База учебников, документов и методических разработок

Воспользуйтесь поиском и введите свой вопрос в форме ниже!

Техническая механика*

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине (далее УМКД) Техническая механика создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине. УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМКД перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия курса приведены в глоссарии.

Техническая
«]»]
СОДЕРЖАНИЕ

Наименование разделов
1. Введение
2. Образовательный маршрут по дисциплине
3. Содержание дисциплины
4.Тематика внеаудиторной самостоятельной работы
4. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины
6.Перечень вопросов и практических задач, выносимых на экзамен
5. Глоссарий
6. Практические работы
7. Информационное обеспечение дисциплины

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине (далее УМКД) Техническая механика создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине. УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.
По каждой теме в УМКД перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.
Основные понятия курса приведены в глоссарии.
После изучения теоретического блока приведен перечень практических работ, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине или допуска к экзамену, поэтому, в случае отсутствия на занятиях по уважительной или неуважительной причине, Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу.
В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа.
Содержание рубежного контроля (точек рубежного контроля) составлено на основе вопросов самоконтроля, приведенных по каждой теме. По итогам изучения дисциплины проводится экзамен.
Экзамен сдается по билетам, вопросы к которому приведены в конце УМКД.
В результате освоения дисциплины Вы должны уметь:
У. 1 производить расчеты механических передач и простейших сборочных единиц;
У. 2 читать кинематические схемы;
У. 3 определять напряжения в конструкционных элементах;
У. 4 выполнять расчеты на прочность, жесткость, устойчивость элементов сооружений;
У. 5 определять аналитическим и графическим способами опорные реакции балок, ферм, рам;
В результате освоения дисциплины Вы должны знать:
З.1 основы технической механики;
З.2 виды механизмов, их кинематические и динамические характеристики;
З.3 методику расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при различных видах деформации, основы расчетов механических передач и простейших сборочных единиц общего назначения
З.4 законы механики деформируемого твердого тела, виды деформаций, основные расчеты;
З.5 определение направлений реакций связи;
З.6 определение момента силы относительно точки;
З.7 типы нагрузок и виды опор балок, ферм, рам;
З.8 напряжения и деформации, возникающие в строительных элементах при работе под нагрузкой;
З.9 моменты инерций простых сечений элементов.

В результате освоения дисциплины у Вас должны формироваться общие компетенции (ОК):
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.
ОК 7. Ставить цели, мотивировать деятельность обучающихся, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за качество образовательного процесса.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Осуществлять профессиональную деятельность в условиях обновления ее целей, содержания, смены технологий.

Учебный курс дисциплины состоит из фиксированного в учебном плане количества теоретических и практических часов, часов самостоятельной работы студентов, а также итоговых (семестровых) форм контроля.
Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете прийти на дополнительные занятия к преподавателю, которые проводятся согласно графику. Время проведения консультаций Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомиться с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Вид учебной работы Объем часов
отрасль СЭЗиС ХКМиУ
Максимальная учебная нагрузка (всего) 128 205
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) 85 137
в том числе:
лабораторные работы
практические занятия 42 68
контрольные работы
курсовая работа
Самостоятельная работа обучающегося (всего) 43 68

Желаем Вам удачи!

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1 Теоретическая механика

Тема 1.1 Введение
Основные понятия и термины по теме:
Структурная схема технической механики. Статика. Кинематика. Динамика.
Сопротивление материалов. Детали машин.
План изучения темы:
Содержание и задачи предмета, его связь с другими предметами. Основные направления развития промышленности. Роль механизации и автоматизации в совершенствовании технологии современного производства.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Техническая механика – это наука, изучающая методы синтеза и анализа механических устройств, их движение, и применение в современной технике. Основы технической механики, берут своё начало из глубокой древности, и благодаря пытливым умам великих учёных, из века в век, пополняя точную науку «Механика» всё новыми открытиями и гипотезами, донесли её до наших дней. Современные учёные-физики, приняв эстафету от предков, продолжают кропотливо трудиться над улучшениями производственных процессов, улучшая показатели, основываясь на теоретических и прикладных основах технической механики. Высокие достижения в технической механике, позволяют существенно улучшать качество сборочных единиц узлов и механизмов, материалов, конструкций машин. Вследствие технических улучшений сборочных единиц, повышаются в качестве и производственные процессы. Что позволяет создавать и внедрять в жизнь, полу и полностью автоматические производственные линии, обеспечивающие полный спектр выпуска высококлассной продукции, от изготовления сырьевой базы, до транспортировки готовой продукции до потребителя.
Структурная схема технической механики

Техническая механика – точная научная дисциплина, изучающая законы механического движения, основываясь на их анализах и синтезах.
Изучение технической механики, делится на несколько подразделов и разделов. Как показано на рисунке, структура технической механики складывается следующим образом:

1 ) В верхнем блоке находится общее название научной дисциплины -Техническая механика.
2) Далее идёт разделение на два подраздела:
а) Теоретическая механика – изучающая теоретические основы механического движения;
б) Прикладная механика – применяются основы Теоретической механики в практических целях (проектирование, расчёты машин, конструкций и сооружений)
3) Каждый подраздел, в свою очередь делится на несколько разделов:
а) Теоретическая механика: Статика, Кинематика, Динамика;
б) Прикладная механика:Детали машин; Теория механизмов; Сопротивление материалов
Практические занятия: Не предусмотрено
Вопросы для самоконтроля по теме:
Что изучает теоретическая механика?
Какова роль механизации и автоматизации в усовершенствовании технологических процессов производства?

Тема 1.2 Основные понятия и аксиомы статики
Основные понятия и термины по теме:
Механическое движение; Прямолинейное движение; Криволинейное движение; Поступательное движение; Вращательное движение; Равновесие; Покой; Материальная точка; Система; Абсолютно твердые и деформируемые тела; Сила – вектор; Система сил; Эквивалентность сил;
План изучения темы:
Механическое движение. Равновесие. Покой. Материальная точка. Система. Абсолютно твердые и деформируемые тела. Сила-вектор. Система сил. Эквивалентность сил. Аксиомы статики: уравновешенная система сил; условие равновесия двух сил; преобразование сил; правило сложения двух сил; действие и противодействие; реакции и их связи.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Механи́ческим движе́нием тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.
Механическое движение можно рассматривать для разных механических объектов:
Движение материальной точки полностью определяется изменением её координат во времени (например, двух на плоскости). Изучением этого занимается кинематика точки. В частности, важными характеристиками движения являются траектория материальной точки, перемещение, скорость и ускорение.
Прямолинейное движение точки (когда она всегда находится на прямой, скорость параллельна этой прямой)
Криволинейное движение — это движение точки по траектории, не представляющей собою прямую, с произвольным ускорением и произвольной скоростью в любой момент времени (например, движение по окружности).
Движение твёрдого тела складывается из движения какой-либо его точки (например, центра масс) и вращательного движения вокруг этой точки. Изучается кинематикой твёрдого тела.
Если вращение отсутствует, то движение называется поступательным и полностью определяется движением выбранной точки. Заметим, что при этом оно не обязательно является прямолинейным.
Для описания вращательного движения — движения тела относительно выбранной точки, например закреплённого в точке, используют Углы Эйлера. Их количество в случае трёхмерного пространства равно трём.
Также для твёрдого тела выделяют плоское движение — движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, при этом оно полностью определяется одним из сечений тела, а сечение тела положением любых двух точек.
Движение сплошной среды. Здесь предполагается, что движение отдельных частиц среды довольно независимо друг от друга (обычно ограничено лишь условиями непрерывности полей скорости), поэтому число определяющих координат бесконечно (неизвестными становятся функции).
Механическое равновесие, также известно как статическое равновесие, — состояние тела, находящегося в покое, или движущегося равномерно, в котором сумма сил и моментов, действующих на него, равна нулю.
Материальной точкой называется абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, мысленно сосредоточив всю массу этого тела в точке. Например, движение спутника вокруг планеты можно рассматривать как движение материальной точки, так как размеры спутника ничтожно малы по сравнению с размерами планеты.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.
Силой называется векторная величина, представляющая собой меру механического воздействия одних тел на другие.
Системой сил называется совокупность нескольких сил, действующих на данное тело.
Две системы называются эквивалентными, если, действуя на одно и тоже твердое тело, они производят одинаковое механическое воздействие.
Силы, действующие на частицы тела со стороны других материальных тел, называются внешними силами. Силы, действующие на частицы данного тела со стороны других частиц этого же тела, называются внутренними силами.
Если под действием данной системы сил свободное тело может находится в покое, то такая система сил называется уравновешенной или системой, эквивалентной нулю.
Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.
Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, называется сосредоточенной силой. Силу, действующую на определенную часть поверхности тела, называют распределенной.
Аксиомы статики:
Две силы, действующие на свободное абсолютно твердое тело, находятся в равновесии тогда и только тогда, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.
Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, являющуюся диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Два материальных тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленными. Такая система сил не является уравновешенной, так как силы приложены к разным телам.
Если деформируемое тело находится в равновесии под действием данной системы сил, то равновесие не нарушится, если тела станут абсолютно твердыми. Эта аксиома называется аксиомой затвердевания.
Реакции и их связи.
Тело, которое может совершать любые перемещения в про¬странстве, называется свободным. Примером свободного тела может служить самолет или снаряд, летящие в воздухе. В различ¬ного рода сооружениях и конструкциях мы обычно встречаемся с телами, на перемещения которых наложены ограничения. Такие тела называются несвободными. Тело, ограничивающее свободу движения твердого тела, является по отношению к нему связью. Если приложенные к телу силы будут стремиться сдвинуть его по тому или иному направлению, а связь препятствует такому пере¬мещению, то тело будет воздействовать на связь с силой давления на связь. По аксиоме 4 статики связь будет действовать на тело с такой же силой, но противоположно направленной. Сила, с кото¬рой данная связь действует на тело, препятствуя тому или иному перемещению, называется силой реакции связи.
Из изложенного следует принцип освобождаемости твердого тела от связи, или аксиома связи: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленно отбро¬сить наложенные на тело связи и приложить вместо них силы реакции этих связей.
Силы, действующие на тела, будем разделять на заданные, или активные силы, и реакции связей, или пассивные силы.
Активные силы отличаются тем, что модуль и направление каждой силы наперед известны и не зависят от действия других приложенных к данному телу сил. Примерами активных сил могут служить мускульная сила человека, сила тяжести, сила сжатой пружины.
Реакции связи на покоящееся тело возникают лишь в тех случаях, когда это тело под действием активных сил оказывает давление на связь, поэтому они и называются пассивными си¬лами.
По аксиоме связи реакция связи направлена в сторону, про¬тивоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Сле¬довательно, если известно, в каком направлении связь препятст¬вует перемещению твердого тела, то известно и направление реакции связи.
Практические занятия:
Определение равнодействующей системы сил и уравновешивающей силы. Равновесие системы сходящихся сил.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что такое материальная точка? абсолютно твердое тело?
2.Что называется силой и каковы её единицы?
3.Что называется системой сил? Какие системы называются эквивалентными?
4.Что называется равнодействующей и что уравновешивающей силой?
5.Как формулируется аксиомы статики и следствия из них?

Тема 1.3 Плоская система сходящихся сил
Основные понятия и термины по теме:
Плоская система сил; сходящиеся силы; силовой многоугольник; Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил; проекция вектора на ось; проекция силы на ось.
План изучения темы:
Геометрический метод сложения сил, приложенных в одной точке (построение силового многоугольника). Проекция силы на ось. Проекция векторной суммы на ось. Аналитическое определение значения и направления равнодействующей плоской системы сходящихся сил (метод проекций). Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил. Решение задач на равновесие плоской системы сходящихся сил.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Система сил, линии действия которых лежат в одной плоско¬сти, называется плоской.
На плоскости могут быть приложены произвольно располо¬женные силы, пары сил и силы, сходящиеся в одной точке. Рассмотрим равновесие системы сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пере¬секаются в одной точке (рис. 1.13, а). Существуют два способа сложения пересекающихся сил: геометрический (рис. 1.13, 6) и аналитический (рис. 1.13, в).
Геометрический способ сложения сходящихся сил.
От произвольной точки О откладываем вектор, равный силе ; от конца откладываем вектор, равный силе и т.д. (см. рис. 1.13, а, б). Затем, соединяя начало вектора с концом последне¬го получаем равнодействующую всех сил. Построенная фигу¬ра называется силовым многоугольником.
Аналитический метод сложения сходящихся сил. Проектируя векторное равенство + + = на оси коорди¬нат, получим два алгебраических равенства:

Или

Отсюда определим значение равнодействующей всех сходящихся
сил:

И направление вектора :

Условием равновесия системы сходящихся сил является равен¬ство нулю модуля равнодействующей т.е. силовой многоуголь¬ник должен быть замкнутым (при геометрическом способе сложе¬ния) или, аналитически, проекции равнодействующей силы на оси координат должны быть равны нулю (Rx = Rу = 0). Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равнове¬сия этих сил:

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необхо¬димо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю.

Проекция силы на ось.
Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников в большинстве случаев сопряжено с громоздкими построениями. Более общим и универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси.
Проекция вектора считается отрицательной (—), если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.
Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:
Вектор силы F (рис.12,a) составляет с положительным направлением оси х острый угол а. Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х; получаем: . Проекция вектора в данном случае положительна.
Сила F (рис.12,б) составляет с положительным направлением оси х тупой угол а. Тогда ,
т. е. Fx = — F*cos р. Проекция силы F на ось х в данном случае отрицательна.
Сила F (рис.12,в) перпендикулярна оси х. Проекция силы F на ось х равна нулю, т.е. Fx — F cos 90° = 0.
Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Силу, расположенную на плоскости хОу (рис.13), можно спроектировать на две координатные оси Ох и Оу. На рисунке изображена сила F и ее проекции Fx, Fу. Ввиду того, что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника АСВ следует:
.
Этими формулами можно пользоваться для определения модуля и направления силы, когда известны ее проекции на координатные оси.
Проекция векторной суммы на ось
Рассмотрим сходящиеся силы , , , , (рис. 14, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил определяется замыкающей стороной силового многоугольника (рис. 14, б) :

Опустим из вершин силового многоугольника на ось Х перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

где n — число слагаемых векторов. Их проекции входят в уравнение с соответствующим знаком.
Итак, проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве — соответственно на три.

Практические занятия:
Решение задач на равновесие плоской системы сходящихся сил (геометрический метод)
Решение задач на равновесие плоской системы сходящихся сил (аналитический метод)
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Как определяется равнодействующая системы сходящихся сил, построение силового многоугольника?
2.Какая система сил называется сходящейся?
3.Что называется проекцией силы на ось?
4.Как определить значение и знак проекции силы на оси координат?
5.В каком случае проекция силы на ось равна нулю?
6.Какие уравнения можно составить для уравновешенной плоской системы сходящихся сил?
7.В каком случае проекция силы на ось равна модулю силы?

Тема 1.4 Плоская система пар сил
Основные понятия и термины по теме:
Момент силы
План изучения темы:
Момент силы относительно точки (центра), как вектор. Пара сил. Момент пары сил, как вектор. Теорема о сумме моментов сил, образующих пару, относительно любого центра. Теорема об эквивалентности пар. Сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Условие равновесия системы пар сил.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Момент силы относительно центра. Опыт показывает, что эффект действия силы, приложенной к телу (например, к рычагу, штурвалу) на разных расстояниях от точки закрепления тела, зависит от так называемого м о м е н т а с и л ы относительно точки закрепления.
Моментом силы относительно центра О называется произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы.
(1.6)

где h — кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы Момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки и отрицательным, если по ходу часовой стрелки (рис. 1.24, 1.25). Размерность момента силы Н*м.

Рис. 1.24 Рис. 1.25
Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия. Момент силы относительно центра О равен нулю, если сила равна нулю или, если линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю). Графически абсолютная величина момента силы относительно центра О выражается удвоенной площадью ОАВ
= 2S ОАВ
Момент силы относительно центра как векторное произведение. Введенного понятия «момент силы относительно центра как алгебраическая величина» оказывается недостаточно в случае сил, произвольно расположенных в пространстве. Плоскости поворота у разных сил будут различными и должны задаваться дополнительно. Удобно ввести понятие «момент силы относительно центра как в е к т о р», модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо, а направление перпендикулярно плоскости, проходящей через линию действия силы и центр момента.
Вектор момента силы прикладывают в центре момента и направляют в сторону, откуда сила видна вращающей тело в направлении, противоположном ходу часовой стрелки (рис. 1.26). Соединим центр момента О с точкой приложения силы радиусом-вектором и найдем векторное произведение
По определению векторного произведения его модуль| |= 2S ОАВ
Модуль вектора момента силы также равен удвоенной площади ОАВ
=
Направление векторного произведения также совпадает с направлением вектора момента. Следовательно, вектор-момент силы относительно центра О можно рассматривать как векторное произведение радиус-вектора проведенного из этой точки в точку приложения силы, на вектор силы

Рис. 1.26 Рис. 1.27

Пара сил. Момент пары.
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил называется п а р о й
с и л (рис. 1.28).
Пара сил не имеет равнодействующей и силы пары не уравновешиваются.
Действие пары на тело характеризуется ее моментом.
1. Вектор-момент перпендикулярен плоскости действия пары.
2. Направлен в ту сторону, чтобы, смотря с его конца, вращение было происходящим против хода часовой стрелки.
3. Величина вектора равна в выбранном масштабе численному значению момента пары
Вектор-момент пары равен векторному произведению радиуса-вектора на ту из сил пары, к началу которой направлен вектор
(1.10)

или
(1.11)

по модулю
(1.12)
Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны. Геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары
т.е. ( ) (1.13)
Пары сил, произвольно расположенные в пространстве, взаимно уравно-вешиваются в том случае, если геометрическая сумма их моментов равна нулю. Если пары сил расположены в одной плоскости, то моменты этих пар сил, направленные по одной прямой, складываются а л г е б р а и ч е с к и. Момент пары сил, эквивалентный системе пар сил на плоскости, равен алгеб-раической сумме моментов составляющих пар (рис. 1.29).

где . Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновешиваются, если алгебраическая сумма их моментов равна нулю

Рис. 1.28 Рис. 1.29
Силовое воздействие на самолет часто приводится к паре сил. Например, аэродинамические силы (силы сопротивления воздуха вращению) воздушного винта складываются в пару, называемую аэродинамическим (реактивным) моментом винта Мв (рис. 1.30). Чем большую мощность развивает двигатель, тем больше реактивный момент, вызывающий крен самолета. Этот момент уравновешивают некоторым отклонением элеронов; аэродинамические силы и Y составляют пару с моментом, равным значению реактивного момента воздушного винта и обратным его направлению.

Рис. 1.30 Рис. 1.31 Рис. 1.32

Практические занятия: Условие равновесия системы пар сил
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что называется моментом силы относительно точки?
2.Как определяется знак момента силы относительно точки?
3.Что называется плечом силы?
4.Что такое пара сил?
5.Имеет ли она равнодействующую?
6.Что такое момент пары сил?
7.Какие пары называют эквивалентными?

Тема 1.5 Плоская произвольная система сил
Основные понятия и термины по теме:
Главный вектор, главный момент, момент пары сил, сложение пар сил, равновесие пар сил, момент силы относительно точки, определение равнодействующей произвольной плоской системы сил, теорема Вариньона, равновесие произвольной плоской системы сил, сосредоточенные силы, равномерно распределенные нагрузки.
План изучения темы:
Алгебраическая величина момента силы. Вычисление главного вектора и главного момента плоской системы сил. Аналитические условия плоской системы сил, три вида условий равновесия. Условия равновесия плоской системы параллельных сил. Сосредоточенные и распределенные силы. Силы равномерно распределенные по отрезку прямой и их равнодействующая.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Определение равнодействующей произвольной плоской системы сил
Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой – главным вектором – и одной парой сил, момент которой называется главным моментом
Замену любой плоской системы сил главным вектором и главным моментом необходимо рассматривать как предварительную операцию перед определением равнодействующей силы или равнодействующего момента (пары сил), если система не имеет равнодействующей.
Главный вектор по модулю и направлению соответствует геометрической сумме всех данных сил и приложен в произвольно выбранной точке – в центре приведения. Главный момент равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно точки, в которой приложен главный вектор.
Задачу определения главного вектора и главного момента можно решать как графическим методом, так и аналитическим. Графический метод здесь не рассматривается, а аналитически решение задачи выполняется так:
1) модуль главного вектора: Rгл = ,
где проекция главного вектора на ось х: Xгл = ∑ Xi
и проекция главного вектора на ось у: Yгл = ∑ Yi;
2) направление главного вектора, т. е. углы φx или φy, образуемые Rгл с осями координат, можно определить при помощи тригонометрических соотношений (см. § 4, п. 7);
3) знак и числовое значение главного момента определяются по формуле
Mгл = ∑ M0(Pi),
где M0(Pi) – моменты последовательно всех сил относительно одной и той же точки – точки, выбранной для приложения главного вектора – центра приведения.
Замена главного вектора Rгл и главного момента Mгл равнодействующей R представляет операцию, обратную приведению силы к точке. Приводя силу к любой точке, не расположенной по линии ее действия, получаем силу и пару. Теперь необходимо от силы и пары перейти к одной эквивалентной им силе.

На рис. 74 условно показана последовательность операции замены главных вектора и момента – равнодействующей:
1) на рис. 74, а изображены найденные Rгл и Mгл некоторой плоской системы сил;
2) на рис. 74, б главный момент Mгл представлен в виде пары (R1, R) (причем, R=R1=Rгл), расположенной так, что одна из сил R1 пары уравновешивает главный вектор Rгл;
3) уравновешенную систему сил можно убрать и вместо Rгл и Mгл останется одна сила R – равнодействующая данной системы сил (рис. 74, в).
Таким образом, если плоская система сил приводится к главному вектору и главному моменту, то ее равнодействующая R численно и по направлению соответствует главному вектору: R=Rгл.
Но линия действия равнодействующей ВС расположена от центра приведения О на расстоянии
l = OA = Mгл/R = (∑ M0(Pi))/R.
Теорема Вариньона
Из формулы, определяющей расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей, OA = (∑ M0(Pi))/R можно вывести уравнение, выражающее теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил:
R * OA = ∑ M0(Pi):
момент равнодействующей относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же точки.
Теорема Вариньона находит широкое применение при решении задач по статике, в частности во всех тех задачах, где рассматривается равновесие рычага

При помощи теоремы Вариньона очень просто определяется равнодействующая какого угодно числа параллельных сил Р1, Р2, Р3, …, Рi(рис. 80).
Известно, что модуль равнодействующей любой плоской системы сил равен модулю главного вектора:
R = Rгл = sqrt(XR2 + YR2).
Но если в данном случае расположить оси проекций так, как показано на рис. 80, одну ось – перпендикулярно к силам, а другую – параллельно им, то
XR = ∑ Xi = 0
и
R = |YR| = |∑ Yi|.
Таким образом, модуль равнодействующей, параллельной системы сил равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную этим силам.
Так как XR=0, то вектор равнодействующей R направлен параллельно составляющим силам. Сторона, в какую направлен R, определяется по знаку ∑ Yi. Если у алгебраической суммы проекций получается знак «плюс», то равнодействующая направлена в сторону положительного направления оси; если получается знак «минус», то равнодействующая направлена противоположно положительному направлению оси.
Определив модуль и направление равнодействующей, по теореме Вариньона находим расстояние OA, на котором расположена KL – линия действия R от произвольно выбранного центра моментов O.
Задачи, приведенные ниже, решаются при помощи так называемого условия равновесия рычага, непосредственно вытекающего из теоремы Вариньона.

