэтому:

Ответ:
Площадь искомой криволинейной трапеции:

Практические занятия
№ 8-9 Применение определенного интеграла
к решению практических задач.
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями, сделать чертеж.
у = х2 — 6х + 7; у = х + 1 у = -х2 + 6х -5; у = х – 5 у = х2 — 6х + 7; у = -х + 7
Задания для самостоятельного выполнения
1) Подобрать практические примеры применения определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
2) Выполнение домашнего задания.
3) Выполнение и оформление практических работ.
Форма контроля самостоятельной работы:
1) Проверка конспекта.
2) Проверка домашнего задания.
3) Проверка и защита практических работ.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1) Понятие криволинейной трапеции.
2) Примеры криволинейных трапеций.
3) Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов.
4) Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла.


Раздел 4. Комплексные числа
План изучения темы:
1. Понятие комплексного числа.
2. Решение квадратных уравнений во множестве комплексных чисел.
3. Арифметические действия над комплексными числами.
4. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Краткое изложение теоретических вопросов:
Основные определения. Операции над комплексными числами
1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i2 = – 1.
2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.
Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b 0) называют чисто мнимыми.
Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.
Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.
3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.
Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.
4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Например:
(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;
(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =
= – 1 + 0i = – 1.
Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Например:
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.
5. Правило умножения комплексных чисел.
(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.
Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 = – 1.
Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.
Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.
Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:
(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2.
Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.
Например: 5i•3i = 15i2 = – 15; – 2i•3i = – 6i2 = 6, и вообще bi•di = bdi2 = – bd.
Решение квадратных уравнений
Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения
x2 = – 1.
Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x2 = – 1 имеет два решения: x1 = i, x2 = – i.
Это нетрудно установить проверкой: i•i = i2 = – 1, (– i)•(– i) = i2 = – 1.
Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:
ax2 + bx + c = 0 (a  0),
где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем a 0. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.
• Разделим все члены уравнения на a 0 и перенесем свободный член в правую часть уравнения:
К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:
Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:
Найдем значения неизвестной:
Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если b2 – 4ac > 0, то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни. Если же – мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.
Примеры.
1. Решите уравнение x2 – 2x – 8 = 0.
Решение. Найдем дискриминант D = b2 – 4ac = (– 2)2 – 4•1•(– 8) = 36 > 0.
Уравнение имеет два действительных корня:
2. Решите уравнение x2 + 6x + 9 = 0.
Решение. D = 62 – 4•1•9 = 0, уравнение имеет два равных действительных корня:
3. Решите уравнение x2 – 4x + 5 = 0.
Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни: Геометрическая интерпретация комплексных чисел Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т.п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации. Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. На рисунке 1 изображена координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3); числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а числу – 3i – точка F(0, – 3). Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости. Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y 0 – точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной. Сопряженным комплексным числам соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс (рис. 2). Практические занятия № 10.Выполнение арифметических операций над комплексными числами. Решение квадратных уравнений во множестве комплексных чисел. 1) Сложить два комплексных числа , ; 2) Найти разности комплексных чисел и , если , 3) Найти произведение комплексных чисел , 4) Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме: А) (2+3i)(3−i), В) (1+2i)2, С) (2i−i2)2+(1−3i)3. 5) Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , , , , , , , Решить квадратные уравнения А) В) С) x2 – 2x – 8 = 0 D) x2 + 6x + 9 = 0. C) x2 – 4x + 5 = 0. Задания для самостоятельного выполнения 1) Оформление конспекта. 2) Выполнение домашнего задания. 3) Выполнение практической работы. Форма контроля самостоятельной работы: 1) Проверка конспекта. 2) Проверка домашнего задания. 3) Проверка и защита практических работ. Вопросы для самоконтроля по теме 1) Понятие комплексного числа. 2) Решение квадратных уравнений во множестве комплексных чисел. 3) Арифметические действия над комплексными числами. 4) Геометрическое изображение комплексных чисел. [/tab_pane][tab_pane] Раздел 5. Основы теории вероятности, математической статистики и дискретной математики. План изучения темы: 1. Понятие вероятности. 2. Элементы комбинаторики. 3. Решение простейших вероятностных задач. 4. Основы математической статистики (статистическое исследование, ряд распределения, числовые характеристики ряда распределения). 5. Выполнение простейших статистических исследований с расчетом основным числовых характеристик ряда распределения. 6. Понятие множества. 