Рычагом можно назвать любое тело, поворачивающееся либо вокруг закрепленной оси, либо около линии контакта, образующейся при свободном опирании на другое тело.
Находясь под действием сил, рычаг уравновешен лишь в том случае, если линия действия равнодействующей пересекает ось или линию опоры. Причем если опорой рычага АВ служат закрепленная ось (неподвижный шарнир), то линия действия равнодействующей может быть направлена к рычагу под любым углом α (рис. 85, а). Если же рычаг АВ свободно опирается на идеально гладкую опору (рис. 85, б), то линия действия равнодействующей должна быть перпендикулярна к опорной поверхности. В любом из этих случаев равновесие возникает потому, что система сил, действующих на рычаг, уравновешивается реакцией опоры Rур, численно равной равнодействующей. А так как момент равнодействующей относительно опоры равен нулю, то из выражения теоремы Вариньона следует уравнение
∑ Mоп(Pi) = 0, выражающее условие равновесия рычага.
Равновесие произвольной плоской системы сил
Задача на равновесие произвольной плоской системы сил решается по той же общей схеме, которая приведена в § 8. Придерживаясь этой схемы, необходимо учитывать следующее.
Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору Rгл и главному моменту Мгл .
Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то Rгл=0 и Mгл=0. Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.
Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:
∑ Xi = 0;
(1)∑ Yi = 0;
∑ M0(Pi) = 0.
Первое и второе выражения – уравнения проекций – образуются из условия Rгл=0; третье выражение – уравнение моментов – из условия Mгл=0.
Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов
(2)∑ Yi = 0;
∑ M0(Pi) = 0.
При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:
∑ Xi = 0;
(3)∑ MA(Pi) = 0;
∑ MB(Pi) = 0.
или
∑ MA(Pi) = 0;
(4)∑ MB(Pi) = 0;
∑ MC(Pi) = 0.
В первом случае линия, проходящая через точки А и В, не перпендикулярна к оси х. Во втором случае центры моментов А, В и С не лежат на одной прямой линии.
Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:
(5)∑ MA(Pi) = 0;
∑ MB(Pi) = 0.
В этом случае точки А и В не лежат на прямой, параллельной силам.
В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.
Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).
Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.
Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки Р1 или Р2, как показано на рис. 91, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам А или В тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 91, б.

Равномерно распределенные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 92, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров – интенсивности q и длины l, на протяжении которой они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 92, б.
Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами P, действующими на тело так, как показано на рис. 93, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 93, б.

Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Q подвешен на конце бруса, жестко заделанного другим концом в каком-либо теле (рис. 94, а). Если перенести действие силы в точку А тела (рис. 94, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента.
Как правило, в задачах по статике реакции связей – искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо знать ее направление и числовое значение (модуль).
Направления реакций идеальных связей – связей без трения – определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.
1. При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела (RA, RD; рис. 95), либо к поверхности связи (RB, RC; рис. 95), либо к общей касательной обеих поверхностей (RE рис. 95).

Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении – перпендикулярном к опорной поверхности.
2. Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми. Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (T1, T2 и T3; рис. 96).
3. Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 97), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким образом, подвижный шарнир (т.е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.

4. Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 98), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.
Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие XA и YA (или XB и YB) реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма или треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции RA (или RB).
Направление реакции неподвижного шарнира непосредственно определяют в двух следующих случаях:
а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;
б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил (задачи 47 и 48).
5. Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 99). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.

Так же как и неподвижный шарнир, жесткая заделка препятствует поступательному перемещению тела. Поэтому направление ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие Xз и Yз. Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки Mз, уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).
Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.
6. Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 100). В отличие от гибкой связи (см. п. 2) такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.
Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, то в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.
Равновесие с учетом сил трения
Задачи, приведенные в этом параграфе, отличаются от предыдущих тем, что в них рассматривается равновесие тел, имеющих, кроме идеальных, еще и реальные связи, т. е. связи с трением
При свободном опирании тела на поверхность идеальной связи реакция такой связи Rи.с. (рис. 117, а) направлена перпендикулярно к ее поверхности, т. е. по нормали n к этой поверхности.

Если же тело опирается на поверхность реальной связи (в отличие от идеальных связей реальные связи условимся отмечать двойной штриховкой), то ее реакция Rр.с.(рис. 117, б) в зависимости от нагрузок, приложенных к телу, отклонится от нормали n к поверхности связи на некоторый угол φ.
Поясним это общее положение следующим примером.
Наклонный брус (рис. 118, а), вес которого G, опирается в двух точках А и В соответственно на вертикальную и горизонтальную поверхности идеальных связей. Этот брус не может находиться в равновесии, потому что три силы – вес бруса G и реакции RA и RB – расположены так, что не выполняется необходимое условие равновесия трех непараллельных сил; их линии действия не пересекаются в одной точке.
Чтобы брус, показанный на рис. 118, а, находился в равновесии, необходимо наложить еще одну связь, например, удержать брус шнуром или упереть в выступ на горизонтальной плоскости (обе возможные связи показаны пунктиром).
Теперь представим, что в точке В брус опирается не на идеально гладкую, а на шероховатую (реальную) поверхность (рис 118, б). В этом случае брус может находиться в равновесии без дополнительной связи (шнура или упорной планки). Значит три силы – вес G и реакции опор RA и RB – образуют уравновешенную систему. Равновесие трех сил, действующих на брус, возможно потому, что реакция RBреальной связи отклоняется на некоторый угол φ от нормали к поверхности связи и линии действия всех трех сил пересекаются в точке О.
Если реакцию RB реальной связи разложим на две составляющие, направленные вдоль поверхности и перпендикулярно к ней (это разложение показано на рис. 118, а справа), то получим силу NB – нормальную составляющую RB, численно равную нормальному давлению, производимому концом бруса на опору, и силу F – касательную составляющую реакции RB, которая называется силой трения.
При увеличении угла α, характеризующего наклон бруса относительно горизонтальной поверхности, угол φ уменьшается, а вместе с ним уменьшается и сила трения, но брус сохраняет равновесие.
Если же уменьшать угол α, то угол φ, характеризующий отклонение реакции RB от нормали, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и сила трения (рис. 118, в). При некотором наклоне бруса, определенном для данной пары соприкасающихся в точке В тел (например, для деревянного бруса, опирающегося о деревянный пол), брус скользит. Это означает, что сила трения, достигая предельного значения, больше увеличиваться не может. При этом реакция отклоняется также до предельного значения φ=φ0 и при дальнейшем уменьшении угла α линия действия реакции RB уже не попадает в точку пересечения сил G и RA.
Угол φ0, соответствующий Fmax – максимальному значению силы трения, называется углом трения. Числовое значение угла трения зависит от материала соприкасающихся тел и от состояния их поверхностей.
Для случая предельного равновесия между силой трения и углом трения имеем такую зависимость: Fmax / NB = tg φ0. Постоянное для данной пары соприкасающихся тел значение tg φ0=f называется коэффициентом трения при покое. Таким образом, Fmax = fN.
При решении задач необходимо учитывать, что сила трения направлена всегда в сторону, противоположную той, при которой точка может скользить по идеальной поверхности.
Если в число реакций связей, обеспечивающих равновесие тела, входит сила трения, то такое состояние равновесия называется самоторможением.
Сочлененные системы
Сочлененной называется система нескольких тел, соединенных друг с другом при помощи внутренних связей: простого опирания, стержней или нитей (цепей), шарниров.
При решении некоторых задач с сочлененными системами равновесие каждого тела системы рассматривают отдельно. При этом в месте сочленения тел возникают две силы, одна из которых приложена к одному телу, а другая – ко второму телу. Эти силы равны по модулю, направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны (закон равенства действия и противодействия).

На рис. 126 показаны силы взаимодействия, возникающие между телами А и В: PAB – действие тела А на тело В и PBA – действие тела В на тело А. Если, например, тело А служит опорой для В (связью), то PAB – реакция связи, приложенная к телу B, а PBA – сила давления (нагрузка), приложенная к телу А.
На рис. 127 показаны силы, возникающие при взаимодействии тел A и B не непосредственно друг с другом, а через стержень. Если допустить, что тело А действует на В через стержень силой TAB, то тогда со стороны тела В возникнет сила TBA. В задачах, как правило, рассматривают только эти две силы, приложенные к телам А и В (рис. 127, а).

На рис. 127, б показаны силы, приложенные только к стержню, т. е. показаны действия на стержень тел А и В.
Если два тела А и В связаны друг с другом при помощи так называемого внутреннего шарнира (рис. 128), то направление сил взаимодействия заранее неизвестно. Поэтому каждая из сил взаимодействия между телами (силы RAB и RBA – предположительно показаны на рис. 128 штриховыми векторами) заменяются составляющими XAB, YAB и XBA, YBA. Причем для этих векторов выполняются следующие равенства: RAB=-RBA, XAB=-XBA и YAB=-YBA.
Практические занятия:
Определение опорных реакций балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что такое главный вектор и главный момент плоской системы сил?
2.В каком случае главный вектор плоской системы сил является её равнодействующей?
3.Как аналитически найти главный вектор и главный момент плоской системы сил?
4.Как формулируется теорема Вариньона?
5.Какие уравнения можно составить для уравновешенной произвольной плоской системы сил?
6.Какие виды нагрузок Вы знаете?
7.Какие виды опор балок Вы знаете?
8.Как найти числовое значение, направление и точку приложения равнодействующей равномерно распределенной нагрузки?

Тема 1.6 Пространственная система сил
Основные понятия и термины по теме:
Равновесие пространственной системы сходящихся сил; Момент силы относительно оси; Равновесие произвольной пространственной системы сил
План изучения темы:
Момент силы относительно точки (центра), как вектор. Пара сил. Момент пары сил, как вектор. Теорема о сумме моментов сил, образующих пару, относительно любого центра. Теорема об эквивалентности пар. Сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Условие равновесия системы пар сил.
Краткое изложение теоретических вопросов:
При решении задач по теме «Пространственная система сил, необходимо использовать не две оси координат, которые всегда можно расположить в одной плоскости – в плоскости рисунка, иллюстрирующего задачу, а три взаимно перпендикулярные оси.
Эти оси нельзя расположить в одной плоскости и при изображении пространственной системы сил на рисунке надо использовать одну из принятых в машиностроительном черчении аксонометрических проекций (ГОСТ 2.305–68. Изображения – виды, разрезы, сечения).
На рис. 145 показано изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей в изометрической проекции. Пересечение двух вертикальных плоскостей определяет положение вертикальной оси z, пересечением обеих вертикальных плоскостей с горизонтальной определяются положения двух горизонтальных осей х и у.

На рис. 146 представлены те же три взаимно перпендикулярные плоскости в диметрической проекции, а на рис. 147 – в фронтальной диметрическои проекции. На каждом рисунке справа показано положение осей при изображении соответствующей проекции.

Если при решении задач, в которых рассматривается пространственная система сил, трудно представить взаимное расположение сил или их расположение относительно выбранных осей координат, то следует изготовить из плотной бумаги модель трех пересекающихся под прямым углом плоскостей, а линии пересечения плоскостей выделить цветными линиями и обозначить их соответственно х, у и z. В такой модели трех взаимно перпендикулярных осей можно помещать модели систем сил, рассматриваемых в задаче, изготовленные из пластилина, проволочек и спичек.
Правило параллелепипеда сил
Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.
Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда (рис. 148). Если даны силы P1, P2 и P3, то заменяющая их действие равнодействующая R по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого AB, АС и AD соответствуют трем силам.

В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы P1, P2 и P3 взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед (рис. 149).
В этом случае модуль равнодействующей R = sqrt(P12 + P22 + P32),
а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формуламcos α1 = P1/R; cos α2 = P2/R; cos α3 = P3/R.
Так же как и правило параллелограмма, правило параллелепипеда можно использовать не только при сложении сил, но и при разложении данной силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Проекция силы на три взаимно перпендикулярные оси. Определение равнодействующей системы пространственных сил, приложенных к точке
Если требуется определить проекции силы Р на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 152), то обычно силу проектируют сначала на одну из плоскостей (например, горизонтальную), а уже затем на оси, расположенные в этой плоскости. При этом нужно обратить внимание на то, что в отличие от проекций силы на оси, являющихся скалярами, проекция силы на плоскость (Pxy на рис. 152) – величина векторная.Легко заметить, что на трех взаимно перпендикулярных проекциях можно построить прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является проектируемый вектор.

Из рис. 152 видно, что проекция на горизонтальную плоскость Pxy = P cos α,
поэтому X = P cos α cos αx; Y = P cos α cos αy и Z = P cos φz.
Если же известны углы φx и φy (на рисунке они не показаны), образуемые вектором Р с осями х и у, то его проекции на эти оси соответственно равны
X = P cos φx и Y = P cos φy.
При помощи проекций сил на три оси легко определить равнодействующую системы сил, приложенных к точке.
Для этого необходимо:
1) выбрать расположение осей так, чтобы проекции всех сил определились простейшим образом;
2) найти проекции всех сил на каждую из осей;
3) сложить проекции всех сил на каждую из осей и найти таким образом три проекции искомой равнодействующей на оси:
XR = ∑ Xi; YR = ∑ Yi и ZR = ∑ Zi;
4) определить модуль равнодействующей R:
R = sqrt(XR2 + YR2 + ZR2);
5) определить направление равнодействующей, найдя какие-либо два угла из трех:
cos φx = XR/R; cos φy = YR/R; cos φz = ZR/R.
Равновесие пространственной системы сходящихся сил
Если система сходящихся сил уравновешена, то ее равнодействующая R=0, а это означает, что и проекции равнодействующей на три взаимно перпендикулярные оси равны нулю (XR=0, YR=0, ZR=0). Отсюда образуются три уравнения равновесия:
∑ Xi = 0;
∑ Yi = 0;
∑ Zi = 0.
При помощи этих уравнений и решаются задачи на равновесие пространственной системы сходящихся сил.
Уравнений равновесия – три, следовательно, статически определимой является такая пространственная система сходящихся сил, в которой неизвестных сил не более трех.
Момент силы относительно оси
Чтобы определить момент силы Р относительно заданной или выбранной оси, например оси z (рис. 157), необходимо выполнить следующие операции:
1) расположить плоскость Н перпендикулярно оси z;
2) определить проекцию силы Р на плоскость H – найти PH;
3) из точки пересечения оси с плоскостью (из точки О) провести перпендикуляр к направлению проекции PH и определить длину этого перпендикуляра OA – плечо силы PH;
4) определить знак момента, придерживаясь такого правила: посмотрим на плоскость Н со стороны положительного направления оси, если увидим, что проекция PHповорачивает плечо против хода часовой стрелки, значит момент имеет положительный знак; а если проекция PH поворачивает плечо по часовой стрелке (как это показано, например, на рис. 157), момент имеет отрицательный знак;

5) находим числовое значение момента силы Р относительно оси; для этого PH – модуль проекции силы Р на плоскость, перпендикулярную к оси, умножаем на плечо OA.
Таким образом (см. рис. 157)
Mz(P) = -PH * OA.
Момент силы относительно оси, так же как и момент силы относительно точки, измеряется по Международной системе (СИ) в ньютон-метрах (Н*м).
Для успешного решения задач и облегчения составления уравнений моментов относительно осей нужно иметь в виду три частных случая, в которых момент силы относительно оси равен нулю (рис. 158):
Случай 1-й (рис. 158, а). Сила Р или линия ее действия пересекает ось; в этом случае плечо OA=0, поэтому PH*OA=0.
Случай 2-й (рис. 158, б). Линия действия силы Р параллельна оси; в этом случае PH=0, поэтому PH*OA=0.
Случай 3-й (рис. 158, в). Линия действия силы Р совпадает с осью; в этом случае и PH=0 и плечо OA=0.

Равновесие произвольной пространственной системы сил
Произвольную пространственную систему сил, так же как и плоскую, можно привести к одной точке и заменить главным вектором Rгл и главным моментом Mгл. Только в этом случае линия действия главного вектора может находиться не в плоскости действия главного момента.
Если Rгл=0 и Mгл=0, то система сил уравновешена и отсюда образуется система шести уравнений равновесия:
∑ Xi = 0;
∑ Yi = 0;
(1)∑ Zi = 0;
∑ Mx(Pi) = 0;
∑ My(Pi) = 0;
∑ Mz(Pi) = 0.
Первые три уравнения (уравнения проекций) получены из условия Rгл=0. Если главный вектор равен нулю, то и алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из осей также равны нулю.
Последние три уравнения (уравнения моментов) получены из условия Mгл=0. Если главный момент системы сил равен нулю, то алгебраические суммы моментов сил относительно каждой из осей равны нулю.
Для облегчения составления уравнений равновесия тело, равновесие которого рассматривается, целесообразно изображать вместе с действующими на него силами в проекциях на три основные плоскости, т. е. изображать вид спереди, вид сверху и один боковой вид – вид слева или вид справа.

В частном случае линии действия сил, образующих пространственную систему, могут оказаться параллельными. Тогда одну из осей (например, ось z) выгодно расположить параллельно силам (рис. 160), а две другие оси расположатся в плоскости, перпендикулярной к линиям действия сил.
Легко понять, что для уравновешенной пространственной системы параллельных сил вместо шести уравнений можно составить лишь три: алгебраическую сумму проекций сил на ось, параллельную данным силам, и два уравнения моментов относительно двух других осей. Остальные уравнения превратятся в тождество вида 0=0.
В соответствии с расположением осей (см. рис. 160) уравнения равновесия имеют вид:
∑ Zi = 0;
(2)∑ Mx(Pi) = 0;
∑ My(Pi) = 0.
Практические занятия: Определение момента силы относительно оси
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Как определяется аналитическим способом равнодействующая пространственной системой сходящихся сил?
2.Какие уравнения можно составить для уравновешенной пространственной системы сходящихся сил?
3.Как определяется момент силы относительно оси? В каком случае он равен нулю?
4.Напишите шесть уравнений равновесия для произвольной пространственной системы сил?

Тема 1.7 Центр тяжести тел
Основные понятия и термины по теме:
Центр тяжести твердого тела; Теорема Вариньона; Центр масс;
Центр тяжести дуги окружности, треугольника и кругового сектора.
План изучения темы:
Центр параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил. Центр тяжести твердого тела. Координаты центров тяжести однородных тел (центр тяжести объема, площади, линии). Способы определения центров тяжести.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Центр тяжести твердого тела. Силы притяжения отдельных частиц тела направлены приблизительно к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать паралельными. Равнодействующая этих паралельных сил, равная их сумме, есть вес тела, а центр этой системы параллельных сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести тела.
Чтобы найти положение центра тяжести тела, необходимо изучить, как складываются параллельные силы и определяются координаты точки приложения их равнодействующей.
Сложение параллельных сил. Допустим, что на тело действует система параллельных сил , причем действуют в одну сторону, а — в противоположную. Для сил найдем такой центр приведения, относительно которого результирующий момент будет равен нулю:

Отсюда . Модуль результирующей силы, приложенной в точке В1, будет равен R1=F1+F2.
Аналогично найдем R2 и ее точку приложения В2. Затем приведем силы к центру приведения С, положение которого определится из соотношения

Эта точка называется центром параллельных сил.
Координаты центра параллельных сил. Положение центра параллельных сил относительно начала координат определяется радиусом-вектором или его проекциями на оси координат, что равнозначно координатам центра параллельных сил xC, yC, zC.
Теорема о моменте равнодействующей. Приложим в точке С силу (рис.1.26). Тогда система будет находится в равновесии.
Теперь определим момент относительно точки О. Очевидно, он равен нулю, так как система сил находится в равновесии:

Величина равнодействующей параллельных сил не изменится, если все силы повернуть параллельно оси ОZ. В этом случае момент равнодействующей относительно оси ОУ

Аналогичным образом вычислим и другие координаты центра параллельных сил:

Способы определения центров тяжести.
Способ разбиения на фигуры, положение центров тяжести которых известно. Применяется в случаях, когда тело можно разбить на конечное число элементов.
Способ дополнения является частным случаем способа разбиения на простейшие фигуры. Применяется, когда тело разбивается на простейшие фигуры, положения центров тяжести которых известны, но некоторые из геометрических фигур представляют из себя пустоты.
Способ интегрирования применяется в случаях, когда для определения центра тяжести не могут быть применены первые два способа.
Экспериментальный способ осуществляется двумя методами – подвешивания и взвешивания.
Метод подвешивания заключается в том, то плоское тело, которое нельзя разбить на простейшие фигуры с известным положением центра тяжести, подвешивают на нити. Прочерчивают линию вдоль этой нити на плоскости тела. Затем эту плоскую фигуру открепляют и подвешивают за другую точку, после чего вновь проводят вертикальную линию. Пересечение этих двух линий дает точку, в которой находится центр тяжести.

ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ ФИГУР
Треугольник.
Медиана треугольника есть диаметр, делящий пополам хорды, параллельные основанию, поэтому на ней лежит центр тяжести площади треугольника. Следовательно, три медианы треугольника, пересекаясь, определяют центр тяжести площади треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в точке, отстоящей на две трети длины каждой из них от соответствующей вершины. Поэтому центр тяжести площади треугольника лежит на любой его медиане на расстоянии двух третей ее длины от вершины.
Четырехугольник.
Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, применяя распределительное свойство центров тяжести.
Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Эта прямая и есть первая из двух искомых прямых.
Вторую прямую получим таким же способом, разбивая четырехугольник на два треугольника (отличных от предыдущих) посредством другой диагонали.
Многоугольник.
Мы знаем способы нахождения центров тяжести площади треугольника и четырехугольника. Чтобы определить центр тяжести площади многоугольника с произвольным числом сторон, предположим, что мы умеем находить центр тяжести площади многоугольника с меньшим числом сторон.
Тогда можно поступить так же, как в случае четырехугольника. Площадь данного многоугольника делят на две части двумя разными способами проведением диагоналей. В каждом из двух случаев соединяют прямой центры тяжести отдельных частей. Эти две прямые пересекаются в искомом центре тяжести.
Дуга окружности.
Пусть требуется определить центр тяжести дуги окружности АВ длины s. Отнесем окружность к двум взаимно перпендикулярным диаметрам ОХ и OY, из которых первый проходит через середину С дуги АВ. Центр тяжести лежит на оси ОХ, являющейся осью симметрии. Достаточно поэтому определить 5. Для этого имеем формулу:

Пусть будут: а — радиус окружности, с — длина хорды АВ, — угол между осью ОХ и радиусом, проведенным к элементу значения , соответствующие концам дуги АВ. Имеем:

Тогда, принимая В за переменную интегрирования и выполняя интегрирование вдоль дуги АВ, получим:

Следовательно, центр тяжести дуги окружности лежит на радиусе, проведенном через середину дуги, в точке, расстояние которой от центра окружности есть четвертая пропорциональная длины дуги, радиуса и хорды.
Круговой сектор.
Сектор, заключенный между дугой окружности и двумя радиусами ОА и ОВ, может быть разложен промежуточными радиусами на бесконечно малые равные между собою секторы. Эти элементарные секторы можно рассматривать как бесконечно узкие треугольники; центр тяжести каждого из них, по предыдущему, лежит на радиусе, проведенном через середину элементарной дуги этого сектора, на расстоянии двух третей длины радиуса от центра окружности. Равные между собою массы всех элементарных треугольников, сосредоточенные в их центрах тяжести, образуют однородную дугу окружности, радиус которой равен двум третям радиуса дуги сектора. Рассматриваемый случая приводится, таким образом, к отысканию центра тяжести этой однородной дуги, т. е. к задаче, решенной в предыдущем п°.
Практические занятия:
Определение центра тяжести сложных геометрических фигур.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что такое центр параллельных сил и каково его свойство?
2.Что такое центр тяжести тела?
3.Как найти координаты центра тяжести треугольника, четырехугольника, многоугольника, дуги окружности, кругового сектора?

Тема 1.8 Основные понятия кинематики
Основные понятия и термины по теме:
Уравнение движения материальной точки; скорость точки; ускорение точки.
План изучения темы:
Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Система отсчета. Задачи кинематики. Основные определения.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, вызывающими это движение.
В теоретической механике изучается простейшая форма дви¬жения — механическое движение. Механическое движение всегда рассматривается относительно выбранной системы отсчета, кото¬рая может быть подвижной или условно неподвижной. Например, при рассмотрении механического движения тел, находящихся на земле, за неподвижную систему осей координат выбираем систему осей, неизменно связанных с Землей.
Способы задания движения материальной точки. Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую линию, или траекто¬рию точки.
Движение точки будет задано естественным способом (рис. 1.30, а), если будут известны: 1) траектория точки; 2) зависимость измене¬ния длины дуги от времени: ОМ’ = S = F(t) (эта зависимость называется уравнением движения материальной точки); 3) начало дви¬жения; 4) направление отсчета.
Положение точки в пространстве однозначно определяется радиусом-вектором , проведенным из некоторого неподвижного центра в данную точку М (рис. 1.30, б). Такой способ задания движения называется векторным:
Положение точки в пространстве в этом случае будет опреде¬ляться геометрическим местом концов векторов , т.е. годогра¬фом ее радиуса-вектора.

Рис. 1.30
При координатном способе задания движения (рис. 1.30, в) долж¬ны быть известны зависимости, по которым можно определить, как со временем изменяются коор¬динаты точки в пространстве:

Эти уравнения называются урав¬нениями движения точки в декарто¬вых координатах, с их помощью для каждого момента времени можно определить положение точки в про¬странстве. Если точка движется на плоскости, то её положение опреде¬лится двумя уравнениями

если точка движется по прямой, то ее движение определится только одним уравнением: x=f(t)
Скорость точки. Скорость точки характеризует быстроту и на¬правление движения точки. При векторном способе задания дви¬жения положение точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором r1 = r(t).
Пусть в момент времени t точка занимает положение М, опре¬деляемое радиусом-вектором (рис. 1.32 а). В момент вре¬мени t+∆t точка займет положение М1 определяемое радиусом-вектором . Этот радиус-вектор будет равен сумме:
Отношение является вектором средней скорости, а вектор¬ная производная от по времени t и будет вектором скорости в данный момент времени:
Поскольку есть производная от функции , то вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории дви¬жения материальной точки.

Если же движение точки задано естественным способом, то из¬вестны ее траектория АВ, начало движения, направление и урав¬нение движения S = S(t). Воспользуемся полученной зависимостью для скорости Введем промежуточную переменную -дуговую координату S:

Поскольку dS — величина скалярная, то вектор будет иметь направление касательной к траектории в точке М; этот вектор обозначается (рис. 1.32, б) и является вектором направле¬ния, модуль его равен единице. Вектор всегда направлен в сторону возрастания S.
Таким образом, при естественном способе задания траектории вектор скорости

Производная ds/dt представляет собой алгебраическое значе¬ние скорости. Если ds/dt>0, то в этот момент времени точка движется в сторону увеличения дуги S и, следовательно, направ¬ление ее скорости совпадает с направлением орта . Если же ds/dt<0, то функция S убывает, и, следовательно, вектор скоро¬сти направлен в сторону, противоположную вектору . Определим скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть заданы уравнения движения точки М (рис. 1.32, в): Ее положение в пространстве определяется радиусом-вектором Ускорение точки. Вектор ускорения точки Если известны проекции ax ау и az этого вектора на оси коор¬динат, то можно определить модуль ускорения: При естественном способе задания траектории движения мате¬риальной точки ее вектор ускорения можно разложить по естест¬венным осям координат и (рис. 1.33): Проекция ускорения на орт называется касательным ускорением, которое изменяет модуль скорости; Касательное ускорение существует только при неравномерном криволинейном движении. Нормальное ускорение изменяет направление векто¬ра скорости , поэтому материальная точка движется по криво¬линейной траектории (р - радиус кривизны траектории). Частые случаи движения материальной точки. 1. . Следовательно, полное ускорение а = 0. Точка движется равномерно по прямой линии. Закон движения в этом случае где So - дуговая координата в начальный момент времени; -скорость движения точки в начальный момент движения (ско¬рость не изменится и в любой другой момент времени t, так как движение не ускоренное). 2. - равномерное криволи¬нейное движение. Вектор скорости мате¬риальной точки изменяется лишь по на¬правлению. Закон движения по криволи¬нейной траектории запишется аналогично первому случаю: 3. - прямолинейное уско¬ренное движение по закону 4. - криволинейное уско¬ренное движение по закону Практические занятия: Определение ускорения точки Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Что изучает кинематика? 2.Что такое система отсчета? 3.Дайте определение основных понятий кинематики: траектория, путь, перемещение. 4.Как формулируется закон движения точки и какими способами его можно задать? 5.Что называется скоростью равномерного движения точки? 6.Как направлен вектор скорости точки при криволинейном движении? 7.Как определяется нормальное и касательное ускорение точки? 8.Что такое график перемещения, график скорости движения точки? [/tab_pane][tab_pane]Тема 1.9 Простейшие движения тел Основные понятия и термины по теме: Поступательное движение твердого тела; Вращательное движение твердого тела. План изучения темы: Поступательное движение твердого тела, его свойства. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращательного движения. Средняя угловая скорость в данный момент. Частота вращения. Единицы угловой скорости и частоты вращения, связь между ними. Линейные скорости и ускорение точек вращательного тела Краткое изложение теоретических вопросов: Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, взятая на теле, во время движения остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки описывают одинако¬вые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения. Это основное свойство поступа¬тельного движения дает возможность изучать движение по одной из его точек. Примером поступательного движения является дви¬жение поршня паровой машины, ползуна с резцом в поперечно-строгальном станке. В этих случаях траектории точек тела прямо¬линейные. В спарнике двух колес (рис. 1.35) траектории точек пред¬ставляют окружность; сам спарник АА1 движется поступательно, а колеса вращаются. Существуют еще более сложные траектории движения точек при поступательном движении тела. При выпуске шасси у истребителя МиГ-21 колеса совершают поступательное движение, причем траектории точек колеса имеют пространствен¬ную кривую. Вращательное движение относительно неподвижной оси. Вра¬щательным называется такое движение твердого тела, при кото¬ром точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных непод¬вижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Для осуществ¬ления этого движения следует неподвижно закрепить две точки твердого тела А и В (рис. 1.36). Тогда прямая, проходящая через эти точки, является осью вращения. При вращении тела угол поворота тела меняется в зависимости от времени: Эта зависимость называется уравнением вращательного движе¬ния тела. Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворо¬та φ с течением времени, называется угловой скоростью тела. Ее значение определяется по формуле Учитывая, что S =rφ и, следовательно, φ=S/r, получим Отсюда найдем линейную скорость точки вра¬щающегося тела Величина, характеризующая быстроту из¬менения угловой скорости с течением време¬ни, называется угловым ускорением Если dω/dt>0 и dφ/dt>0, то движение ускоренное; если dω/dt<0, a dφ/dt>0, то движение замедленное.
Частные случаи вращательного движения тела.
1. ω = const — равномерное вращательное движение по закону

2. = const — равнопеременное вращательное движение (равно¬ускоренное или равнозамедленное). Его закон движения:

Практические занятия:
Решение задач по определению характеристик вращательного движения.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Какое движение твердого тела называется поступательным?
2.Что можно сказать о траекториях, скоростях и ускорениях точек тела совершающего поступательное движение?
3.Дайте определение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Что называется угловым перемещением тела?
4.Что называется угловой скоростью?
5.Какая связь между частотой вращения тела и угловой скоростью вращения?
6.Какое вращательное движение называется равномерным, а какое равнопеременным?

Тема 1.10 Сложное движение точки
Основные понятия и термины по теме:
Системы отсчета; Неподвижная система координат; Подвижные системы отсчета; Относительное движение;
План изучения темы:
Переносное, относительное и абсолютное движение точки. Теорема о сложении скоростей.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Одной из вводимых систем отсчета всегда является неподвижная система координат. Ее называют также и основной. Эта система отсчета при решении большинства задач механики связывается с неподвижным относительно Земли телом. Остальные системы отсчета — подвижные. Эти системы отсчета всегда связываются с тем или иным перемещающимся относительно основной системы отсчета телом. Связанные с телом системы координатных осей при изучении сложного движения тел (сферического, плоского или в общем случае) позволяют определить положение этих тел относительно неподвижной системы отсчета с помощью минимального числа уравнений, а при изучении сложного движения отдельных точек определить характеристики этого движения либо относительно неподвижной, либо относительно подвижной системы отсчета. Задачи здесь могут быть разными.
Рассмотрим, как более простые, случаи сложного движения отдельных точек.
Для дальнейших рассуждений введем предварительно несколько понятий-определений.
Относительным называют движение точки, рассматриваемое по отношению к подвижной системе отсчета .
То есть движение точки по некоторому телу, которое само перемещается каким-либо образом относительно вводимой для решения задачи неподвижной системы отсчета.
В движении по телу рассматриваемая точка может перемещаться либо по прямой, либо по кривой. Эту траекторию (мы будем называть ее относительной) видит наблюдатель, физически (или в большинстве задач мысленно) связанный с движущимся телом. То есть, наблюдатель, как бы находящийся в подвижной системе координат.
Скорость и ускорение точки при ее движении по телу (т.е. относительно подвижной системы отсчета) называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают символами Vr и ar c индексом r.
Движение точки рассматриваемое относительно двух или нескольких систем отсчёта, одна из которых является неподвижной ( инерциальной ), называется сложным или абсолютным , состоящим из относительного и переносного движений. Естестественным при таком рассмотрении движения точки является и определение абсолютной скорости Va как геометрической суммы относительной и переносной Ve скоростей: Va=Vr+Ve.
Практические занятия: Решение задач по теореме «Сложение скоростей»
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Дайте определение сложного движения точки.
2.Какое движение называется относительным, переносным, абсолютным?
3.Сформулируйте теорему сложение скоростей при сложном движении точки.
4.По рельсам перемещается башенный кран и поднимает груз. Какое движение груза является относительным и какое переносным? Как определяется абсолютное движение?

Тема 1.11 Плоскопараллельное движение твердого тела
Основные понятия и термины по теме:
Плоскопараллельное движение тела;
Определение абсолютной скорости любой точки тела;
Мгновенный центр скоростей;
План изучения темы:
Плоскопараллельное движение тела. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное. Определение абсолютной скорости любой точки тела. Мгновенный центр скоростей. Основные способы определения мгновенного центра скоростей.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Плоское движение твердого тела. Плоским, или плоскопараллельным, движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, парал¬лельной некоторой неподвижной плоскости. Примерами плоского движения являются движение шайбы по льду, колеса поезда по прямолинейному участку пути.
Плоское движение тела можно разложить на поступательное и вращательное относительно выбранного центра. На рис. 1.37 пока¬зано, что тело из положения I можно переместить в положение II, используя два варианта.
1 вариант. Перемещаем тело поступательно так, чтобы прямая АВ перемещаясь параллельно самой себе, заняла в пространстве положение А2 В1. После этого повернем тело вокруг точки В1 на угол φ1.
2 вариант. Переместим тело поступательно из положения I так, чтобы прямая АВ совместилась с прямой A1 B2, ей параллельной. После этого будем вращать тело вокруг точки А1 до тех пор, пока точка В2 не попадет в точку В1. Поскольку А1В2||А2В1, то углы φ1=φ2. Следовательно, чтобы занять положение II, тело может

совершить различные поступательные движе¬ния (в зависимости от выбранного полюса), а вращение, как в первом, так и во втором варианте, будет одинаковым.
Следовательно, любое плоское движение можно разложить на поступательное движе¬ние тела вместе с выбранным полюсом и вра¬щательное относительно полюса. Чаще всего за такой полюс выбирают центр масс тела.
Мгновенный центр скоростей. Неизменно связанная с телом точка, скорость которой равна нулю, называет¬ся мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей (МЦС) лежит на перпендикулярах к скоростям точек тела, опу¬щенных из этих точек (рис. 1.38). Различные случаи определения мгновенного центра скоростей показаны на рис. 1.39, а-в.

Преобразование движений. В машинах очень часто происходит преобразование одного движения в другое. Например, в криво-шипно-шатунном механизме (рис. 1.40) кривошип OA совершает вращательное движение, которое преобразуется в поступательное перемещение ползуна В. При решении практических задач бывает необходимо найти законы этого движения или скорости.

Практические занятия:
Решение задач по определению скоростей точек методом мгновенного центра скоростей.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Какое движение твердого тела называется плоскопараллельным?
2.Что такое мгновенный центр скоростей?
3.Какими способами можно определить положение мгновенного центра скоростей?
Контрольная работа

Тема 1.12 Основные понятия динамики. Метод кинетостатики для материальной точки
Основные понятия и термины по теме:
Задачи динамики; аксиомы динамики
План изучения темы:
Предмет динамики: понятие о двух основных задачах динамики. Первая аксиома-принцип инерции, вторая аксиома — основной закон динамики точки. Масса материальной точки; зависимость между массой и силой тяжести. Третья аксиома-закон независимости действия сил. Четвертая аксиома-закон равенства действия и противодействия. Понятия о свободной и несвободной точке. Понятия о силе инерции. Силы инерции при прямолинейном и криволинейном движении материальной точки. Принцип Даламбера, метод кинетостатики.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.
В основе динамики лежат законы, сформулированные Ньютоном.
Первый закон — закон инерции, установленный Галилеем, гласит: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит это состояние.
Второй закон — основной закон динамики — устанавливает связь между ускорением, массой и силой: ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление. Запишем этот закон в форме, которую придал этому закону Эйлер (рис. 1.41):

В классической механике мас¬са т принята за постоянную ве¬личину. Масса является мерой инертности материальных тел в их поступательном движении. Запишем основной закон дина¬мики в виде скалярных равенств, проектируя векторное равенство на оси координат:

Третий закон формулируется следующим образом: всякому дей¬ствию соответствует равное и противоположно направленное про¬тиводействие. Этот закон устанавливает, что при взаимодействии двух тел, в каком бы кинематическом состоянии они не находились, силы, приложенные к каждому из них, равны по модулю и направ¬лены по одной прямой в противоположные стороны.
Четвертый закон не был сформулирован Ньютоном как отдель¬ный закон механики, но таковым можно считать сделанное им обобщение правила параллелограмма сил: несколько одновременно действующих сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщала бы одна сила, равная их геометрической сумме.
Векторное выражение основного закона динамики можно спро¬ектировать либо на декартовы, либо на естественные оси коорди¬нат. В первом случае получим уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат:

где
Во втором случае получим естественные уравнения движения

Принцип Даламбера и метод кинетостатики
Пусть материальная точка массы совершает несвободное движение относительно инерциальной системы координат Oxyz под действием активной силы и реакции связи R (рис. 57).

Рис. 57.
Определим вектор

численно равный произведению массы точки на ее ускорение и направленный противоположно вектору ускорения. Вектор имеет размерность силы и называется силой инерции (даламберовой) материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки сводится к следующему утверждению: если к силам, действующим на материальную точку, условно присоединить силу инерции точки, то получим уравновешенную систему сил, т. е.

Вспоминая из статики условие равновесия сходящихся сил, принцип Даламбера можем записать также в следующей форме:

Практические занятия:
Решение задач методом кинетостатики. Определение сил инерции и величин ее составляющих.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Дайте определение силы инерции. Как она направлена? К чему приложена?
2.В чем заключается принцип Даламбера?

Тема 1.13 Работа и мощность
Основные понятия и термины по теме:
Работа; Мощность; К.П.Д.
План изучения темы:
Работа постоянной силы при прямолинейном движении. Единицы работы. Работа равнодействующей силы. Понятие о работе переменной силы. Работа силы тяжести. Мощность, единицы мощности. Понятие о механическом КПД. Работа и мощность при вращательном движении тела; окружная силы, вращающий момент. Зависимость вращающего момента от угловой скорости (частоты вращения) и передаваемой мощности.
Краткое изложение теоретических вопросов:

Вычислим работу силы, постоянной по модулю и направлению (рис. 1.44). Предположим, что точка М перемещается в точку М1.

Вектор силы F с вектором перемещения составляет угол α. В этом случае работу выполняет только та составляющая силы, которая совпадает с направлением вектора перемещения

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов

Следовательно, работа постоян¬ной по модулю и направлению силы на прямо¬линейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения ее точки приложения:

Рассмотрим частные случаи определения работы постоянной силы.
1. Сила F действует на тело в направлении вектора перемеще¬ния U:
A = FU.
2. Сила F направлена перпендикулярно вектору перемещения U:
А=0.
3. Сила F направлена в сторону, противоположную вектору перемещения U:
А = -FU.
4. Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а опре¬деляется только расстоянием по вертикали между начальной и конечной точками перемещения:
если точка перемещается сверху вниз, то работа силы тяжести положительная:
A = mgH,
где Н — перепад высот.
Если точка перемещается снизу вверх, то работа силы тяжести отрицательная:
А = -mgH.
Из этого следует важный вывод: работа силы тяжести на замк¬нутом пути равна нулю.

Мощность
Одна и та же работа может быть выполнена за различные про¬межутки времени. Поэтому вводят понятие мощности N, которая определяется отношением работы ко времени.
Если в выражение мощности подставить вместо перемещения , то при равномерном прямолинейном движении мощность можно определять через силу и скорость движения:
N = Fvcos α.
При работе машин часто бывает необходимо выразить мощ¬ность через угловую скорость вращения ω. Для равномерного вра¬щательного движения справедлива следующая формула:

где Мкр — крутящий момент относительно оси вращения;
п -частота вращения, об/мин.
Механический коэффициент полезного действия. Выполнение по¬лезной работы машиной сопровождается преодолением вредных сопротив¬лений, главным образом сил трения в подвижных частях. По этой причине полезная работа машины всегда получается меньше затраченной энергии на приведение в действие машины.
Полезная работа машины численно равна разности между затраченной энергией двигателя и работой сил сопротивлений Аn= А3 — Ас,
где: Аn — полезная работа; Аз — затраченная работа; Ас — работа сил со¬противления.
Для оценки совершенства машины в зависимости от затраченной энер¬гии и полезной работы определяют коэффициент полезного действия маши¬ны (КПД).
Численная величина КПД определяется отношением полезной работы машины к потребляемой энергии:полезная работа потребляемая энергия
Вследствии наличия вредных сопротивлений коэффициент полезного действия не может быть равен единице или быть больше ее. Коэффициент полезного действия обычно выражают в процентах.
Коэффициент полезного действия можно определить также отношением полезной мощности машины к затраченной мощности двигателя:
К.П.Д. = Аn / Аз
Данное определение КПД показывает как величина мощности влияет на совершаемую механическую работу.
Практические занятия:
Решение задач по определению механической работы и мощности.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Как определяется работа постоянной силы на прямолинейном участке?
2.Что называется мощностью и каковы её единицы?
3.Чему рана работа силы тяжести? Зависит ли она от вида траектории?
4.Что называется механическим К.П.Д.?
5.Как выражается зависимость между вращающим моментом и угловой скоростью при заданной мощности?

Тема 1.14 Теоремы динамики
Основные понятия и термины по теме:
Импульс силы, количество движения; Кинетическая энергия точки;
План изучения темы:
Импульс силы, количество движения. Теоремы о количестве движения для точки. Кинетическая энергия точки. Теорема о кинетической энергии для точки. Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Момент инерции тела. Кинетическая энергия тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях.
Краткое изложение теоретических вопросов:
ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ (теорема количества движения в конечной форме).
1. Для точки: изменение количества движения точки за конечный промежуток времени равно сумме импульсов, приложенных к точке сил (или импульсу равнодействующей приложенных к точке сил)

или в координатной форме:

2. Для системы: изменение количества движения системы за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил:

или в координатной форме:

Следствия: при отсутствии внешних сил количество движения системы есть величина постоянная; если внешние силы системы перпендикулярны некоторой оси, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная.
ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
1. Для точки: изменение кинетической энергии точки на конечном ее перемещении равно работе приложенных к ней активных сил (касательные составляющие реакций неидеальных связей включаются в число активных сил):

Для случая относительного движения: изменение кинетической энергии точки при относительном движении равно работе приложенных к ней активных сил и переносной силы инерции:

2. Для системы: изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении ее точек равно работе приложенных к ней внешних активных сил и внутренних сил, приложенных к точкам системы, расстояние между которыми меняется:

Если система неизменяема (твердое тело), то ΣAi=0 и изменение кинетической энергии равно работе только внешних активных сил.

Теорема моментов для точки
Теорема моментов имеет более полное наименование как теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Данная теорема возникла из очень простых и логичных соображений.
Количество движения является векторной величиной. Следовательно, как и всякий вектор, может иметь момент относительно какого-либо центра или оси. Обозначается как и называется моментом количества движения точки или кинетическим моментом.
По модулю он равен

где h — длина перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия вектора .
Рассмотрим теорему моментов относительно оси Oz. Пусть материальная точка массы m движется по траектории под действием силы , со скоростью . К точке приложены два вектора и , каждый из которых создает свой момент.
Для вектора из уравнения запишем:

Аналогично для вектора запишем:

Дифференцируя это соотношение по времени, получим:

Первая скобка справа равна нулю в силу второго уравнения
Вторая, в силу первого уравнения в точности совпадает с уравнением
Окончательно

Производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-либо оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.
Данная теорема относительно произвольного центра запишется как

Практические занятия:
Определение кинетической энергии при различных видах движения
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что называется импульсом силы и количеством движения материальной точки?
2.Сформулируйте закон количества движения.
3.Что такое кинетическая энергия точки?
4.Напишите уравнение основного закона динамики поступательно движущегося тела.
5.Что такое момент инерции тела?
6.Как определяется кинетическая энергия тела при вращательном движении?
Контрольная работа
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы.
Основные виды связи: гладкая плоскость, поверхность и опора, гибкая нить, цилиндрический шарнир (подшипник), сферический шарнир (подпятник), невесомый стержень, реакции этих связей.