7. Операции над множествами. Краткое изложение теоретических вопросов: Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е. . Привило умножения Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать способами. Пример Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться Решение а) Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном в числе). После того как первое место занято, осталось 4 цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор их трех цифр. Таким образом: б) если цифры могут повторяться, то для каждого места в трехзначном числе 5 цифр. Таким образом: . Правило суммы Если некоторый объект x можно выбрать способами, а объект y можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y) можно выбрать способами. Пример В группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола. Решение Двух девушек можно выбрать (используя правило умножения) способами. Двух юношей можно выбрать (используя правило умножения) 6 способами. Чтобы найти общее число способов воспользуемся правилом суммы: 182+30=212 способов. Схема выбора без возвращений. (Выбранные элементы не возвращаются в исходное множество, состоящее изn элементов) Размещением из n элементов по m элементов ( ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения). Количество размещений вычисляется по формуле Пример Сколькими способами можно составить двузначное число из цифр 1,2,3,4,5,6, если цифры не повторяются. Решение Т.к. цифры не повторяются, а порядок цифр важен, то это – размещения. . Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов (элементы не выбираются, а переставляются местами внутри множества). Количество перестановок вычисляется по формуле Пример Сколькими способами можно составить шестизначное число из цифр 1,2,3,4,5,6, если цифры не повторяются. Решение Т.к. цифры не выбираются, а только переставляются, то это - перестановки. . Сочетанием из n элементов по m элементов ( ) называется любое подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга только составом элементов). Количество сочетаний вычисляется по формуле Пример Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? Решение Т.к. порядок выбора не имеет значения, то это – сочетания. . Основы математической статистики Этапы простейшей обработки данных: 1) Сбор данных 2) Упорядочивание и группировка 3) Составление таблицы распределения 4) Построение графика распределения (в виде многоугольника, гистограммы) 5) Вычисление основных числовых характеристик ряда распределения: 5.1. Объем измерения (объем выборки) равен количеству измерений, т.е. 5.2. Размах измерения (размах выборки) равен разности между наибольшим полученным значением и наименьшим). 5.3. Мода (наиболее часто встречающийся результат), определяется по наивысшей частоте. 5.4. Средняя выборочная равна частному от деления суммы всех результатов измерения на объем измерения. 5.5. Медиана равна варианте, находящейся в середине сгруппированного ряда; если в середине находится две варианты, то медиана равна их полусумме. Номер медианы . По накопленным частотам, используя номер медианы, находим ее зщначение 5.6. Относительная частота равна частному от деления частоты варианты на объем выборки, т.е. 5.7. Относительная частота в процентах – это относительная частота умноженная на 100%. Рассмотрим пример На праздничном вечере среди 50 студентов провели лотерею. Каждый студент задумал число от 0 до 10 и записал его на левой правой половине лотерейного билета Правые половинки билетов остались у их владельцев, а левые передали организатору лотереи. Как разобраться во всей массе этих билетов? Решение Упорядочим и сгруппируем билеты по записанным числам Ответ Варианта, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Кол-во Частота, 2 5 3 9 4 10 3 5 3 5 1 Накопленные частоты 2 7 10 19 23 33 36 41 44 49 50 Относительная частота, 0,04 0,1 0,06 0,18 0,08 0,2 0,06 0,1 0,06 0,1 0,02 Относительная частота в процентах, 4 10 6 18 8 20 6 10 6 10 2 Составим график распределения Составим полигон распределения Вычислим основные числовые характеристики ряда распределения 1) Объем выборки= =2+5+3+9+4+10+3+5+3+5+1=50 2) Размах= =10-0=10 3) Мода =5 (по наивысшей частоте) 4) Средняя выборочная 5) Медиана Найдем номер медианы округлив получим Т.к. , находим по накопленной частоте 6) Относительные частоты вычислим по формуле 7) Относительные частоты в процентах Основы дискретной математики № 11. Решение простейших задач на вычисление вероятностей и проведение простейшего статистического исследования. Решить задачи 1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2,7,8, если цифры в числе повторяться не могут? 2. Сколькими способами можно выбрать трех студентов для участия в семинаре из группы в 25 человек? 3. Из букв слова МАСТЕР составляются различные четырехбуквенные слова (буквы повторяться не могут). Сколько таких «слов» можно составить? 4. На четырех одинаковых карточках записаны буквы Р О У К. Карточки перемешали и наугад раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово УРОК? 5. В вазе 8 гвоздик, 3 хризантемы, и 5 роз. Какова вероятность того, что среди наугад взятых 5 цветков окажется 3 гвоздики, 2 хризантемы и 1 роза? 6. Пять карточек с цифрами 1,2,3,4,5. Найти вероятность того, что получится число 2341, если наугад одна за другой выбираются четыре карточки. 7. Их колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 6 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 короля и 4 туза? 8. Провести статистическое исследование в своей группе – опросив, узнать возраст каждого студента, по полученным данным составить таблицу распределения, построить график и полигон распределения возрастов; расчитать основные числовые характеристики полученного ряда распределения. № 12. Основы дискретной математики Задания для самостоятельного выполнения 1) Подготовить доклад на тему «История развития теории вероятностей». 2) Подготовить доклад на тему «История развития статистики». 3) Оформление конспекта. 4) Выполнение домашнего задания. 5) Выполнение практической работы. 6) Подготовить доклад на тему «Применение дискретной математики на практике». Форма контроля самостоятельной работы: 1) Оценка доклада. 2) Проверка конспекта. 3) Проверка домашнего задания. 4) Проверка и защита практических работ. Вопросы для самоконтроля по теме 1. Понятие вероятности. 2. Элементы комбинаторики (сочетания, перестановки и размещения в схеме выбора без возвращения). 3. Понятие множества. 4. Операции над множествами. 5. Статистическое исследование 6. Ряд распределения. 