Теорема о равновесии трех непараллельных сил.
Статически определяемые и неопределяемые системы.
Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил.
Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.
Выражение скорости, нормального, касательного и полного ускорений вращающегося тела через его угловую скорость и угловое ускорение

Раздел 2 Сопротивление материалов

Тема 2.15 Основные положения
Основные понятия и термины по теме:
Понятия о расчетах на прочность, жесткость, устойчивость; Классификация нагрузок; Характеристика деформации; Принцип независимости действия сил; Метод сечений; Напряжения – полное, нормальное, касательное.
План изучения темы:
Основы сопротивления материалов, понятие о расчетах на прочность, жесткость, устойчивость. Классификация нагрузок. Основные гипотезы и допущения о свойствах деформируемого тела, характеристика деформации. Принцип независимости действия сил. Метод сечений. Применение метода сечений для определения внутренних силовых факторов, возникающих в поперечных сечениях бруса. Напряжения — полное, нормальное, касательное.
Краткое изложение теоретических вопросов:
В данном разделе рассматривают тела, которые под действи¬ем внешних сил меняют свою форму и размеры, т.е. деформиру¬ются.
Деформации могут быть упругими, если тело после устране¬ния нагрузки, т.е. внешних сил, восстанавливает свои размеры и форму. Если же после снятия нагрузки тело не восстанавливает прежней формы, то возникающие при этом деформации назы¬ваются остаточными. Здесь будем изучать только однородные изотропные тела, у которых по всем направлениям свойства оди¬наковые.
В сопротивлении материалов тела классифицируют следую¬щим образом:
• пластина — у нее длина и ширина намного больше толщины;
• оболочка — в отличие от пластины она ограничена криволи¬нейными поверхностями;
• брус — у него длина тела значительно больше его высоты и ширины. Если линия, соединяющая центры тяжести отдельных поперечных сечений бруса, прямая, то такой брус называют прямым;
• стержень — брус, работающий на растяжение или сжатие;
• балка — брус, к которому приложены силы под углом. В этом случае брус под действием таких сил будет работать не только на сжатие (растяжение), но и на изгиб, т.е. будет изгибаться.
В зависимости от того, какие силы приложены к брусу, он бу¬дет по-разному деформироваться. Чтобы определить напряжен¬ное состояние, применяют метод сечений. Метод сечений позво¬ляет выявить внутренние силы и заключается в том, что тело мыс¬ленно рассекают плоскостью на две половины (рис. 2.1, а) и рас¬сматривают равновесие какой-либо отсеченной части.

Считают, что внутренние силы распределены равномерно, их равнодейст¬вующая равна N (рис. 2.1, б). Составим уравнение равновесия сил, действующих на отсеченную часть бруса:

Отсюда
N = F.
Величина σ, характеризующая интенсивность распределения внутренних сил по поперечному сечению, называется напряжением:

где S — площадь поперечного сечения. Напряжение согласно Меж¬дународной системе единиц измеряется в Па (Н/м2), а на практике чаще используют Н/см2, Н/мм2.
В рассмотренном примере внутренние силы направлены по нормали к поперечному сечению, поэтому напряжение называется нормальным.

В общем случае нагружения тела (рис. 2.2) все внутренние силы
можно привести к главному вектору R и главному моменту М.
Выбираем систему координат так, чтобы ось z была направлена по нормали к сечению, а оси х и у расположим в его плоскости. Спроектировав главный вектор и главный момент на координат¬ные оси, получим шесть уравнений для определения внутренних силовых факторов. Составляющая внутренних сил по нормали к сечению N — нормальная сила; силы Qx и Qy являются составляю¬щими поперечной силы Q. Момент относительно оси z называют крутящим моментом (Мкр), а моменты Мх и Му — изгибающими моментами относительно осей х и у. При заданных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из шести уравнений равновесия, составленных для отсеченной части бруса. Если в поперечном сечении возникает только внутренняя нормальная сила N, а прочие внутренние силовые факторы обра¬щаются в нуль, то имеет место растяжение или сжатие, в зависимо¬сти от направления силы N. Если в поперечном сечении возникает только момент Мкр, то брус в данном сечении работает только на кручение. В случае, когда внешние силы приложены к брусу таким образом, что в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент Mx (или Му), имеет место чистый изгиб в плоскости у. (или xz.). Если в поперечном сечении наряду с изгибающим момен¬том, например Мx, возникает и поперечная сила Qy, такой случай нагружения называется поперечным изгибом (в плоскости yz). Воз¬можны и другие случаи, когда в поперечном сечении действуют раз¬личные силовые факторы; при этом брус испытывает сложное на¬пряженное состояние. Помимо нормального напряжения в сечении будет возникать касательное напряжение τ в плоскости этого сечения.
Практические занятия:
Определение продольных сил и нормальных напряжений, построение эпюр.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что такое деформация?
2.Какие деформации называют упругими, пластичными?
3.Какие деформации недопустимы при нармальной работе конструкции?
4.Что называется жесткостью, прочностью и устойчивостью конструкции?
5.В чем сущность расчетов на жесткость и прочность?
6.В чём сущность метода сечения?
7.Сколько внутренних факторов может возникнуть в поперечном сечении бруса?
8.Что называется напряжением в данной точке сечения?
9.Что называется эпюрой продольных сил бруса? Как строится эпюра продольных сил?
10.Как определить нормальное напряжение в поперечном сечении бруса?

Тема 2.16 Практические расчеты на срез и смятие
Основные понятия и термины по теме:
Срез: основные расчетные предпосылки, расчетные формулы;
Смятие: условности расчета, расчетные формулы;
Расчеты на срез и смятие соединений заклепками, штифтами, шпонкой и сваркой.
План изучения темы:
Срез: основные расчетные предпосылки, расчетные формулы. Смятие: условности расчета, расчетные формулы. Расчеты на срез и смятие соединений заклепками, болтами, штифтами, шпонкой и сваркой. Решение задач.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Если из всех внутренних сил не равна нулю только поперечная сила, материал испытывает сдвиг. На сдвиг работают шпонки, штифты, заклепочные, сварные, и другие соединения. При действии нагрузки в этих соединениях, кроме сдвига, возникает смятие и изгиб. Такое явление на практике называется срезом. Экспериментально доказано, что напряжения при сдвиге равномерно распределяются по площади. Рассмотрим расчет некоторых соединений.
Расчет заклепочных соединений. Из условия прочности при сдвиге:

получим
где: – поперечная сила; – число срезов; – число заклепок, можно подобрать либо диаметр заклепки, либо число заклепок, которое округляется до ближайшего большего целого числа:

Кроме сдвига заклепочные соединения рассчитываются на смятие. Реальное распределение напряжений смятия имеет сложный вид ( рис. 4.2 ).

Поэтому для расчетов эпюру напряжений, упрощают и заменяют постоянной величиной, а за площадь смятия принимают диаметральное сечение заклепки.
Тогда, из условий прочности при смятии
для крайних листов

и для среднего листа

можно определить либо диаметр заклепок, либо их число.
Например, для крайних листов
.
Число заклепок округляют до ближайшего большего целого числа.
В общем случае расчет на смятие проводят как для заклепок, так и для листов. При этом, если они из разных материалов, то будут разные . Обычно велико, вследствие того, что в возникающем объемном напряженном состоянии все напряжения практически всегда отрицательны. Окончательно, из результатов всех расчетов, принимают для соединения наибольшие значения диаметров или числа заклепок.
Чистый сдвиг . Если по граням элемента действуют только касательные напряжения, то материал элемента испытывает деформацию чистого сдвига. Рассмотрим некоторое тело единичной толщины ( рис.4.5 ).
На грани CD под действием силы Q возникают касательные напряжения
.

По закону парности касательных напряжений, такие же напряжения возникают на остальных гранях тела. От действия τ верхняя грань CD переместится в положение C1D1, сдвинувшись на величину DD1, равную
, называемую абсолютным сдвигом. Все прямые углы элемента станут тупыми и острыми, изменившись на величину  , называемую углом сдвига. . Так как угол  мал, то и .
Рассмотрим деформацию диагонали c двух точек зрения.
С геометрической точки зрения. Свяжем удлинение диагонали BD и абсолютный сдвиг. Считаем, что .Тогда Деформация диагонали будет

С точки зрения напряженного состояния. Рассматриваемый элемент испытывает плоское напряженное состояние. Определим положение главных площадок по формуле.

откуда и
Таким образом, главные площадки расположены под углом к заданным. Найдем величины главных напряжений по формулам
 2 = 0.
При чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку. Для определения деформации диагонали BD используем обобщенный закон Гука
.
Приравняем значения:
,
откуда следует, что
.
Обозначим
.
Упругая постоянная G называется модулем сдвига, или модулем поперечной упругости, или модулем упругости второго рода. Из последней формулы следует, что упругие характеристики материала G , E и  связаны между собой. Тогда закон Гука при сдвиге запишется

Найдем потенциальную энергию деформации при сдвиге. Площадь верхней грани тела равна . Сдвигающиеся сила .
Потенциальная энергия деформации данного элемента равна работе внешней силы на перемещении .
Разделив полученную величину на объем V = aа1 тела, найдем удельную потенциальную энергию деформации . Из выражения получим . Тогда .

Напряжения и деформации при сдвиге (срезе). В поперечном сечении могут возникать как нормальные σ, так и касательные напряжения τ. Если к короткому брусу, жестко заделанному одним концом в стену (рис. 2.7, а), перпендикулярно к оси бруса приложить силу F, то в поперечных сечениях возникнет внутренняя поперечная сила Q в плоскости сечения, а следовательно, и касательное напряжение τ = Q/S.

Параллельные сечения бруса сдвигаются относительно друг друга (рис. 2.7, б) так, что верхняя грань образует угол γ с горизон¬талью. Установлено, что касательное напряжение τ прямо пропор¬ционально угловой деформации γ:
τ= Gγ
Эта зависимость выражает закон Гука для сдвига. Явление среза можно наблюдать, если стальную полосу или бумагу перерезать ножницами, а также в случае, если к клепаному соединению при¬ложена сила, большая, чем та, на которую данное соединение было рассчитано. На рис. 2.8 показано, что силы F приложены в плоскости сечений; они вызывают деформацию сдвига, и может произойти срез заклепки. Вот почему сдвиг часто называют срезом.
Модуль упругости при сдвиге зависит от модуля упругости I рода Е:

Если известны Е и μ, то модуль упругости при сдвиге можно определить. Например, для стали 30 E = 2•105 Н/мм2, μ= 0,3, сле¬довательно,

Подчеркнем, что сдвиг — это напряженное состояние. Если воз¬никшие при сдвиге деформации находятся в пределах упругости, то после снятия нагрузки размеры и форма детали восстанавли¬ваются. Если же деформации превысили предел упругости, то наблюдаются пластические деформации. После снятия нагрузки остается намеченное место среза. По достижении предельных на¬пряжений произойдет срез.
Смятие. При сжатии двух тел возникает опасность смятия этих плоскостей. Напряжения, возникающие на контактирующих по¬верхностях, называются напряжениями смятия. Смятие имеет место в заклепочных и болтовых соединениях. Напряжение смятия опре¬деляют по формуле

где F — сила, с которой сдавливаются контактирующие поверх¬ности,
Sсм — площадь смятия.
Если поверхность смятия является криволинейной, то площадь смятия такой поверхности вычисляется как площадь проекции этой поверхности на плоскость, перпенди¬кулярную к линии действия сминающей силы
Практические занятия:
Расчеты на срез и смятие
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.По каким формулам производят расчет на срез и смятие.
2.На каких допущениях основы расчета на смятие?
3.Как определяется площадь смятия, если поверхность смятия цилиндрическая, плоская?

Тема 2.17 Кручение и сдвиг
Основные понятия и термины по теме:
Крутящий момент; Чистый сдвиг
План изучения темы:
Чистый сдвиг. Закон парности касательных напряжений. Деформация сдвига. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига. Крутящий момент и построение эпюр крутящих моментов. Кручение прямого бруса круглого сечения. Напряжения в поперечном сечении бруса. Угол закручивания. Полярные моменты инерции и сопротивления для круга и кольца. Расчеты на прочность и жесткость при кручении.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения. Стержень, работающий на кручение, называется валом. При кручении в поперечном сечении вала возникает одно внутреннее усилие — крутящий момент . определяют на каждом участке вала с помощью метода сечений. равен алгебраической сумме всех закручивающих моментов, взятых по одну или по другую сторону от сечения. При этом, если смотреть со стороны сечения на рассматриваемую часть вала, то закручивающий момент, вращающий против часовой стрелки, считается положительным.
Введем следующие допущения, подкрепленные экспериментально для валов круглого и кольцевого поперечных сечений:
1.Плоские поперечные сечения вала, перпендикулярные его оси до кручения, остаются плоскими и перпендикулярными оси во время кручения, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол.
2.Прямые радиусы, проведенные в этих сечениях, остаются прямыми при кручении.
3. Расстояние между сечениями во время кручения не меняется.
Рассмотрим вал, находящийся в состоянии кручения. ( рис.4.6,а ). Проведем два плоских сечения, перпендикулярных оси вала, и расположенных на расстоянии друг от друга. Во время кручения второе сечение ( рис.4.6,б ) повернется относительно первого, и образующая займет положение . Радиус повернется на некоторый угол и примет положение . Из : .

Обозначим — относительный угол закручивания. Тогда .
Из ( рис. 4.6,б ) видно, что материал при кручении испытывает деформацию сдвига, и по закону Гука при сдвиге касательные напряжения равны.
. ( 4.3 )

Рассмотрим поперечное сечение вала ( рис. 4.7 ). Выделим площадку . Здесь перпендикулярно . Тогда элементарный крутящий момент будет: .
Полный крутящий момент

Подставляем его в ( 5.3 ) и получим формулу для определения касательных напряжений в сечении вала при кручении

Максимальное касательное напряжение возникают при ( рис. 4.8 )
( 4.5 )
Запишем условие прочности:
. .
Из условия прочности находим формулу для подбора размера поперечного сечения вала:
. ( 4.6 )
Для круглого поперечного сечения :
, , .
Определим перемещение при кручении.

Подставим в .

Тогда , и
Угол закручивания участка вала длиной ℓ будет:
.
Обычно вал делится на участки, на которых и жесткость вала , тогда
. ( 4.7 )
В некоторых конструкциях необходимо, чтобы угол закручивания не превышал допустимый угол закручивания . Тогда из условия жесткости
вала , получим .
Для вала круглого поперечного сечения
, , .

Если из всех внутренних сил не равна нулю только поперечная сила, материал испытывает сдвиг. На сдвиг работают шпонки, штифты, заклепочные, сварные, и другие соединения. При действии нагрузки в этих соединениях, кроме сдвига, возникает смятие и изгиб. Такое явление на практике называется срезом. Экспериментально доказано, что напряжения при сдвиге равномерно распределяются по площади.
Практические занятия:
Построение эпюр крутящих моментов, расчеты на жесткость и прочность при кручении.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Что такое чистый сдвиг?
2.Какой величиной характеризуется деформация сдвига?
3.Как определяется крутящий момент в сечении?
4.Каков закон распределения касательных напряжений по площади поперечного сечения при кручении?
5.Что такое полярный момент инерции сечения бруса? По какой формуле определяется полярный момент инерции круга?
6.Что такое полярный момент сопротивления? Как он определяется для круга?

Тема 2.18 Геометрические характеристики плоских сечений
Основные понятия и термины по теме:
Осевой, центробежный и полярный моменты инерции.
План изучения темы:
Осевой, центробежный и полярный моменты инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Осевые моменты инерции простейших сечений: прямоугольника, круга.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Здесь: C — центр тяжести плоских сечений;
A — площадь сечения;
Ix , Iy — осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;
IxI , IyI — осевые моменты инерции относительно вспомогательных осей;
Ip — полярный момент инерции сечения;
Wx , Wy — осевые моменты сопротивления;
Wp — полярный момент сопротивлени
Прямоугольное сечение

Сплошное круглое сечение

Практические занятия:
Определение осевых, центробежных и полярных моментов инерции.
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Каковы геометрические характеристики сечений при деформации среза, кручения и изгиба?
2.Что такое статический момент сечения?
3.Чему статический момент сечения относительно центральной оси?
4.Что такое центробежный момент инерции?
5.Как определяют осевые моменты инерции сложных сечений?

Тема 2.19 Изгиб
Основные понятия и термины по теме:
Прямой изгиб; Поперечная сила; Изгибающий момент
План изучения темы:
Основные понятия и определения. Классификация видов изгибов: прямой изгиб (чистый и поперечный). Внутренние силовые факторы при прямом изгибе-поперечная сила и изгибающий момент. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Нормальные напряжения возникающие в поперечных сечениях бруса при чистом изгибе.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.
Брус, работающий при изгибе, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой.
Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).

Рис.6.1

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч¬ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу¬чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч¬ность можно пренебречь.
Косой изгиб — изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.
Сложный изгиб — изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.
Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.

Рис.6.2
Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:
— Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.
— Проверка прочности балок.
— Определение перемещений и проверка жесткости балок.
Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на примере конкретных задач.
Механические испытания на изгиб
Испытания на изгиб часто используются для оценки механических свойств материалов в хрупком или малопластичном состоянии, при воздействии коррозионной среды (коррозии под напряжением), а также для оценки пластичности и качества сварных соединений. Испытание на изгиб воспроизводит характерные для многих конструктивных элементов условия механического нагружения и позволяет выявить свойства поверхностных слоев, наиболее напряженных при разрушении.
Чаще всего образцы нагружают по схемам так называемого трехточечного (рис.6.3,а) и четырехточечного (рис.6.3,б) изгиба.

Рис.6.3
Результаты испытания на изгиб представляются в виде диаграммы , где — изгибающая нагрузка, — стрела прогиба образца. Характерные диаграммы изгиба для хрупких (малопластичных) и пластичных материалов приведены на рис.6.4. Для хрупких материалов последняя точка диаграммы соответствует разрушению без практически остаточных деформаций. По разрушающей нагрузке определяют предел прочности материала при изгибе . Пластичные материалы, как правило, невозможно довести до разрушения: образец изгибается до состояния, когда его части располагаются параллельно друг другу.

Рис.6.4

При испытании пластичных материалов можно определить сопротивление материала начальным пластическим деформациям, воспользовавшись методикой, аналогичной применяемой при растяжении для определения соответствующих характеристик, без учета пластического перераспределения напряжений в процессе изгиба.
Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента
Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.
Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 6.5 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 6.5,б) и подвижной (рис. 6.5,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 6.3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.6.5,в).

Рис. 6.5. Опорные реакции: а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре; в – в шарнирно-подвижной опоре
Комбинируя различные типы закреплений, можно получить ряд схем балок:1. Балка шарнирно опертая по концам (рис.6.6,а). Одна опора шарнирно подвижная, другая – шарнирно неподвижная. Расстояние между центрами опор на схеме называется пролетом. Число реакций равно трем. Учитывая, что для плоской системы сил можно составить три независимых уравнения равновесия системы в целом, приходим к заключению, что балка статически определимая.
2. Балка шарнирно опертая с консолями (С1 и С2) (рис.6.6,б). Реакции те же. Балка статически определимая.
3. Балка жестко закрепленная одним концом (консольная балка) (рис.6.6,в). В заделке три реакции. Балка статически определимая. При действии нагрузки перпендикулярной оси реакция НВ всегда равна 0.

Рис.6.6
После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.
Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).
Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

а) б)
Рис.6.7. а — правило знаков для поперечной силы Q; б — правило знаков для изгибающего момента M.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.
Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.
Достаточно очевидно и подтверждается опытом, что балка при изгибе деформируется таким образом, что волокна, расположенные в выпуклой части, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Между ними лежит слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей первоначальной длины (рис.6.8). Этот слой называется нейтральным или нулевым, а его след на плоскости поперечного сечения – нейтральной (нулевой) линией или осью.

Рис.6.8

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.
Рассмотрим для простоты балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.6.9). Следуя методу сечений, мысленно проведем разрез и отбросим какую-либо часть балки, а другую оставим. На оставшейся части покажем действующие на нее силы и в поперечном сечении – внутренние силовые факторы, которые являются результатом приведения к центру сечения сил, действующих на отброшенную часть. Учитывая, что внешние силы и распределенные нагрузки лежат в одной плоскости и действуют перпендикулярно оси балки, в сечении получим поперечную силу и изгибающий момент . Эти внутренние силовые факторы заранее неизвестны, поэтому их показывают в положительном направлении в соответствии с принятыми правилами знаков.

Рис.6.9

На рис.6.9 показаны два случая оставшейся части: левая и правая.
Для определения величины и составляются два уравнения равновесия для оставшейся части

Уравнение момента составляется относительно оси Х, проходящей в поперечном сечении через точку на оси балки – тогда поперечная сила в уравнение не входит и величина определяется независимо от . Можно доказать, что результат вычислений и не зависит от того, равновесие какой оставшейся части рассматривается.
Рассмотрим характерный пример (рис. 6.10,а) и установим не¬обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 6.10,б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.
Заданная система статически определима, следовательно, из ус¬ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче¬ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) и , определяем вертикальные реакции в опорах:
.
Для определения имеем: откуда . Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло¬вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил откуда получим
, 0 = 0.

Рис. 6.10

Для определения внутренних силовых факторов — изгибающего момента М(z) и поперечной силы Q (z) как функций от продоль¬ной координаты , воспользуемся методом сечений. Для полу¬чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя¬ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен¬тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.
Заданная система состоит из двух участков — первого и второго . Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассмат¬ривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних уси¬лий, определим выражения для внутренних сило¬вых факторов.
Из условия равновесия ; отсеченной части системы, расположенной левее от сечения (первый участок), (см. рис. 6.10, в), получим:
; .
Для определения и на втором участке рассмотрим рав¬новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (см. рис. 6.10,б), т.е. ; откуда и определим:
; .
Эпюры и изображены на рис. 6.11. Заметим, что эпюры изгибающих моментов , как и поперечных сил строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла¬дываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 6.11

Основные дифференциальные соотношения теории изгиба
Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой (рис. 6.12,а).

Рис. 6.12

Выделим из бруса элемент длиной и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 6.12,б). В пределах малого отрезка нагрузку можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо¬дящей через точку С (рис. 6.12,б), получим:
;
.
Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд¬ка малости, получим теорему Журавского (теорему Шведлера):

откуда

Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
1. Эпюра Q является прямолинейной на всех участках. На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М, в общем случае, – наклонными прямыми (рис. 6.13).
2. На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами (рис. 6.14). При построении эпюры М на сжатых волокнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 6.15,а, б).

Рис.6.13

Рис.6.14
3. В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры (рис. 6.14, 6.15). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (Мmax, Mmin).
4. На участках, где Q>0, M возрастает, то есть слева на право положительные ординаты эпюры M монотонно увеличиваются, отрицательные – монотонно уменьшаются (рис. 6.13, 6.14); на тех участках, где Q < 0, Mубывает (рис. 6.13, 6.14). 5. В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы: а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил (рис. 6.13, 6.14). б) на эпюре M будут переломы (рис. 6.13, 6.14), острие перелома направлено против действия силы. 6. В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис. 6.16). Рис.6.15 Рис.6.16 7. Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 6.16). 8. Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M. Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 6.14). 9. Порядок линии на эпюре Q всегда на единицу меньше, чем на эпюре M. Например, если эпюра M - квадратная парабола, то эпюра Q на этом участке - наклонная прямая; если эпюра M - наклонная прямая, то эпюра Q на этом участке - прямая, параллельная оси; если M =const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Q=0. Практические занятия: Расчеты на прочность при изгибе. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса при его прямом поперечном изгибе? 2.Что называется поперечной силой в поперечном сечении бруса и чему она численно равна? 3.Что такое эпюра поперечных сил и как она строится? 4.Что называется изгибающим моментом в поперечном сечении бруса и чему он численно равен? 5.Сформулируйте правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. 6.В чем сущность гипотез и допущений при изгибе? 7.Какие виды расчетов можно производить из условия прочности при изгибе? 8.Какие формы поперечных сечений рациональны для балок из пластичных материалов? [/tab_pane][tab_pane]Тема 2.20 Растяжение и изгиб бруса Основные понятия и термины по теме: Нормальные напряжения; Результирующие касательные напряжения; Продольные силы. План изучения темы: Расчет брусьев большой жесткости при совместном изгибе и растяжении (сжатии). Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях, нахождение опасных точек и расчет на прочность. Краткое изложение теоретических вопросов: На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними внецентренно приложенными продольными силами. В общем случае одновременной деформации растяжения (сжатия) и изгиба в произвольном поперечном сечении стержня внутренние усилия приводятся к продольному усилию Nz, направленному по геометрической оси стержня z, к изгибающим моментам Мх и Му в главных центральных плоскостях инерции стержня хz и уz и к поперечным силам Qх и Qу, направленным по осям х и у. В общем случае, когда NZ ≠ 0, Мх ≠ 0 и Му ≠ 0, напряжение σ в произвольной точке сечения с координатами (х, у) определяется по формуле (7) В формуле (7) моменты Мх и Му принимаются со знаком «+», если они растягивают точки сечения в первой четверти осей координат х, у. Как и в случае косого изгиба, для наглядного и простого изображения эпюры σ удобно построить нулевую линию n–n, уравнение которой имеет вид (8) Нормальные напряжения приобретают наибольшие значения в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Результирующие касательные напряжения определяются путем геометрического сложения касательных напряжений в данной точке сечения от поперечных сил QХ и QУ. Условие прочности при растяжении (сжатии) и изгибе имеет вид (9) Другим практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное растяжение или сжатие, вызываемое продольными силами. Этот вид деформации имеет место, когда линия действия растягивающей или сжимающей силы F не совпадает с осью стержня, а имеет эксцентриситеты ХF и YF. Положение нулевой линии определяется через положение точки приложения силы F, координаты которой ХF и YF. Тогда отрезки, отсекаемые нулевой линией на главных осях, определятся по формулам: , (10) где – квадраты радиусов инерций поперечного сечения. Для построения эпюры нормальных напряжений необходимо определить напряжения в наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения. Для растягиваемого (сжимаемого) бруса: (11) где ХF, YF – координаты точки приложения силы; Х, Y – координаты рассматриваемой точки. Область, очерченная вокруг центра тяжести сечения, обладающая тем свойством, что продольная сила F, приложенная в любой точке этой области, вызывает во всем поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения. Расположению силы F на границе ядра сечения соответствует положение нулевой линии как касательной к контуру сечения, так как при выходе силы из ядра линия п–п должна пересечь контур сечения. Ядро строят, последовательно задаваясь положением п–п как касательных к контуру сечения. При этом устанавливают отрезки аХ, вУ и находят координаты угловых точек ядра по формулам (12) Соединив найденные точки с координатами хЯ и yЯ получаем очертание ядра. Пример. Определить грузоподъемность [F] стержня, изображенного на рис. 3.1 при [σ] = 20 МПа = 2 кН/см2. Построить ядро сечения. Решение: 1. Грузоподъемность конструкции определим из условия прочности по нормальным напряжениям: Геометрические характеристики сечения (рис. 3.1): Построим эпюры внутренних усилий NZ, МХ, МУ (рис. 3.2). Построение эпюры NZ. см; кН – сжатие. Построение эпюры МX, МУ: см; кНсм – растянуты нижние волокна. см; . ; кНсм – растянуты ближние волокна. Опасным сечением балки является сечение А, где кН; кНсм; кНсм. Подставляя найденные значения в (9), получим: ; кН. Итак, грузоподъемность конструкции [F] = 33 кН. 2. Построение ядра сечения. Координаты угловых точек ядра определим по формулам: где аХ; вУ – отрезки на главных осях, отсекаемые касательными к сечению нулевыми линиями. Нулевая линия I–I (точка ядра 1): аХ = ¥; вУ = 8 см; и хЯ1 = 0; Нулевая линия II-II (точка ядра 2): аХ = 16 см; вУ = ¥; и Очевидно, что точки 3 и 4 симметричны точкам 1 и 2 в силу симметрии сечения. Ядро сечения показано на рис. 3.1 (область 1–2–3–4). Рис. 3.2. Эпюры внутренних усилий Практические занятия: Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением Контрольная работа [/tab_pane][tab_pane]Тема 2.21 Гипотезы прочности и их применение Основные понятия и термины по теме: Опасные напряжения; Допускаемые напряжения; Коэффициент запаса; Критерий наибольших касательных напряжений; Критерий Мора План изучения темы: Назначение гипотез прочности. Эквивалентное напряженные состояния. Гипотеза наибольших касательных напряжений: формулы для эквивалентных напряжений (через главные напряжения и через напряжения в поперечных сечениях бруса ). Область применения. Гипотеза энергии формоизменения. Область применения. Гипотеза Мора. Область применения. Краткое изложение теоретических вопросов: Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали по известному напряженному состоянию. Наиболее просто эта задача решается для простых видов деформации, в частности для одноосных напряженных состояний, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений легко установить экспериментально. Под опасными напряжениями, как уже указывалось, понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала). Так, испытания образцов из данного материала на простое растяжение или сжатие позволяют без особых трудностей определить значения опасных напряжений: или По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напряжения при растяжении или при сжатии, обеспечивая коэффициент запаса против наступления предельного состояния. Таким образом, условие прочности для одноосного напряженного состояния (рис. 10.1,а) имеет вид или а б Рис. 10.1. Одноосное напряженное состояние Рассмотрим теперь вопрос о прочности материала при сложном напряженном состоянии, когда в точках детали два или все три главных напряжения не равны нулю (рис. 10.1, б). В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений в зависимости от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно не только из-за трудности постановки опытов, но и из-за большого объема испытаний. Другой путь решения задачи заключается в установлении критерия прочности (критерия предельного напряженно-деформированного состояния). Для этого вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых, легко осуществимых опытов на растяжение. Иногда пользуются также результатами опытов на кручение. Таким образом, введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одноосным растяжением (рис. 10.2), и установить при этом такое эквивалентное (расчетное) напряжение, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса. Под коэффициентом запаса в общем случае напряженного состояния понимают число n, показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния , чтобы оно стало предельным: Выбранная указанным образом гипотеза называется механической теорией прочности. Ниже рассмотрены некоторые из таких теорий. Рис. 10.2. Сложное напряженное состояние и одноосное растяжение Критерий наибольших касательных напряжений [третья (III) теория прочности]. Здесь в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой теории предполагается, что предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает опасного значения . Последнее определяется при достижении предельного состояния в случае простого растяжения. Условие разрушения имеет вид (10.7) условие прочности – (10.8) Так как а то условия разрушения и прочности (10.7), (10.8) можно выразить через главные напряжения так: (10.9) (10.10) Таким образом, эквивалентным напряжением по третьей теории является разность алгебраически наибольшего и наименьшего главных напряжений: (10.11) Третья теория прочности, в общем, хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения , которое, как показывают опыты, оказывает также некоторое, хотя во многих случаях и незначительное, влияние на прочность материала. Отметим, что критерий наибольших касательных напряжений обычно рассматривается как условие начала образования пластических (остаточных) деформаций. Последние являются результатом скольжения слоев атомов в кристалле по определенным кристаллографическим плоскостям. Это становится возможным в случае, когда на указанных плоскостях скольжения касательные напряжения достигают некоторой предельной величины. Таким образом, в качестве критерия, определяющего наступление текучести материала, можно принять величину наибольшего касательного напряжения. Считая предельным состоянием наступление текучести, из равенства (10.9) имеем (10.12) Это условие достаточно удовлетворительно описывает начало пластической деформации для многих металлов и сплавов. Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения [четвертая (IV) теория прочности]. В качестве критерия прочности в этом случае принимают количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом. Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении в момент текучести. Условие наступления текучести — (10.13) Условие прочности — (10.14) Предполагая, что закон Гука справедлив вплоть до наступления предельного состояния, можно потенциальную энергию формоизменения в общем случае напряженного состояния записать в виде (10.15) При простом растяжении в момент текучести имеем (10.16) Следовательно, условие (10.13) после подстановки выражений (10.15) и (10.16) преобразовывается так: (10.17) или (10.18) Условие прочности будет следующим (10.19) Следовательно, эквивалентное напряжение по четвертой теории (10.20) Заметим, что совпадает с выражением для интенсивности напряжений . Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие. Появление в материале малых пластических деформаций четвертой теорией определяется более точно, чем третьей. Следует отметить, что выражение (10.20) с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением для касательного напряжения наоктаэдрической площадке, равнонаклоненной к трем главным направлениям. Поэтому расчетные уравнения четвертой теории прочности можно получить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных напряжений: Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности от ограничений, связанных с областью применимости закона Гука, и дает возможность установить условия начала не только пластических деформаций, но и разрушения. Критерий Мора (V теория прочности) основан на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего и наименьшего главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение, как указывалось выше, лишь незначительно влияет на прочность. Опыты с медными, никелевыми и чугунными трубками показывают, что погрешность, связанная с тем, что не учитывается , не превышает 12—15 %. Исходя из этого предположения, можно любое напряженное состояние изобразить одним кругом Мора, построенным на главных напряжениях и .Если при данных и прочность материала нарушается, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя соотношение между главными напряжениями, получим для данного материала семейство предельных окружностей (рис. 10.3). Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения в область сжатия сопротивление разрушению увеличивается. Этому соответствует увеличение диаметров предельных окружностей по мере движения влево Рис. 10.3. Круги Мора Огибающая ABCDE семейства предельных кругов ограничивает область прочности (рис. 10.3). Точка С соответствует всестороннему равномерному растяжению. Так как при равномерном всестороннем сжатии материал способен, не разрушаясь, выдержать очень большие напряжения, то огибающая слева остается незамкнутой. При наличии предельной огибающей рассчитать прочность весьма просто. По найденным в опасной точке детали значениям главных напряжений и строят круг. Прочность будет обеспечена, если он целиком ляжет внутри огибающей. Будем увеличивать пропорционально величины главных напряжений до тех пор, пока круг, изображающий данное напряженное состояние, коснется предельных огибающих. Отношение радиусов полученного таким образом предельного круга и начального определит коэффициент запаса. На практике обычно небольшой участок огибающей строят на основании двух опытов — на растяжение и сжатие, причем предельные кривые заменяют прямыми линиями, касательными к окружностям (рис. 10.4). Допускаемое напряженное состояние можно получить, уменьшив масштаб чертежа в n раз (n — коэффициент запаса). Рис. 10.4. Практический метод построения огибающей На рис. 10.5 показано допускаемое напряженное состояние для небольшого участка огибающей. Рис. 10.5. Допускаемое напряженное состояние для участка огибающей Легко получить условие прочности для промежуточного напряженного состояния , центр круга которого располагается между точками и (рис. 10.5). Проведем прямые и , соединяющие центры и точки касания окружностей с огибающими линиями, а также прямую , параллельную . Из подобия треугольников получим следующие зависимости: или Заменив отрезки линий значениями соответствующих напряжений, будем иметь После преобразования, вводя знак неравенства, получаем условие прочности: (10.21) При одинаковом сопротивлении материала растяжению и сжатию огибающая на указанном участке проходит параллельно оси абсцисс и расчетная формула (10.21) совпадает с формулой (10.10), полученной по третьей теории прочности. Основанная целиком на опытных данных, теория Мора, в общем, не нуждается в дополнительной экспериментальной проверке. Однако построение предельных огибающих для каждого материала может быть произведено в результате ряда сложных опытов с плоскими и объемными напряженными состояниями, что, собственно, и ограничивает ее применение. Кроме того, эта теория, как уже отмечалось, не учитывает влияния на прочность промежуточного главного напряжения . О применимости той или иной теории прочности для практических расчетов можно сказать следующее. Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет растягивающих напряжений или удлинений и путем среза за счет наибольших касательных напряжений. При этом разрушение отрывом может происходить при весьма малых остаточных деформациях или вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности, отражающие разрушение отрывом, можно применять лишь для материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую теории прочности, хорошо отражающие наступление текучести и разрушение путем среза, надлежит применять для материалов, находящихся в пластическом состоянии. Теория прочности Мора позволяет установить сопротивление разрушению материалов, обладающих разными сопротивлениями растяжению и сжатию. При этом ветвь АВ (рис. 10.3) характеризует разрушение от среза, а ветвь ВС — от отрыва. Так как первая и вторая теории прочности обладают существенными недостатками, то в настоящее время утверждается мнение о нежелательности их применения. Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую (или третью) теорию прочности для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, и теорию Мора — для материалов, различно ее проявляющихся растяжению и сжатию, т. е. для хрупких материалов (для них в настоящее время пока еще применяют и вторую теорию прочности). Следует подчеркнуть, что состояние материала (хрупкое или пластическое) определяется не только его свойствами, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и температуре ведут себя, как хрупкие, в то же время хрупкие материалы в определенных напряженных состояниях могут вести себя, как пластичные. Так, например, при напряженных состояниях, близких к всестороннему равномерному растяжению, пластичные материалы разрушаются, как хрупкие. Такие напряженные состояния принято называть «жесткими». Весьма «мягкими» являются напряженные состояния, близкие к всестороннему сжатию. В этих случаях хрупкие материалы могут вести себя, как пластичные. При всестороннем равномерном сжатии материалы могут выдержать, не разрушаясь, очень большие давления. Следует отметить, что перечисленные теории прочности неприменимы для расчета прочности в случае всестороннего сжатия .Влияние типа напряженного состояния может быть учтено приближенно при помощи диаграмм механического состояния, которые рассматриваются ниже. Практические занятия: Определение напряжений в поперечных сечениях бруса. Вопросы для самоконтроля по теме: [/tab_pane][tab_pane]Тема 2.22 Сопротивление усталости Основные понятия и термины по теме: Переменные напряжения; Цикл; Максимальное, минимальное, среднее напряжения; Симметричный цикл; Пульсирующий цикл План изучения темы: Усталостное разрушение, его причины. Предел выносливости. Связь пределов выносливости с характеристиками статической прочности от вида нагружения бруса. Понятие о зависимости предела выносливости от асимметрии цикла. Местные напряжения и их влияния на предел выносливости. Краткое изложение теоретических вопросов: Многие детали машин работают в условиях переменных во вре¬мени напряжений. Так, вращающиеся валы и оси, нагруженные по¬стоянными изгибающими силами, работают при переменных нор¬мальных напряжениях изгиба. Совокупность последовательных значений переменных напря¬жений за один период процесса их изменения называется циклом. Обычно цикл представляют в виде графика, в котором по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат — напряжения. Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений. Цикл характеризуется максимальным σmах, минимальным σтт и средним напряжениями. Рассчитывается среднее значение напря¬жений σт, амплитуда цикла σа и коэффициент асимметрии цикла R ; ; Все приведенные определения и соотношения можно записать и для касательных напряжений. Цикл, при котором максимальное и минимальное напряжения равны по величине и обратны по знаку, называют симметричным циклом Остальные циклы называют асимметричными. Часто встреча¬ется отнулевой, или пульсирующий, цикл, минимальное напряжение при этом цикле равно нулю, среднее напряжение равно амплитуде. Переменные напряжения возникают в осях вагонов, рельсах, рессорах, валах машин, зубьях колес и многих других случаях. Под действием переменных напряжений в материале возникает микротрещина, которая под действием повторяющихся напряжений растет в глубь изделия. Края трещины трутся друг о друга, и тре¬щина быстро увеличивается. Поперечное сечение детали уменьшает¬ся, и в определенный момент случайный толчок или удар вызывает разрушение. Предел выносливости обозначается (или ), где индекс R соответствует коэффициенту асимметрии цикла. Так, например, для симметричного цикла он обозначается , для отнулевого цикла (при ), для постоянного цикла . Предел выносливости при симметричном цикле является наименьшим по сравнению с другими видами циклов, то есть . Так, например, ; . Влияние концентрации напряжений Вблизи выточек, у краев отверстий, в местах изменения формы стержня, у надрезов и т.п. наблюдается резкое увеличение напряжений по сравнению с номинальными напряжениями, вычисленными по обычным формулам сопротивления материалов. Такое явление называется концентрацией напряжений, а причина, вызывающая значительный рост напряжений –концентратором напряжений. Зона распространения повышенных напряжений носит чисто местный характер, поэтому эти напряжения часто называют местными. При напряжениях, переменных во времени, наличие концентратора напряжений на образце приводит к снижению предела выносливости. Это объясняется тем, что многократное изменение напряжений в зоне очага концентрации напряжений приводит к образованию и дальнейшему развитию трещины с последующим усталостным разрушением образца. Для того чтобы оценить влияние концентрации напряжений на снижение сопротивления усталости образца с учетом чувствительности материала к концентрации напряжений, вводят понятие эффективного коэффициента концентрации, который представляет собой отношение предела выносливости стандартного образца без концентрации напряжений к пределу выносливости образца с концентрацией напряжений: или Влияние абсолютных размеров поперечного сечения С увеличением размеров поперечных сечений образцов происходит уменьшение предела выносливости. Это влияние учитывается коэффициентом влияния абсолютных размеров поперечного сечения (ранее этот коэффициент назывался масштабным фактором). Упомянутый коэффициент, равен отношению предела выносливости гладких образцов диаметром d к пределу выносливости гладкого стандартного образца диаметром, равным 7,5 мм: (или ). Шероховатость поверхности Механическая обработка поверхности детали оказывает существенное влияние на предел выносливости. Это связано с тем, что более грубая обработка поверхности детали создает дополнительные места для концентраторов напряжений и, следовательно, приводит к возникновению дополнительных условий для появления микротрещин. Отношение предела выносливости образца с данной шероховатостью поверхности к пределу выносливости образца со стандартной обработкой поверхности, соответствующей ГОСТ 2789–73, называется коэффициентом влияния шероховатости поверхности: (или ). Значение коэффициента влияния шероховатости поверхности определяется по таблицам или графикам, которые приводятся в справочниках по сопротивлению материалов или в другой научной литературе. ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ ДЕТАЛИ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ ЦИКЛЕ Совместное влияние перечисленных трех факторов учитывается общим коэффициентом снижения предела выносливости при симметричном цикле: (или ). Поэтому предел выносливости при симметричном цикле равен: (или ). Усталость материала процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных (часто циклических) напряжений, приводящий к изменению его свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению материала за указанное время. Обратное свойство материала называется выносливостью (свойство материала воспринимать переменные (циклические) нагрузки без разрушения в указанное время). Кроме того, это понятие близко связано с прочностью, существует понятие усталостной прочности. Выносливость, так же, как и прочность, для многих материалов сильно зависит от температуры, это явление получило название хладноломкость. Практические занятия: Расчеты на усталость при одноосном и упрощенном напряженном состоянии и при чистом сдвиге. Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какой цикл изменения напряжений с точки зрения прочности более опасен: симметричный или отнулевой? 2.Какие факторы влияют на снижение предела выносливости? 3.Что называется пределом выносливости материала и от чего он зависит? 4.Что называется усталостным разрушением или усталостью материала? 5.Как определяется коэффициент запаса прочности вала при переменных напряжениях? [/tab_pane][tab_pane]Тема 2.23 Устойчивость сжатых стержней Основные понятия и термины по теме: Форма равновесия; Критическое состояние системы; Критическая сила; Критические напряжения; План изучения темы: Понятие об устойчивых и неустойчивых формах упругого равновесия. Критическая сила. Связь между критической и допускаемой нагрузками. Предельная гибкость. Расчеты сжатых стержней. Краткое изложение теоретических вопросов: Форма равновесия в деформированном состоянии считается устойчивой, если система при любом малом отклонении от начального состояния равновесия возвращается к нему после снятия внешней нагрузки. Переход системы от устойчивого состояния в неустойчивое называют потерей устойчивости, а границу этого перехода – критическим состоянием системы. Например, если стержень нагружен силой , линия действия которой совпадает с геометрической осью стержня, то стержень будет испытывать сжатие. Кроме того, если приложить небольшую поперечную силу, то можно вызвать изгиб стержня, в котором он будет находиться в изогнутом устойчивом (криволинейном) состоянии. После снятия поперечной силы стержень возвратится в прямолинейное состояние, которое в этом случае также является устойчивым (прямолинейным). В случае восприятия осевой нагрузки длинным тонким стержнем он может искривиться вследствие того, что его ось практически всегда имеет небольшую кривизну, а точка приложения силы смещена от центра тяжести поперечного сечения стержня. При некотором значении осевой силы стержень будет работать не на осевое сжатие, а на сжатие и изгиб, что приводит к значительным прогибам и возникновению больших напряжений. Наименьшее значение осевой сжимающей силы, при котором две формы равновесия (прямолинейная и криволинейная) становятся равновозможными, называется критической силой . Критическая сила Рассмотрим стержень с шарнирно-закрепленными концами , нагруженный осевой силой .Пусть при достижении силы критического значения стержень сохраняет изогнутую форму и находится в равновесии. В сечении, отстоящем на расстоянии от начала координат, действует изгибающий момент . Если предположить, что потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности , и что имеют место лишь малые отклонения от прямолинейной формы, то дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня принимает вид: . При потере устойчивости стержень изгибается в плоскости наименьшей жесткости, т.е. поперечные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение. Поэтому следует считать . Поскольку прогиб и вторая производная от него всегда имеют разные знаки, то и также будут противоположны по знаку при любом направлении оси , а дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид: . Проинтегрировав это выражение и учитывая при этом граничные условия, Л. Эйлером получено уравнение для определения критической силы: , где – длина стержня; – любое целое число (n=1; 2; 3 и т.д.). При n=1 стержень изгибается по одной полуволне синусоиды (устойчивое равновесие), а при всех последующих значениях n число полуволн равно номеру соответствующей критической силы (равновесие неустойчивое). Для практических расчетов интерес представляет наименьшая критическая сила: . (2.71) При изменении условий закрепления стержня величина критической силы изменяется. На схеме (рис. 2.24, г) изображен стержень длиной , защемленный одним концом, и его зеркальное отображение. Очевидно, что критическую силу для этого случая можно определить по формуле (2.71), приняв вместо . В общем случае способа закрепления стержня (рис. 2.25) для определения критической силы пользуются обобщенной формулой Эйлера: , (2.72) где ( ) – приведенная длина стержня; – коэффициент приведения, показывающий, во сколько раз следует изменить длину шарнирно-закрепленного стержня, чтобы значение критической силы для него было бы равно критической силе в данных условиях закрепления. Рис. 2.25. Способы закрепления стержня Критические напряжения Под действием критической нагрузки в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения , называемые критическими: , (2.73) где – минимальный радиус инерции сечения; – гибкость стержня – величина, характеризующая его способность сопротивляться искривлению в зависимости от длины, формы, размеров поперечного сечения и способа закрепления концов. Из формулы (2.73) очевидно, что величина критического напряжения зависит от упругих свойств материала (модуль упругости ) и гибкости стержня : чем больше , тем меньше и тем меньше нужна критическая сила, чтобы вызвать продольный изгиб стержня. При определении критической силы Л. Эйлер исходил из предположения о такой гибкости стержня, при которой напряжения в момент потери устойчивости не превышают предела пропорциональности , откуда . (2.74) Стержни малой и средней гибкости (рис. 2.26), для которых < , рассчитывают на устойчивость по эмпирическим зависимостям, полученным Ф.С. Ясинским: , (2.75) где ; – коэффициенты, приводимые в справочниках, в зависимости от материала. Рис. 2.26. Зависимость от для стержней из пластичных материалов При < стержни малой гибкости рассчитывают на прочность при сжатии без учета опасности продольного изгиба. Практические методы расчета на устойчивость Надежность работы сжатого стержня обеспечивается, если удовлетворяются условия прочности: и устойчивости: . В этих формулах: и – допускаемые напряжения на прочность и устойчивость; и – соответствующие коэффициенты запаса прочности и устойчивости. Отношение (2.76) называют коэффициентом понижения допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), зависящим от материала и гибкости стержня. Коэффициент для стали изменяется от 1,0 (при ) до 0,5 (при ) и далее до 0,16 (при ). Подробные сведения приведены в [6]. На основании уравнения (2.76) условие устойчивости сжатого стержня Практические занятия: Определение критической силы для сжатого бруса большой гибкости Вопросы для самоконтроля по теме: 1.В каком случае происходит потеря устойчивости сжатого стержня? 2.Какая сила называется критической? 3.Какова зависимость между критическим и допускаемым значениями сжимающей силы? 4.Напишите формулу Эйлера и поясните значения всех входящих в неё величин 5.Как определяют критическое напряжение и критическую силу? 6.Как определить коэффициент запаса устойчивости сжатого стержня? 7.Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость? Тематика внеаудиторной самостоятельной работы Расчеты на прочность: проверка прочности, определение требуемых размеров поперечного сечения бруса. Температурные напряжения в статически не определимых системах. Основные факторы влияющие на выбор требуемого коэффициента запаса прочности Определение линейных и угловых перемещений для различных случаев нагружения статически определимых балок. Брусья переменного поперечного сечения Линейные и угловые перемещения при прямом изгибе. Понятия о касательных напряжениях в поперечных и продольных сечениях брусьев при прямом поперечном изгибе. Гипотеза энергии формоизменения. Гипотеза наибольших касательных напряжений. Формулы для эквивалентных напряжений, их применение Влияние абсолютных размеров, шероховатости и упрочнения поверхности деталей на предел выносливости Эмпирические формулы для критических напряжений Рациональные формы поперечных сечений сжатых стержней. Формула Эйлера при различных случаях опорных закреплений Раздел 3 Детали машин [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.1 Основные положения. Общие сведения о передачах Основные понятия и термины по теме: Прочность; Жесткость; Износостойкость; Теплостойкость; Виброустойчивость План изучения темы: Основные понятия. Современные тенденции в развитии машиностроения. Требования к машинам и их деталям. Основные критерии работоспособности и расчета деталей машин. Выбор материалов для деталей машин. Проектный и проверочный расчеты. Вращательное движение и его роль в механизмах и машинах. Назначение передач в машинах и их классификация. Основные силовые и кинематические соотношения в передачах. Краткое изложение теоретических вопросов: Требования к машинам и деталям. В соответствии с современными тенденциями к большинству проектируемых машин предъявляют следующие общие требования: • высокая производительность; • экономичность; • надежность и долговечность; • удобство и безопасность обслуживания; • транспортабельность. При расчетах, конструировании и изготовлении машин должны строго соблюдаться стандарты: государственные (ГОСТы), отраслевые (ОСТы), предприятий (СТП). Стандарты в максимально возможной степени приближены к стандартам Международной организации по стандартизации (ISO). Применение в машине стандартных деталей и узлов уменьшает количество типоразмеров, обеспечивает взаимозаменяемость, позволяет быстро и дешево изготовлять новые машины, а в период эксплуатации облегчает ремонт. Критерии работоспособности и расчета деталей машин. Работоспособность деталей машин оценивают по одному или нескольким критериям, выбор которых обусловлен условиями работы и характером возможного разрушения. Такими критериями являются: прочность, жесткость, износостойкость, теплостойкость, виброустойчивость. Прочность. Важнейшим критерием работоспособности всех деталей является прочность, т.е. способность детали сопротивляться разрушению или возникновению пластических деформаций под действием приложенных к ней нагрузок. Методы расчетов на прочность изучают в курсе сопро- тивления материалов. В расчетах на прочность большое значение имеет правильное определение расчетных нагрузок и допускаемых напряжений. Повысить прочность можно путем выбора рациональной формы поперечного сечения детали, устранения концентраторов напряжений, введения поверхностного упрочнения. Жесткость. Жесткостью называют способность детали сопротивляться изменению формы и размеров под нагрузкой. Износостойкость. Износостойкостью называют свойство материала оказывать сопротивление изнашиванию. Под изнашиванием понимают процесс разрушения и отделения материала с поверхности твердого тела при трении, проявляющемся в постепенном изменении размеров или формы. Износ (результат изнашивания) снижает прочность деталей, изменяет характер сопряжения, увеличивает зазоры в подвижных соединениях, вызывает шум. Теплостойкость. Теплостойкостью называют способность конструкции работать в пределах заданных температур в течение установленного срока службы. Перегрев деталей во время работы — явление вредное и опасное, так как при этом снижается их прочность, ухудшаются свойства смазочного материала, а уменьшение зазоров в подвижных соединениях приводит к заклиниванию и поломке. Для обеспечения нормального теплового режима работы проводят тепловые расчеты (расчеты червячных и волновых передач, подшипников скольжения). Виброустойчивость. Вибрации снижают качество работы машин, увеличивают шум, вызывают дополнительные напряжения в деталях. Особенно опасны резонансные колебания. Практические занятия: Определение типа и общего передаточного числа многоступенчатой последовательно соединенной передачи Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Современные тенденции в развитии машиностроения 2.Требования к машинам и их деталям 3.Основные критерии работоспособности и расчета деталей машин 4.Выбор материалов для деталей машин 5. Проектный и проверочный расчеты 6.Вращательное движение и его роль в механизмах и машинах 7.Назначение передач в машинах и их классификация 8.Основные силовые и кинематические соотношения в передачах 9.Критерии работоспособности деталей машин [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.2 Плоские механизмы. Фрикционные передачи Основные понятия и термины по теме: Шарнирные четырехзвенные механизмы; Кривошипно-ползунные и кулисные механизмы; Кулачковые механизмы; Фрикционные передачи. План изучения темы: Шарнирные четырехзвенные механизмы. Кривошипно-ползунные и кулисные механизмы. Кулачковые механизмы. Механизмы прерывистого движения. Общие сведения. Классификация фрикционных передач. Достоинства, недостатки и применение фрикционных передач. КПД передачи. Виды разрушения рабочих поверхностей фрикционных катков. Передаточное число. Вариаторы. Краткое изложение теоретических вопросов: Назначение и область применения фрикционных передач. Фрикционной передачей называется механизм, служащий для передачи вращательного движения от одного вала к другому с помощью сил трения, возникающих между насаженными на валы и прижатыми друг к другу дисками, цилиндрами или конусами. Фрикционные передачи относятся к передачам с непосредственным контактом. Их работа основана на принципе использования силы трения. К ним относятся вариаторы, отличающиеся простотой конструкции, позволяющие легко обеспечить бесступенчатое регулирование частоты вращения ведомого вала. Передача вращающего момента в вариаторах осуществляется либо за счет силы трения (фрикционные вариаторы), либо за счет зацепления рабочих элементов (цепные вариаторы). Фрикционные передачи находят применение в кузнечно-прессовом оборудовании (фрикционные прессы, фрикционные молоты), металлорежущих станках, транспортирующих машинах ( например лебедки с фрикционным приводом ); в приборах, счетно-решающих машинах и т.д. Наибольшее применение в машиностроении имеют фрикционные вариаторы. Принцип фрикционной передачи является основой технологического процесса в прокатных станках, основой работы рельсового и безрельсового колесного транспорта, однако эти вопросы являются предметом изучения в специальных дисциплинах. Фрикционные передачи с постоянным передаточным отношением широко применяются в приборостроении; конические и цилиндрические реверсивные передачи находят применение в винтовых прессах. Вариаторы применяют в приводах химического и текстильного оборудования два обеспечения: плавного изменения скоростного режима "вытягивания" волокна и наматывания нити на бабину; в приводах центрифуг для плавного разгона до достижения необходимой частоты вращения; в приводах деревообрабатывающего оборудования для изменения режима обработки в зависимости от породы и структуры материала. Фрикционные передачи можно классифицировать по нескольким признакам: 1) по расположению осей валов, по форме тел качения, по условиям работы; 2) по возможности регулирования передаточного числа. Достоинства фрикционных передач 1) простота конструкции, 2) плавность и бесшумность работы, 3) возможность безаварийной ситуации при случайной перегрузке, 4) возможность плавного изменения передаточного числа на ходу машины. Недостатки фрикционных передач 1) значительная радиальная нагрузка на опоры валов, которая может до 35 раз превышать передаваемое окружное усилие и вызывающее интенсивное изнашивание рабочих элементов передачи и разрушение катков. 2) фрикционные не обеспечивают строгого постоянства передаточного числа при изменении нагрузки 3) имеют сравнительно невысокий КПД. Виды скольжения. При передаче вращательного момента за счёт трения, возникающей на площадке контакта прижатых друг к другу катков, неизбежно возникает относительное проскальзывание их рабочих поверхностей, причём рабочая поверхность ведущего катка является опережающей, а рабочая поверхность ведомого катка – отстающей. Степень этого проскальзывания зависит от предварительного окружного усилия, упругих свойств материала катков и поэтому называется упругим скольжением (рис. 2.2.1), сопутствующим работе фрикционной передачи с катками любой формы. Рисунок 2.2.1 Схема фрикционной передачи При перегрузках, когда сила трения на площадке контакта катков оказывается меньше окружного условия, ведомый каток останавливается, ведущий каток скользит по нему и наступает буксование, приводящее к интенсивному местному износу ведомого катка. Скольжение является причиной износа, снижения КПД и непостоянства передаточного числа фрикционных передач. Материалы тел качения фрикционных передач Основные требования к материалам: - износостойкость и контактная прочность; - высокий коэффициент трения; - высокий модуль упругости, чтобы не возникала значительная деформация площадки контакта, и не увеличивались потери на трение. Сочетание закаленная сталь - закаленная сталь обеспечивает небольшие габаритные размеры передачи и высокий КПД; используют шарикоподшипниковые стали с закалкой до 60 HRC. Сочетание чугун-чугун или чугун- сталь позволяет работать со смазкой и без нее. Сочетание сталь — текстолит позволяет работать без смазки, коэффициент трения специальных пластмасс достигает 0,5. Применяют тела качения, покрытые кожей или резиной. Эти материалы обеспечивают высокий коэффициент трения, но он зависит от влажности воздуха. Такие колеса обладают малой контактной прочностью. Иногда используют покрытие из дерева. Катки из неметаллических материалов работают всухую. Надежны передачи, у которых ведущий шкив выполнен из менее твердого материала. При разных материалах тел качения ведущий каток делают из менее прочного материала во избежание образования задиров и лысок в случае буксования передачи. Принцип равной работоспособности тел качения поверхность ведущего катка является опережающей и обладает большей нагрузочной способностью, чем рабочая поверхность ведомого катка. Кинематика фрикционной передачи. В результате неизбежного при работе фрикционных передач упругого скольжения ведомый каток отстаёт от ведущего и точное значение передаточного числа будет определяться по формуле (2.2.1), где - коэффициент скольжения (для металлических катков = 0,01…0,03, Большие значения относятся к передачам, работающим всухую, для текстолитового катка 0,1). Наличие упругого скольжения и некоторая его зависимость от колебаний нагрузки и условий работы передачи вынуждают называть передаточное число фрикционной передачи условно постоянным. Для практических расчётов силовых фрикционных передач пользуются приближённым значением передаточного числа . Для одной пары катков силовых передач , для передач приборов . Силовые отношения в передаче. Для передач от одного вала к другому вращающего момента необходимо за счёт силы трения приложить к ведомому катку окружную силу (2.2.2), которая должна быть меньше силы покоя, возникшей между катками, прижатыми друг к другу силой Q. Таким образом, условие работы фрикционной передачи записывается так: (2.2.3), где k – коэффициент запаса сцепления (k = 1,3…1,4); f – коэффициент трения (для стальных или чугунных катков, работающих в масляной ванне f = 0,04…0,15; работающих всухую f = 0,15…0,20; для передач с одним неметаллическим катком f = 0,2…0,3). Из вышеприведённой формулы определим силу притяжения катков:Q = kF1/f = 2kT1/(fD1) (2.2.4) Из этой формулы видно, что сила притяжения больше окружной силы в k/f раз, что при k = 1,4, f = 0,04 даёт k/f = 1,4/0,04 = 35 раз. Большие силы притяжения катков создают значительные радиальные нагрузки на опоры валов и вызывают появление больших контактных напряжений на рабочих поверхностях катков, что делает силовые фрикционные передачи громоздкими, а их нагрузочную способность сравнительно невысокой. Для уменьшения в несколько раз силы притяжения применяют катки с клинчатым ободом, трение в которых аналогично трению в клинчатом ползуне, рассмотренному в теоретической механике. Однако в таких катках возникает значительное геометрическое скольжение, существенно уменьшающее срок их службы. Коэффициент полезного действия фрикционных передач в основном определяется потерями в опорах валов. Экспериментально установлено, что для закрытых передач , для открытых передач - . Критерии работоспособности фрикционной передачи. Для фрикционных передач с металлическими катками основным критерием работоспособности является контактная прочность. Прочность и долговечность фрикционных передач оцениваются по контактным напряжениям — напряжениям смятия поверхности на площадке контакта. Расчет па прочность фрикционной передачи Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи представлена на рис. 2.2.2 Рисунок 2.2.2 Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи Контактные напряжения передач с контактом по линии определяют по формуле Герца (2.2.5), где Q — сила прижатия катков; ; К — коэффициент запаса сцепления (коэффициент нагрузки), К= 1,25...2; l— длина контактной линии; —приведенный радиус кривизны: , —приведенный модуль упругости, - коэффициент Пуассона Виды фрикционных передач. Коническая фрикционная передача Конические фрикционные передачи преобразовывают вращательное движение между валами, оси которых пересекают, причём обычно угол между осями , где и - половины углов при вершине конусов ведущего и ведомого катков. Для конических фрикционных передач рекомендуется . Коэффициент полезного действия конических фрикционных передач . Критерий работоспособности и принципы расчёта конических фрикционных передач аналогичны рассмотренным ранее для цилиндрических передач, но основным расчётным параметром следует считать средний диаметр Dm большего (обычно ведомого) катка, так как в основном именно этот размер определяет габариты передачи. Фрикционные вариаторы Вариатором или бесступенчатой передачей называется механизм для плавного изменения передаточного отношения. В машиностроении фрикционные вариаторы используют в силовых приводах, мощность которых колеблется от небольших величин до десятков и даже сотен киловатт. Вариаторы бывают одно- и двухступенчатые. Основной кинематической характеристикой любого вариатора является диапазон регулирования Д, равный максимальному передаточному отношению, делённому на минимальное (2.2.6), Для одноступенчатых вариаторов преимущественные значения Д = 3…6. С увеличением диапазона регулирования снижается КПД вариатора. Практические занятия: Расчет фрикционной передачи Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Что называется кинематической парой? звеном? механизмом? 2.Какие группы подразделяют кинематические пары в зависимости от характера движения? 3.Какие механизмы относят к плоским механизмам, какие – к пространственным? 4.К каким группам относят кулачковые механизмы и механизмы прерывистого движения? 5.Какие виды фрикционных передач Вы знаете? 6.В каких случаях применяют фрикционные передачи? 7.Критерии работоспособности фрикционной передачи 8.Какие устройства называют вариаторами? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.3 Зубчатые колеса Основные понятия и термины по теме: Зубчатые колеса; Зубчатая передача; Прямозубая передача; Косозубая передача; Шевронная передача;Цилиндрическая передача; Коническая Передача; Рейка; Эвольвентное зацепление; Окружной шаг зубьев;Модуль зубчатой передачи; Делительная окружность План изучения темы: Общие сведения о зубчатых передачах: достоинства, недостатки, область применения. Классификация зубчатых передач. Основные теории зубчатого зацепления. Краткие сведения об изготовлении зубчатых колес. Материалы и конструкции зубчатых колес. Виды повреждения зубьев и критерии работоспособности зубчатых передач. Основные геометрические соотношения Краткое изложение теоретических вопросов: Зубчатая передача относится к передачам зацеплением с непосредственным контактом пары зубчатых колес. Меньшее из колес передачи принято называть шестерней, а большее - колесом. Термин «зубчатое колесо» является общим. Зубчатая передача предназначена в основном для передачи вращательного движения. Зубчатые передачи - это самый распространенный вид механических передач в машиностроении и приборостроении. Их применяют для передачи мощностей от долей до десятков тысяч киловатт при окружных скоростях до 150 м/с и передаточных числах до нескольких сотен и даже тысяч, с диаметром колес от долей миллиметра до 6 м и более. Достоинства: высокая нагрузочная способность; малые габариты; большая надежность и долговечность (40 000 ч); постоянство передаточного числа; высокий КПД (до 0,97... 0,98 в одной ступени); простота в эксплуатации. Недостатки: повышенные требования к точности изготовления и монтажа; шум при больших скоростях; необходимость высокой точности изготовления и монтажа; высокая жесткость, не позволяющая компенсировать динамические нагрузки. Классификация. По взаимному расположению геометрических осей валов различают передачи, показанные на рисунке 2.3: с параллельными осями - цилиндрические (а … г); с пересекающимися осями - конические (д, е); со скрещивающимися осями - цилиндрические винтовые (ж), конические гипоидные (з) и червячные. В некоторых механизмах для преобразования вращательного движения в поступательное (или наоборот) применяется реечная передача (и). Она является частным случаем цилиндрической зубчатой передачи. Рейку рассматривают как одно из колес с бесконечно большим числом зубьев. В зависимости от взаимного расположения зубчатых колес различают зубчатые передачи с внешним (а, б, в) и внутренним (г) зацеплением. В первом случае колеса передачи вращаются в противоположных направлениях, во втором - направления вращения колес совпадают. Наиболее распространены передачи внешнего зацепления. По расположению зубьев на поверхности колес различают передачи: прямозубые (а, г, д), косозубые (б), шевронные (в) и с круговым зубом (е). По форме профиля зуба различают передачи эвольвентные, с зацеплением М.Л.Новикова, циклоидальные. По окружной скорости различают передачи: тихоходные (v  3 м/с), среднескоростные (v =3... 15 м/с), скоростные (v = 15... 40 м/с), быстроходные (v > 40 м/с).
По конструктивному исполнению передачи могут быть открытые (не защищены от влияния внешней среды) и закрытые (изолированные от внешней среды).
Эвольвентные передачи. Постоянство передаточного отношения зубчатой передачи достигается при определенной форме профилей зубьев. Для получения таких поверхностей профили зубьев нужно очертить сопряженными кривыми. Существует несколько таких кривых.
Наибольшее распространение получил эвольвентный профиль зуба, предложенный Л. Эйлером в 1759 г. В 1954 г. М. Л. Новиков предложил принципиально новый профиль зуба — круговой.
Эвольвентой окружности называют кривую, описываемую точкой А прямой АВ, перекатывающейся по окружности без скольжения.
При перекатывании прямой по окружности, как показано на рисунке 2.4, точка 1 будет в точке 1′, точка 2 — в точке 2′ и т. д. В точках 1′ , 2′, 3′ ,… проведем касательные к окружности перпендикулярно к ее радиусам. На касательных отложим отрезки 1′ А1 , 2’А2 , 3’А3 ,…, равные соответственно отрезкам Al, A2, A3,… Соединив точки А1 , А2 , А3,… плавной кривой, получим эвольвенту окружности.
Окружность, по которой перекатывается прямая при образовании эвольвенты, называется основной окружностью, а прямая — образующей прямой. Основным свойством эвольвенты является то, что образующая прямая всегда перпендикулярна к эвольвенте, а, следовательно, отрезки 1′ А, 2′ А,… являются мгновенными радиусами кривизны эвольвенты. Эвольвента начинается на основной окружности и всегда расположена вне ее. Это кривая без перегибов, форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности.
Эвольвентное зацепление получило преимущественное распространение благодаря своей технологичности. Зубья, профили которых образованы двумя симметричными эвольвентами, относительно легко, просто и точно могут быть изготовлены инструментом, имеющим прямые режущие кромки.
Эвольвентная система зацепления обеспечивает высокую прочность зубьев, простоту и удобство измерения элементов зацепления, взаимозаменяемость зубчатых колес при любых передаточных числах. Допускает изменение межцентрового расстояния.
Если одно из колес заменить стандартным исходным контуром, то для другого колеса будет одна лишь окружность, катящаяся по начальной прямой рейки без скольжения. Эта окружность называется делительной окружностью, и ее диаметр обозначается d. Основные параметры зубчатых колес определяют по делительной окружности, которая делит головку зуба высотой h на ножку высотой hf и головку высотой ha .
Расстояние pt между одноименными точками профилей двух соседних зубьев, измеренное по дуге делительной или любой другой концентрической окружности, называется окружным шагом зубьев.
Окружной модуль зубьев mt — линейная величина, в  раз меньшая шага, измеренная по делительной окружности
mt = pt /. (2.9)
Для удобства расчетов и измерения зубчатых колес модуль выражают через делительный диаметр d и число зубьев z . Длина делительной окружности
·d = pt z ,
откуда
d = pt z /  = mt z, или mt = d / z. (2.10)
Можно сказать, что модуль — это часть делительного диаметра, приходящаяся на один зуб. Модуль является основным параметром зубчатой передачи, определяющим ее размеры. Для пары зацепляющихся колес модуль должен быть одинаковым.
Для обеспечения взаимозаменяемости зубчатых колес и унификации зуборезного инструмента значения модуля m в миллиметрах стандартизованы. Под m понимается расчетный стандартный модуль mn , определенный по шагу, измеренному в нормальном сечении зуба. Для прямозубых передач mt и mn совпадают. ГОСТ 9563-80 устанавливает для цилиндрических колес значения нормальных модулей, для конических — значения внешних окружных делительных модулей.
Таким образом, диаметр делительной окружности
d = z p /π = m z. (2.11)
Диаметр окружности вершин зубьев
da = d + 2ha = m (z + 2). (2.12)
Диаметр окружности впадин
df = d — 2hf = т (z — 2,5). (2.13)
Толщина зубьев s и ширина впадин е теоретически равны между собой. Практически между зацепляющимися зубьями имеется небольшой боковой зазор (на рисунке 2.5 – j ), определяемый предельными отклонениями размеров, который компенсирует возможные неточности изготовления и сборки.
Наибольшее расстояние между торцами зубьев колеса называется шириной венца и обозначается b.
Межосевое расстояние цилиндрической зубчатой передачи, равное полусумме делительных диаметров зубчатых колес при внешнем зацеплении (или полуразности при внутреннем), называется делительным межосевым расстоянием и обозначается а.
Межосевое расстояние а двух сцепляющихся прямозубых колес определяют по формуле
. (2.14)
Коническая зубчатая передача. Конические зубчатые колеса применяют для передачи вращательного движения между валами с пересекающимися осями. По стоимости конические передачи дороже цилиндрических равных параметров. Применение их диктуется только условиями компоновки машины. Пересечение осей валов затрудняет размещение опор. Одно из колес обычно располагается консольно, что способствует увеличению неравномерности распределения нагрузки по длине зуба. В коническом зацеплении действуют осевые силы, наличие которых усложняет конструкцию опор. Все это приводит к тому, что по опытным данным, нагрузочная способность конической прямозубой передачи составляет около 0,85 цилиндрической (см. рисунок 2.3, д). Наибольшее применение получили ортогональные передачи с межосевым углом Σ = 90°, хотя возможны и другие углы (10°… 170°).
Конические колеса изготавливают с прямыми, косыми и круговыми зубьями. При окружных скоростях до 2… 3 м/с применяют конические колеса с прямыми зубьями, при больших скоростях используют колеса с круговыми зубьями, которые обеспечивают более плавное зацепление и имеют большую нагрузочную способность и проще в изготовлении.
Зубья конических колес профилируют по эвольвенте так же, как и зубья цилиндрических колес, но на поверхности дополнительных конусов. При этом определяются диаметры так называемых эквивалентных цилиндрических колес.
Передаточное число конической передачи определяют по формулам для цилиндрических передач и, кроме того, для случая, когда межосевой угол  = 1 + 2 = 90°, по формуле
и = ctg 1 = tg 2. (2.18)
Геометрический расчет передачи ведут в соответствии с ГОСТ 19624-74.
Основными параметрами конических колес являются:
— средний делительный диаметр d;
— число зубьев меньшего колеса, равное z1 = 18… 24;
-угол конуса вершин
 a =  +  , (2.19)
где  — угол ножки зуба;
tg  = 1,2 me / Re. (2.20)
В соответствии со стандартом угол головки зуба равен углу ножки зуба, что обеспечивает постоянный радиальный зазор по длине зуба:
— угол конуса впадин
 f = — , (2.21)
— внешний делительный диаметр de;
— угол делительного конуса  (рисунок 2.8).
По ширине венца колеса b модуль зацепления меняется. Поэтому в конических зубчатых колесах различают два модуля: средний окружной модуль т на среднем делительном диаметре и внешний окружной модуль тe , по которому определяются все размеры зубчатого колеса, причем
d = m z, (2.22)
de = me z. (2.23)
Внешний и средний модули связаны между собой зависимостью
me = m Re /R , (2.24)
где Re — внешнее конусное расстояние
Re. = de2 / (2 sin2) (2.25)
или ; (2.26)
R — среднее конусное расстояние
R = Re — 0,5b . (2.27)
Ширина зубчатого венца
b = Re Re , (2.28)
где Re — коэффициент ширины зубчатого венца. Величиной Re задаются в пределах 0,25… 0,3. Обычно принимают Re = 0,285.
Углы делительных конусов:
tg 1 = z1 / z2 ; (2.29)
2 = 90° — 1. (2.30)
Модуль me называется также производственным; его величину принимают по ГОСТ 9563-80, но это не обязательно.
Внешняя высота hfe ножек зубьев и hae головок зубьев:
hfe =1,2 me ; hae = me ; (2.31)
внешний диаметр вершин зубьев
dae = de + 2hae cos  = me ( z + 2 cos ). (2.32)
Расчет зубьев цилиндрических колес на прочность
При оценке прочности зубьев действующие напряжения определяют по расчетной нагрузке. За расчетную нагрузку w принимают максимальное значение удельной нагрузки, распределенной по линии контакта зубьев:
wt = Fn K/ lΣ , (2.40)
где Fn — нормальная сила в зацеплении; K = Kβ Kv — коэффициент расчетной нагрузки; Kβ — коэффициент концентрации нагрузки; Kv -коэффициент динамической нагрузки; lΣ — суммарная длина линии контакта зубьев.
Суммарная длина контактных линий зависит от ширины венца колеса bw. Для прямозубых передач при однопарном зацеплении lΣ = bw .
Концентрация нагрузки и динамические нагрузки по-разному влияют на прочность по контактным и изгибным напряжениям. Соответственно различают коэффициенты при расчетах по контактным напряжениям KH , KHβ KHv и по напряжениям изгиба KF, KFβ KFv.
Коэффициент концентрации нагрузки Kβ учитывает неравномерность распределения нагрузки по длине зуба, связанную с деформацией валов, корпусов, опор и самих зубчатых колес, как показано на рисунке 2.10, а также с погрешностями изготовления передачи.
Например, при симметричном расположении опор прогиб валов не вызывает перекоса зубчатых колес и, следовательно, почти не нарушает распределения нагрузки по длине зуба. Но при несимметричном и консольном расположении опор колеса перекашиваются на некоторый угол, что приводит к нарушению правильного касания зубьев. В силу упругости зубьев обычно сохраняется их контакт по всей длине, но нагрузка при этом распределяется неравномерно. Влияние перекоса усиливается с увеличением ширины зубчатого венца.
При твердости материала колес  HB 350 неравномерность нагрузки со временем уменьшается вследствие прирабатываемости зубьев. При твердости зубьев  HB 350 или при окружных скоростях v  15 м/с влияние приработки зубьев проявляется слабо.
Для приближенной оценки Kβ рекомендуют графики, составленные на основе расчетов и практики эксплуатации. При постоянной нагрузке, при твердости материала колес  HB 350 и v  15 м/с можно принимать Kβ = 1.
Коэффициент динамической нагрузки Kv учитывает возникновение в зацеплении колес дополнительных динамических нагрузок. Его величина зависит от погрешностей зубьев колес, окружной скорости, присоединенных масс и других причин.
Значение коэффициента Kv для всех видов зубчатых колес принимают по таблицам в зависимости от точности изготовления, окружной скорости и твердости рабочих поверхностей зубьев.
Расчет на прочность прямозубых и косозубых передач регламентирован ГОСТ 21354-87. Расчет сводится к удовлетворению условий прочности по контактным напряжениям и напряжениям изгиба.
Расчет зубьев по контактным напряжениям ведут для зацепления в полюсе, поскольку выкрашивание начинается вблизи полюсной линии (на ножке) (рисунок 2.11). Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров. Поэтому контактные напряжения определяют по формуле Герца для наибольших контактных напряжений при сжатии цилиндров вдоль образующих:
. (2.41)
Здесь q — нагрузка на единицу длины зуба, определяемая по формуле
, (2.42)
где Kε — коэффициент, зависящий от суммарной длины контактных линий; εα — коэффициент перекрытия (для прямозубых передач εα = 1); ρПР — приведенный радиус кривизны:
1/ ρПР = 1/ ρ1 + 1/ ρ2 . (2.43)
В общем случае для прямозубых и косозубых цилиндрических колес радиусы кривизны ρ1 и ρ2 в точке контакта профилей зубьев:
ρ1 = 0,5 d1 sin α / cos2β , (2.44)
ρ2 = 0,5 d2 sin α / cos2β. (2.45)
Величину контактных напряжений определяют
, (2.46)
где ZМ — коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных колес; ZН — коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей; Z — коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий; ψbd — коэффициент ширины колеса ψbd = b / d w1.
При проектном расчете из условия прочности по контактным напряжениям определяют делительный диаметр шестерни
. (2.47)
Для отыскания межосевого расстояния а заменяют d1 на 2а /(и + 1) и вводят коэффициент ширины колеса ψba = b / а
. (2.48)
Коэффициенты ψba и ψbd зависят от твердости поверхности зубьев передачи и расположения зубчатых колес относительно опор.
Для предварительных расчетов стальных прямозубых колес принимают КHβКHv = 1,3; Кd = 770 МПа1/3 и Ка = 495 МПа1/3.
Нагрузочная способность косозубых колес примерно в 1,5 раза выше, чем у прямозубых, поэтому в предварительных расчетах для стальных косозубых и шевронных колес можно принимать КHβКHv = 1,2; Kd = 675 МПа1/3 и Ка = 430 МПа1/3 .