7. Числовые характеристики ряда распределения. [/tab_pane][tab_pane] КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Итоговый контроль по дисциплине Вопросы к дифференцированному зачету 1) Понятие производной функции. 2) Таблица производных простейших функций. 3) Правила дифференцирования. 4) Геометрический и механический смысл производной. 5) Схема исследования функции (правило нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, промежутков выпуклости, асимптот функции). 6) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. 7) Первообразная и неопределенный интеграл. 8) Таблица интегралов основных функций. Свойства интегралов. 9) Вычисления неопределенного интеграла непосредственным интегрированием. 10) Вычисления неопределенного интеграла методом подстановки. 11) Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. 12) Вычисления определенного интеграла непосредственным интегрированием. 13) Вычисления определенного интеграла методом подстановки. 14) Понятие криволинейной трапеции. 15) Примеры криволинейных трапеций. 16) Формулы для вычисления площадей плоских фигур с использованием интегралов. 17) Примеры вычисления площадей плоских фигур с использованием определенного интеграла. 18) Понятие вероятности. 19) Элементы комбинаторики (сочетания, перестановки и размещения в схеме выбора без возвращения). 20) Статистическое исследование 21) Ряд распределения. 22) Числовые характеристики ряда распределения. 23) Понятие множества. 24) Операции над множествами. [/TAB_PANE][TAB_PANE] ГЛОССАРИЙ Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев, т.е. . Дополнение множества В до множества А состоит из всех элементов, множества А, которые не принадлежат множеству В. Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. Комплексное число имеет вид a + bi , где а - действительная часть, bi – мнимая часть, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b. Матрица размера - это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Медиана равна варианте, находящейся в середине сгруппированного ряда; если в середине находится две варианты, то медиана равна их полусумме. Множество – это совокупность объектов, объединенных по какому либо признаку. Мнимая единица i – это такой элемент, что i2 = – 1. Мода – это наиболее часто встречающийся результат, определяется по наивысшей частоте. Неопределенный интеграл , где F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная. Объединение двух множеств А и В состоит из элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В, или обоим сразу. Объем измерения (объем выборки) равен количеству измерений Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется приращение первообразной F(x) для этой функции, то есть =F(b)−F(a)= Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Определитель матрицы второго порядка - произведение элементов матрицы на главной диагонали минус произведение элементов матрицы на побочной диагонали. Определитель матрицы первого порядка это сам элемент этой матрицы. Определитель матрицы третьего порядка: Вычисляется по правилу Сарруса (привило треугольника): произведение элементов на главной диагонали плюс произведение элементов на первом главном треугольнике, плюс произведение элементов на втором главном треугольнике минус произведение элементов на побочной диагонали, минус произведение элементов на первом побочном треугольнике, минус произведение элементов на втором побочном треугольнике. Относительная частота в процентах – это относительная частота умноженная на 100%. Относительная частота равна частному от деления частоты варианты на объем выборки Пересечение двух множеств А и В состоит из элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов (элементы не выбираются, а переставляются местами внутри множества). Количество перестановок вычисляется по формуле Говорят, что А является подмножеством множества S, если каждый элемент множества А автоматически является элементом множества S. Правило суммы Если некоторый объект x можно выбрать способами, а объект y можно выбрать способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y) можно выбрать способами. Правило умножения Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент y) можно выбрать способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать способами. Два множества называются равными, если каждое из них содержится в другом. Производной функции в точке , Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке , и обозначают его . т.е. Размах измерения (размах выборки) равен разности между наибольшим полученным значением и наименьшим). Размещением из n элементов по m элементов ( ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения). Количество размещений вычисляется по формуле Симметрическая разность двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые принадлежат либо множеству А либо множеству В, но не одновременно. Сочетанием из n элементов по m элементов ( ) называется любое подмножество данного множества, содержащее m элементов (выборки отличаются друг от друга только составом элементов). Количество сочетаний вычисляется по формуле Средняя выборочная равна частному от деления суммы всех результатов измерения на объем измерения. Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. [/tab_pane][tab_pane] ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Основные источники (для студентов) 1. Крамер Н.Ш. Практикум по высшей математике – М.,2012 2. Крамер Н.Ш. Высшая математика для экономистов М.,2014 3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М., 2011. 4. Пехлецкий И.Д. Математика – М., 2011 Дополнительные источники (для студентов) 1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2012. 2. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2013. 3. Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности. Сборник задач: учеб. пособие для вузов.-М.:Дрофа, 2012. 4. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие/М.:Просвящение, 2011. 5. Прикладные задачи по математике, 5-11 классы, Петров В.А., Дрофа, 2013 6. Комбинаторика Виленкин Н.Я. «МЦНМО», 2013 7. Математика. Задачи с решениями. Учебное пособие «Дрофа» 2013 Интернет-ресурсы: 1. i-exam.ru 2. interneturok.ru 3. ru.wikipedia.org/wiki/ [/tab_pane][/tabs]

Ответить

Ваш email нигде не будет опубликован. Обязательные поля отмечены *

Вы можете использовать HTML теги и атрибуты <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>