Расчет зубьев на изгиб. Нормальная сила Fn, являющаяся результатом взаимодействия зубьев колес нагруженной передачи, действует по направлению линии зацепления и может быть приложена в различных точках поверхности зуба. С точки зрения прочности на изгиб наиболее опасно, когда нормальная сила приложена к вершине зуба, как показано на рисунке 2.12.
Независимо от того, сколько пар зубьев находится в зацеплении, для надежности расчета принимают, что вся нагрузка Fn , воспринимается только одним зубом и направлена по общей нормали к профилям зубьев. Перенося силу Fn по линии действия на ось симметрии зуба, раскладывают ее на две составляющие: окружную Ft’ и радиальную Fr ‘. Сила Ft’ изгибает зуб, а сила Fr ‘ сжимает его.
Заменяя далее силу Ft’ окружной силой Ft = 2T / d (так как Ft > Ft’, то произведенная замена лишь несколько увеличит запас прочности), получим
(2.49)
С учетом коэффициентов расчетной нагрузки KFβ. и KFv, коэффициента распределения нагрузки между зубьями КFа и теоретического коэффициента концентрации напряжений Кσ полученная формула для прямозубых передач примет вид
, (2.50)
где YF = 6 k Kσ /с2 — коэффициент формы зуба, выбираемый в зависимости от числа зубьев (для косозубой передачи — от эквивалентного числа зубьев).
У косозубых передач суммарная длина контактных линий l больше ширины колеса, что способствует уменьшению напряжений изгиба. Поэтому для косозубых передач
, (2.51)
где Yβ, = 1 — (β0 /140) — коэффициент, учитывающий наклон зуба; YF — коэффициент, учитывающий форму зуба; Yε = 1/ Kε εα ; Kε ≈ 0,95 — коэффициент, учитывающий непостоянство суммарной длины контактных линий.
Эта формула обычно используется для проверочных расчетов.
При проектном расчете модуль определяется по эмпирической зависимости с последующей проверкой зубьев на изгибную прочность.
При твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса ≤ HB350 принимают т = (0,01 … 0,02) аw .
При проектировании передачи из условия прочности по напряжениям изгиба модуль передачи определяют по формуле
. (2.52)
Согласно ГОСТ 2185-66, межосевые расстояния и номинальные передаточные числа должны соответствовать стандартным значениям.
Контактные напряжения для зубьев конических колес определяются по аналогии с формулой (2.46) для цилиндрических передач, заменяя конические колеса эквивалентными цилиндрическими (см. рисунок 2.7).
Формула для проверочного расчета конических передач на контактную выносливость имеет вид
, (2.53)
где опытный коэффициент 0,85 оценивает снижение нагрузочной способности конических передач по сравнению с цилиндрической из-за консольного расположения шестерни. Коэффициент Z = 487 МПа1/2 для стальных колес.
Формула для проектного расчета конической передачи со стальными колесами такова:
, (2.54)
где ψbd = b/d1 — коэффициент ширины колеса относительно среднего диаметра. Для предварительных расчетов можно принимать КнвКнv = 1,3.
Для того чтобы отношение ширины зубчатого венца к внешнему конусному расстоянию b/Re =ψRe находилось в общепринятых пределах, значение коэффициента ψbd вычисляют по формуле
. (2.55)
После определения среднего диаметра шестерни d1 задаются числом зубьев z1 ≥ 17, находят средний модуль m и производят проверку зубьев конической передачи по напряжениям изгиба.
Размеры поперечных сечений зубьев конического колеса уменьшаются по мере приближения к вершине делительного конуса (см. рисунок 2.7), поэтому нагрузка распределяется по длине зуба неравномерно и изменяется в зависимости от деформации зубьев в различных сечениях. За расчетное удобно принять сечение в средней части длины зуба. Тогда по аналогии с цилиндрической передачей напряжения в этом сечении определятся по формуле (2.50) с учетом коэффициента 0,85:
. (2.56)
Удельную нагрузку wF определяется по формуле (2.41) при окружной силе Ft, рассчитанной по среднему диаметру. Коэффициент формы зуба YF определяется в зависимости от эквивалентного числу зубьев.
Если размеры передачи определяет не контактная, а изгибная прочность (твердость поверхности зубьев HRCэ ≥ 63 и относительно мягкая сердцевина), расчет конических передач следует начинать с определения среднего модуля по формуле
, (2.57)
где Km = 1,4.
По величине m определяют внешний модуль тe и определяют все остальные параметры передачи. Для предварительных расчетов можно принимать KFβ KFv =1,5.
Практические занятия:
Расчет зубчатой передачи на изгиб.
Расчет зубчатой передачи на контактную прочность
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Каковы достоинства и недостатки зубчатых передач?
2.Покаким признакам классифицируют зубчатые передачи?
3.Почему эвольвентное зацепление имеет преимущественное применение?
4.Какие Вы знаете основные параметры зубчатой пары?
5.Что такое модуль и шаг зубчатого зацепления?
6.Какая окружность зубчатого колеса называется делительной?

Тема 3.4 Передача винт – гайка
Основные понятия и термины по теме:
Передача винт – гайка; Грузовые, ходовые, установочные винты
План изучения темы:
Общие сведения. Разновидности винтов передач. КПД и передаточное число. Виды разрушения передачи и материалы винтовой пары. Расчет передачи винт-гайка. Допустимые напряжения. Последовательность расчета передачи винт-гайка.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Передача винт-гайка предназначена для преобразования вращательного движения в поступательное движение. При этом как винт, так и гайка могут иметь либо одно из названных движений, либо оба движения одновременно.
Применяют поднятия грузов (домкраты), создание больших усилий до 1000 кН при малых перемещениях (прессы, нажимные устройства, тиски и т.п.) и получения точных перемещений (ходовые винты станков, измерительные приборы, делительные и регулировочные устройства).
Достоинства передачи винт-гайка
1. Большой выигрыш в силе;
2. Возможность получения медленного движения с высокой точностью перемещения; компактность при высокой нагрузочной способности;
3. Простота конструкции и изготовления;
4. Плавность и бесшумность;
5. Высокая надежность.
Недостатки передачи винт-гайка
1. Повышенный износ резьбы, вызываемый большим трением;
2. Низкий КПД.
Конструкция передач
Различные два типа передач винт-гайка:
-передачи с трением скольжения рис.а,
— передачи с трением качения рис.б

Передача с трением скольжения а), с трением качения б)

Передача с трением скольжения а), с трением качения б)
Разновидности винтов передачи
В зависимости от назначения передачи винты бывают:
1) Грузовые. Применяются для создания больших осевых сил. Такие винты, если они работают при знакопеременной нагрузке, имеют трапецеидальную резьбу, при большой односторонней нагрузке – упорную. В домкратах для большого выигрыша в силе и обеспечения самоторможения применяют однозаходную резьбу с малым углом подъема. Гайки грузовых винтов изготавливают цельными.

2) Ходовые. Применяют для перемещений в механизмах подачи. Для уменьшения трения в ходовых винтах применяют трапецеидальную многозаходную резьбу. Из-за повышенного износа резьбы гайки ходовых винтов изготавливают разъемными. Появляющийся зазор в резьбе регулируют с помощью набора металлических прокладок.
3) Установочные. Применяют для точных перемещений и регулировок. Установочные винты имеют метрическую резьбу. В механизмах точных перемещениях важно малое трение и отсутствие зазора в резьбе.
Основным критерием работоспособности и расчёта передачи является износостойкость. Основной причиной выхода из строя винтов и гаек является большое изнашивание их резьбы. Поэтому при определении размеров передачи исходят из расчета на износостойкость резьбы по допускаемому давлению. Потом проводят расчет на прочность винта, то есть определяют его диаметр.
Практические занятия:
Расчет передачи винт – гайка
Вопросы для самоконтроля по теме:
1.Какие резьбы применяют для грузовых винтов?
2.Каковы достоинства и недостатки передачи винт – гайка?
3.Какие Вы знаете разновидности винтов передачи?

Тема 3.5 Червячные передачи
Основные понятия и термины по теме:
Червяк, червячное колесо, архимедов червяк, цилиндрический червяк, эвольвентный червяк, конволютный червяк, корригирование червячных передач
План изучения темы:
Общие сведения о червячных передачах: достоинства, недостатки, область применения, материалы червяков и червячных колес. Червячная передача с Архимедовым червяком, основные геометрические и кинематические соотношения. Понятие о червячных передачах со смещением. Конструктивные элементы передачи. Силы действующие в зацеплении. Тепловой расчет червячной передачи.
Краткое изложение теоретических вопросов:
Червячная передача (рис. 1) — механизм для передачи вращения ме¬жду валами посредством винта (червяка 1) и сопряженного с ним червячного колеса 2.

Рис. 1. Червячные передачи: 1 — червяк; 2— червячное колесо
Геометрические оси валов при этом скрещиваются под углом 90°. Веду¬щим элементом здесь обычно является червяк (как правило, это винт с трапецеидальной резьбой), ведомым — червячное колесо с зубьями особой формы, получаемыми в результате взаимного огибания с витками червяка. При вращении червяка вокруг своей оси его витки перемещаются вдоль образующей своей цилиндрической поверхности и приводит во вращательное движение червячное колесо. Для увеличения длины контактных линий в зацеплении с червяком зубья червячного колеса имеют дугообразную форму.
Червячные передачи относят к передачам зацеплением. Червячная передача — это зубча¬то-винтовая передача, движение в ко¬торой осуществляют по принципу вин¬товой пары, которой, как известно, присуще повышенное скольжение.
Различают два вида червячных передач: цилиндрические (с цилиндри¬ческими червяками, см. рис. 1, а, в); глобоидные см. рис.1, б.
Червячную передачу, у червяка и колеса которой делительные и на¬чальные поверхности цилиндрические, называют цилиндрической червячной пе¬редачей.
В зависимости от направления линии витка червяка червячные пе¬редачи бывают с правым (предпочтительнее для применения) и левым направлением линии витка.
В зависимости от расположения червяка относительно колеса передачи бывают с нижним, верхним и боковым червя-ками. Расположение червяка определяет общая компоновка изделия и принятый способ смазывания зацепления. При картерном способе сма¬зывания и окружной скорости червяка v1 < 5 м/с обычно применяют нижнее расположение червяка. При больших скоростях во избежание повышенных потерь на перемешивание и разбрызгивание масла приме¬няют верхнее расположение червяка. В зависимости от формы профиля витка различают: - архимедов червяк (ZA) (рис. 2, а) — цилиндрический червяк, торцовый профиль витка которого является архимедовой спиралью. Этот чер¬вяк подобен винту с трапецеидальной резьбой; - эвольвентный червяк (ZI) (рис. 2, 6); имеет эвольвентный профиль витка в его торцовом сечении (как у косозубого колеса); а) б) Рис. 2. Конструкции цилиндрических червяков: а — архимедов; б — эвольвентный - конволютный червяк (ZN); торцовый профиль витка является удлиненной или укороченной эвольвентой. В конволютном червяке режущий инструмент (или наждачный круг) установлен вдоль оси спирали зуба; это удобно при массовом производстве червяков, так как позволяет производить одновременную шлифовку двух сторон профиля зубьев. В машиностроении из цилиндрических червяков наиболее распростра¬нены архимедовы червяки. Их можно нарезать на обычных токарных или резьбофрезерных станках. Однако шлифование его витков затруднено, что снижает точность изготовления и нагрузочную способность червячной передачи. Эвольвентные червяки можно шлифовать, что повышает точность изготовления, обеспечивает более полный контакт витков червяка с зубьями колеса, более высокую нагрузочную способность передачи. Но для изготовления эвольвентных червяков требуются специальные шлифовальные станки. Эвольвентные червяки применяются сравнительно редко. Конволютные червяки шлифуют плоским торцом шлифовального круга на обычных резьбошлифовальных станках. Глобоидные червяки появились сравнительно недавно и вследствие повышенной нагрузочной способности получают все большее распространение, но в изготовлении и монтаже значительно сложнее и сильно нагреваются. Поэтому по-прежнему преимущественное распространение имеют цилиндрические червяки с прямолинейным профилем в осевом сечении. Зубья на червячном колесе чаще всего нарезают червячной фрезой, которая представляет собой копию червяка, с которым будет зацепляться червячное колесо. При нарезании заготовка колеса и фреза совершают такое же взаимное движение, какое имеют червяк и червяч¬ное колесо при работе. По числу витков червяки делят на однозаходные и многозаходные, по направлению витка — левые или правые. Наиболее распространено правое направление с числом витков червяка , зависящим от передаточного чис¬ла ; выбирают так, чтобы обеспечить число зубьев колеса : . Очевидно, что однозаходный червяк даёт наибольшее передаточное отношение. Однако, с увеличением числа заходов (витков) червяка угол подъема винтовой линии возрастает, что повышает КПД передачи, что связано с уменьшением трения за счёт роста угла трения. Поэтому однозаходные (одновитковые) червяки не всегда рекомендуется применять.Для увеличения КПД передачи: 1) червяк должен иметь твердую, очень чисто обработанную поверхность зубьев (желательна полировка). Материалом для червяков служат высокоуглеродистые – калимые или мало¬углеродистые цементированные стали, например, Ст.У-7, У-8, Ст.50 или Ст.20Х, Ст.18ХГТ, Ст.20ХНЗА; 2) венец червячного колеса должен быть изготовлен из антифрикционного материала - бронзы; 3) смазка должна быть обильной в закрытом пыленепроницаемом корпусе. В большинстве случаев червяки изготовляют за одно целое с валом, реже — отдельно от вала, а затем закрепляют на нем. Рис. 3. Основные разновидности червяков и принцип образования профиля: а — архимедов; б — конвалютный; в — эвольвентный Червячное колесо 2 (см. рис. 1, а) в отличие от косозубых зубча¬тых колес имеет вогнутую форму зуба, способствующую облеганию витков червяка. Направление и угол подъема зубьев червячного колеса соответствуют направлению и углу подъема витков червяка. Червячные колеса нарезают червячными фрезами и в редких случаях резцами, укрепленными на вращающейся оправке (летучими резцами). Червячные колеса изготовляют цельными (см. рис. 1, а, б) или сбор¬ными (на рис. 1, в показан венец червячного колеса). Минимальное чис¬ло зубьев колеса определяют из условия отсутствия подрезания и обес¬печения достаточной поверхности зацепления. Для силовых передач реко¬мендуется принимать , во вспомогательных кинематических передачах . Максимальное число зубьев не ограничено, но в силовых передачах чаще принимают 50—60 (до 80). В кинематических пе¬редачах z2 может доходить до 600—1000. Червячную передачу, показанную на рис. 4, называют глобоидной. Рис. 4 Витки ее червяка расположены на глобоидной (торовой) поверхности. Эта передача появилась сравнительно недавно, имеет повышенную нагру¬зочную способность (в 1,5—2 раза больше, чем у обычных червячных пере¬дач), так как линия контакта в глобоидных передачах располагается благо¬приятно, что улучшает условия для образования масляных клиньев, и в за¬цеплении находится большее число зубьев колеса и витков червяка. Глобоидные передачи требуют повышенной точности изготовления и монтажа, искусственного охлаждения. Эти передачи применяют реже, чем цилиндрические.Червячные передачи, как и зубчатые, могут быть корригированными. Корригирование червячных передач осуществляется так же, как и зуб¬чатых, т. е. радиальным смещением инструмента относительно оси заго¬товки при нарезании. Корригирование передачи осуществляют только за счет колеса. Корри¬гированные колеса нарезают на тех же станках и тем же инструментом, что и некорригированные. Корригирование в основном применяют для вписы¬вания передачи в заданное межосевое расстояние. В машиностроении преимущественно применяют некорригированные червячные передачи. Материалы червячной передачи. Материалы в червячной передаче должны иметь в сочетании низкий коэффициент трения, обладать повышенной износостойкостью и пони¬женной склонностью к заеданию. Обычно это разнородные материалы. Червяки изготовляют в основном из сталей марок 40, 45, 50 (реже из сталей 35, Ст5) с закалкой до HRC 45-55; 15Х, 20Х, 40Х, 40ХН, 12ХНЗ, 18ХГТ с цементацией и закалкой до HRC 58—63. Червячные колеса (или их венцы) изготовляют только из антифрикци¬онных сплавов. При скоростях скольжения до 2 м/с и больших диаметрах колес для их изготовления можно использовать чугуны марок СЧ15, СЧ20, СЧ25; до 6 м/с — применяют алюминиево-железистые бронзы БрА9Ж4 (при этом червяк должен иметь твердость не менее HRC 45), до 25 м/с и длительной работе без перерыва применяют оловяниетую бронзу БрОЮФ, оловянно-никелевую бронзу БрОНФ. Термообработку – улучшение применяют для передачи малой мощности до 1,1 кВт. Таким образом, для силовых передач следует применять эвольвентные нелинейчатые червяки. Конструктивные элементы червячной передачи В большинстве случаев червяк изготовляют как одно целое с валом. При конструировании червяка желательно иметь свободный выход инструмента при нарезании и шлифовании витков (шероховатость рабочих поверхностей витков Rа < 0,63 мкм). С целью экономии бронзы зубчатый венец червячного колеса изготовляют отдельно от чугунного или стального центра. В зависимости от способа соединения венца с центром различают следующие конструкции червячных колес: 1. С напрессованным венцом — бронзовый венец насажен на стальной центр с натягом. Такую конструкцию применяют при небольших диаметрах колес в мелкосерийном производстве. 2. С привернутым венцом — бронзовый венец с фланцем крепят болтами к центру. Фланец выполняют симметрично относительно венца для уменьшения деформаций зубьев. Эту конструкцию применяют при больших диаметрах колес ( мм). 3. С венцом, отлитым на стальном центре — стальной центр вставляют в металлическую форму (кокиль), в которую заливают бронзу для получения венца. Эту конструкцию применяют в серийном и массовом производстве. Передаточное число червячной передачи и определяют из условия, что за каждый оборот червяка колесо поворачивается на число зубьев, рав¬ное числу витков червяка, , (1) где z2 — число зубьев колеса червячной передачи; z1 — число витков червяка. Достоинства червячных передач: - возможность получения больших передаточных чисел (одной па¬рой — от 8 до 100, а в кинематических передачах — до 1000); - плавность и бесшумность работы; - возможность выполнения самотормозящей передачи (ручные грузо¬подъемные тали); - демпфирующие свойства снижают уровень вибрации машин; - возможность получения точных и малых перемещений; - компактность и сравнительно небольшая масса конструкции пере¬дачи. Недостатки: - в отличие от эвольвентных зацеплений, где преобладает контактное качение, виток червяка скользит по зубу колеса. Следовательно, червячные передачи имеют "по определению" один фундаментальный недостаток: высокое трение в зацеплении; - сравнительно невысокий КПД (0,7—0,92), в самотормозящих переда¬чах — до 0,5 вследствие больших потерь мощности на трение в зацеплении; - сильный нагрев передачи при длительной работе вследствие потерь мощности на трение, который вызывает значительное выделение тепла, которое необходимо отводить от стенок корпуса. Это обстоятельство ограничивает мощность практически применяемых передач пределом 10-20 кВт, зато для малых мощностей эти передачи нашли самое широкое применение; - необходимость применения для колеса дорогих антифрикционных материалов; - повышенное изнашивание и заедание; - необходимость регулировки зацепления. Кроме того, помимо достоинств и недостатков, червячные передачи имеют важное свойство: движение передаётся только от червяка к колесу, а не наоборот. Никакой вращающий момент, приложенный к колесу, не заставит вращаться червяк. Именно поэтому червячные передачи находят применение в подъёмных механизмах, например в лифтах. Там электродвигатель соединён с червяком, а трос пассажирской кабины намотан на вал червячного колеса во избежание самопроизвольного опускания или падения. Это свойство не надо путать с реверсивностью механизма. Ведь направление вращения червяка может быть любым, приводя либо к подъёму, либо к спуску той же лифтовой кабины. Червячные передачи применяют в механизмах деления и подачи зуборезных станков, продольно-фрезерных станков, глубоко расточных станков, грузоподъемных и тяговых лебедках, талях, механизмах подъема грузов, стрел и поворота автомобильных и железнодорожных кранов, экскаваторах, лифтах, троллейбусах и других машинах. Практические занятия: Расчет червячной передачи Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какими достоинствами и недостатками обладают червячные передачи по сравнению с зубчатыми? 2.Какой элемент червячной передачи является ведущим? 3.В каких случаях применяют червячные пердачи? 4.Из каких материалов изготавливают червяк и червячное колесо? 5.Как выбирают число заходов червяка? 6.Как определить передаточное число червячной пары? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.6 Ременные передачи Основные понятия и термины по теме: Ременная передача; Приводные ремни; Шкивы; Силы в передачи; Передаточное отношение План изучения темы: Ременные передачи: принцип работы, устройство, достоинства, недостатки применение. Детали ременных передач: приводные ремни, шкивы, натяжные устройства. Сравнительные характеристики передач с плоскими, клиновыми и поли клиновыми ремнями. Силы и напряжения в ветвях ремня. Силы действующие на валы и подшипники. Скольжение ремня на шкивах. Передаточное число и КПД передачи. Краткое изложение теоретических вопросов: Ременная передача относится к передачам трением с гибкой связью. Состоит из ведущего и ведомого шкивов, огибаемых ремнем. Нагрузка передается силами трения, возникающими между шкивом и ремнем вследствие натяжения последнего. Геометрические параметры ременной передачи Область применения ременных передач Ременные передачи применяют в большинстве случаев для передачи движения от электродвигателя, когда по конструктивным соображениям межосевое расстояние а должно быть достаточно большим, а передаточное число и не строго постоянным (в приводах станков, транспортеров, дорожных и строительных машин и т. п.). Мощность, передаваемая ременной передачей, обычно до 50 кВт и в редких случаях достигает 1500 кВт. Скорость ремня u = 5...50 м/с, a в сверхскоростных передачах может доходить до ~100 м/с. Ограничение мощности и нижнего предела скорости вызвано большими габаритами передачи. В сочетании с другими передачами ременную передачу применяют на быстроходных ступенях привода. Классификация ремённых передач В зависимости от формы поперечного сечения ремня передачи бывают: 1) плоскоременные, 2) клиноременные, 3) круглоременные, 4) поликлиноременные. В современном машиностроении наибольшее применение имеют клиновые и поликлиновые ремни. Передача с круглым ремнем имеет ограниченное применение (швейные машины, настольные станки, приборы). По расположению валов в пространстве: 1) передачи с параллельными валами: открытые , перекрёстные; 2) передачи со скрещивающимися валами – полуперекрёстные; 3) передачи с пересекающимися осями валов – угловые . Разновидностью ременной передачи является зубчатоременная, передающая нагрузку путем зацепления ремня со шкивами. Достоинства ремённых передач 1. Простота конструкции и малая стоимость. 2. Возможность передачи мощности на значительные расстояния (до 15 м). 3. Плавность и бесшумность работы. 4. Смягчение вибрации и толчков вследствие упругой вытяжки ремня. Недостатки ремённых передач 1.Большие габаритные размеры, в особенности при передаче значительных мощностей. 2. Малая долговечность ремня в быстроходных передачах. 3. Большие нагрузки на валы и подшипники от натяжения ремня. 4. Непостоянное передаточное число из-за неизбежного упругого проскальзывания ремня. 5. Неприменимость во взрывоопасных местах вследствие электризации ремня. Типы ремней Материалы ремней должны обладать достаточной прочностью, износостойкостью, эластичностью, долговечностью и иметь низкую стоимость. Плоскоременная передача имеет простую конструкцию и вследствие большой гибкости ремня обладает повышенной долговечностью. Эта передача рекомендуется при больших межосевых расстояниях до 15м и высоких скоростях до 100м/с. Клиноременная передача благодаря повышенному сцеплению ремня и шкива передает большую мощность, допускает меньший угол обхвата на малом шкиве, следовательно, может иметь по сравнению с плоскоременной передачей меньшее межосевое расстояние. Долговечность клиновых ремней меньше. Из-за их высоты большие потери на трение и деформации изгиба. Клиновые ремни бывают двух типов: 1) кордтканевые; 2) кордшнуровые; Кордтканевые ремни более долговечны, но в передачах с малыми диаметрами шкивов применяют кордшнуровые ремни. Зубчато-ременные передачи. Зубчатые ремни представляют собой ленту с зубьями на внутренней поверхности. Они состоят из стальных тросов и эластичного материала – резины или пластмассы. Зубья ремня имеют форму трапеции. Передача движения происходит не за счет силы трения, а зацеплением зубьев. Поэтому в зубчато-ременных передачах отсутствует скольжение ремня, и обеспечивается постоянство передаточного отношения. В такой передаче уменьшается влияние межосевого расстояния на тяговую способность, что снижает габариты передачи. Мощность, передаваемая зубчатым ремнем до 100кВт, . Геометрические соотношения в ременной передаче 1. Межосевое расстояние а (рис. 2.6.1) определяется конструкцией привода для плоскоременных передач: (2.6.1), для клиноременных и поликлиноременных передач: (2.6.2), где d1 и d2 — диаметры шкивов; h — высота сечения ремня. 2. Расчетная длина ремня L равна сумме длин прямолинейных участков и дуг обхвата шкивов (2.6.3) При наличии сшивки длину ремня увеличивают на L= 100...400 мм. 3. Угол обхвата ремнем малого шкива (2.6.4) Для плоскоременной передачи - , для клиноременной и поликлиноременной - . Силы в передаче. Передаточное отношение Для создания трения между ремнем и шкивом ремню после установки создают предварительное натяжение F0 После приложения основной нагрузки происходит перераспределение натяжений в ветвях ремня. Ветвь, набегающая на ведущий шкив (ведущая) натягивается F1, натяжение в ведомой ветви уменьшается F2. Силы натяжения ветвей ремня Fn . нагружают валы и подшипники, что является недостатком ременных передач. В ременной передаче возникают два вида скольжения: упругое и буксование. Упругое скольжение неизбежно при нормальной работе передачи. В процессе работы напряжение ремня на ведущем шкиве падает, ремень укорачивается и отстает от шкива. Возникает упругое скольжение. На ведомом шкиве натяжение ремня падает, и тоже возникает упругое скольжение. Упругое скольжение возникает в результате разности натяжений ведущей и ведомой ветви. По мере роста окружной силы , ремень начинает скользить по всей длине дуги обхвата, то есть по всей поверхности касания ремня с ведущим шкивом, то есть буксует. Ведомый шкив при этом останавливается, к.п.д. падает до нуля. Упругое скольжение характеризуется коэффициентом скольжения , который представляет потерю скорости на шкивах, а, следовательно, непостоянство передаточного отношения. Поэтому передаточное число ременной передачи определяется по формуле: . Напряжения в ремне При работе ременной передачи напряжения по длине ремня распределяются неравномерно. При огибании шкивов в ремне возникают напряжения изгиба . Волокна ремня на его внешней стороне растягиваются. Максимальное напряжение изгиба возникает в поперечном сечении ремня при его набегании на ведущий шкив. Чем меньше диаметр шкива и больше высота ремня, тем большие напряжения возникают, тем менее долговечен ремень. На практике рекомендуют отношение толщины ремня к диаметру шкива D1 в пределах 1/25…1/30. Критерии работоспособности ремённых передач Основными критериями работоспособности ремённых передач являются 1) тяговая способность – надёжность сцепления со шкивами, 2) долговечность ремня, которая определяется в основном его сопротивлением усталости. Тяговая способность ременной передачи обусловливается сцеплением ремня со шкивами. Исследуя тяговую способность, строят графики-кривые скольжения и к. п. д.; на их базе разработан современный метод расчета ременных передач. Тяговая способность характеризуется кривыми скольжения и КПД передачи от полезной нагрузки (окружной силы Ft), которую выражают через коэффициент тяги , показывающий, какая часть предварительного натяжения ремня полезно используется для передачи нагрузки. Кривые скольжения для всех типов ремней получают экспериментально рис.2.6.12. Рисунок 2.6.12 Кривые скольжения По оси абсцисс откладывают нагрузку, выраженную через коэффициент тяги ,а по оси ординат – коэффициент скольжения и к.п.д. .При постоянном натяжении постепенно повышают полезную нагрузку Ft, а следовательно, и коэффициент тяги и измеряют значение коэффициента ,а (точнее, 1 и 2), а также КПД передачи .При возрастании коэффициента тяги от нуля до критического значения наблюдается только упругое скольжение, которое пропорционально нагрузке, и кривая скольжения имеет прямолинейный участок. Передача работает нормально. При дальнейшем увеличении коэффициента тяги от до к упругому скольжению добавляется частичное буксование. Нормальная работа передачи нарушается. Зона частичного буксования определяет способность передачи переносить кратковременные перегрузки, например при пуске. При предельном значении наступает полное буксование, ведомый шкив останавливается. В зоне частичного буксования КПД резко снижается вследствие увеличения потерь на скольжение, при этом ремень быстро изнашивается. Поэтому рабочую нагрузку рекомендуется выбирать вблизи критического значения. В этом случае значение КПД принимают: для плоскоремённой передачи = 0,93…0,98; для клино- и поликлиноремённой = 0,92…0,97. Долговечность ремня Долговечность ремня определяется в основном его сопротивлением усталости, которое зависит не только от значений напряжений, но также и от частоты циклов напряжений, т. е. от числа изгибов ремня в единицу времени. Под влиянием циклического деформирования и сопровождающего его внутреннего трения в ремне возникают усталостные разрушения — трещины, надрывы. Ремень расслаивается, ткани перетираются. На сопротивление усталости ремня оказывает влияние и высокая температура, которая повышается от внутреннего трения в ремне и скольжения по шкивам. Для уменьшения напряжения изгиба рекомендуется выбирать возможно больший диаметр малого шкива d1, что благоприятно влияет на долговечность, а также и на тяговую способность передачи. Расчёт на долговечность выполняют как проверочный. За основу создаваемых в настоящее время методов расчёта ремней на долговечность принято уравнение наклонного участка кривой усталости (2.6.6) где - максимальное напряжение цикла; С – опытная постоянная, - число циклов нагружения за полный срок службы (до усталостного разрушения). Частота цикла напряжений равна частоте пробегов ремня: (2.6.7) где U – действительная частота пробегов ремня, с-1 - скорость ремня, м/с; Lp – длина ремня, м; [U] – допускаемая частота пробегов ремня, с-1, при которой не появляется признаков усталостного разрушения Практические занятия: Расчет ременных передач Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какая передача называется ременной? 2.Какие применяют типы ремней? 3.Какими достоинствами и недостатками обладают ременные передачи по сравнению с другими видами передач? 4.Как определяют передаточное число ременной передачи с учетом скольжения ремня на шкивах? 5.Почему предварительное натяжение ремня – необходимое условие работы передачи? 6.Каковы основные критерии работоспособности и расчета ременных передач? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.7 Цепные передачи Основные понятия и термины по теме: Приводная цепь; Ведущая звездочка; Ведомая звездочка; Грузовая, тяговая, приводная цепь; План изучения темы: Цепные передачи: принцип работы, устройство, достоинства, недостатки, область применения. Детали цепных передач: приводные цепи, звездочки, натяжные устройства. Основные геометрические соотношения в передачах. Силы действующие в цепной передаче. Краткое изложение теоретических вопросов: Цепная передача — это передача механической энергии при помощи гибкого элемента (цепи) за счёт сил зацепления. Может иметь как постоянное так и переменное передаточное число (напр. цепной вариатор). Состоит из — ведущей и ведомой звездочки и цепи. Цепь состоит из подвижных звеньев. Цепная передача относится к передачам зацепления с гибкой связью. Достоинства цепных передач: • По сравнению с зубчатыми передачами цепные передачи могут передавать движение между валами при значительных межосевых расстояниях (≤5 м). • По сравнению с ременными передачами более компактны, могут передавать большие мощности (до 3000 кВт), силы действующие на валы, значительно меньше, так как предварительное натяжение цепи мало. • Могут передавать движение одной цепью нескольким звездочкам. Недостатки цепных передач: • Значительный шум вследствие удара звена цепи при входе в зацепление, особенно при малых числах зубьев звездочек и большом шаге (этот недостаток ограничивает возможность применения цепных передач при больших скоростях). • Сравнительно быстрое изнашивание шарниров цепи вследствие затруднительного подвода смазочного мате-риала. • Удлинение цепи из-за износа шарниров, что требует натяжных устройств. Применение цепных передач Применяют при значительных межосевых расстояниях (до 8 метров), для передачи одного ведущего вала нескольким ведомым (когда зубчатые передачи неприменимы, а ременные не надежны). Наибольшее распространение получили в сельскохозяйственном, транспортном, химическом, станкостроительном, горнорудном оборудовании и подъ-емно-транспортных устройствах. Диапазон работы: Мощность (Р) до 3000 кВт Скорость (V) до 35 м/с Передаточное отношение (i) до 10 Виды цепей • Грузовые – применяются для подвески, подъема и опускания груза в различных подъемно-транспортных механизмах при скорости до 0,25...0,5 м/с • Тяговые – применяются для транспортировки груза при скорости до 2...4 м/с • Приводные – применяются для передачи энергии в широком диапазоне скоростей. Практические занятия: Расчет цепной передачи Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Каковы достоинства и недостатки цепных передач? 2.Какие различают виды приводных цепей? 3.В каких случаях применяют однорядные и многорядные цепи? 4.Что является основным критерием работоспособности цепных передач? 5.Для чего применяю натяжные устройства в цепных передачах и на какой ветви цепи они устанавливаются? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.8 Редукторы. Вариаторы. Основные понятия и термины по теме: Редукторы; Вариаторы; План изучения темы: Устройство, принцип действия и работа редукторов и вариаторов. Область применения, способы фиксации валов в редукторах. Краткое изложение теоретических вопросов: Редуктором называют механизм, выполненный в виде самостоятельного агрегата с целью понижения частоты вращения ведущего вала и увеличения вращающего момента на ведомом валу. Редуктор состоит из зубчатых или червячных передач, установленных в отдельном герметичном корпусе, что принципиально отличает его от зубчатой или червячной передачи, встраиваемой в исполнительный механизм или машину. Редукторы широко применяют в приводах различных рабочих машин в разных отраслях машиностроения, поэтому число разновидностей их велико . Соединение редуктора с двигателем и рабочей машиной осуществляют с помощью муфт или ременных и цепных передач. Широко применяют мотор-редукторы, представляющие собой объединенные в одно целое фланцевый высокоскоростной электродвигатель и редуктор, служащий для повышения вращающего момента. Мотор-редукторы экономичнее и имеют более высокие КПД и пусковой момент, чем обычные тихоходные высокомоментные электродвигатели. Классификация редукторов. Редукторы классифицируют по типам, типоразмерам и исполнениям. Тип редуктора определяют по виду применяемых зубчатых передач и порядку их размещения в направлении от быстроходного вала к тихоходному, по числу ступеней передач и по расположению геометрической оси тихоходного вала в пространстве. Для обозначения применяемых зубчатых передач используют прописные буквы: Ц — цилиндрические, К — конические, КЦ — коническо-цилиндрические, Ч — червячные, ЧЦ — червячно-цилиндрические, ЦЧ — цилиндрическо-червячные, Г — глобоидные, П — планетарные, В — волновые. По числу ступеней передач различают редукторы: одноступенчатые, двухступенчатые, трехступенчатые. Если число одинаковых передач две и более, то в обозначении редуктора после буквы ставят соответствующую цифру. Широкий редуктор обозначают буквой Ш, узкий — У, соосный — С. В мотор-редукторах к обозначению впереди добавляют букву М (МП — мотор-редуктор с планетарной зубчатой передачей). По расположению геометрической оси тихоходного вала в пространстве различают редукторы горизонтальные, вертикальные и универсальные. Если все валы редуктора расположены в одной вертикальной плоскости, то к обозначению типа добавляют индекс В. Если ось тихоходного вала вертикальна, то добавляют индекс Т, если ось быстроходного вала вертикальна — индекс Б. Типоразмер редуктора определяют тип и главный размер (параметр) тихоходной ступени. Для цилиндрической, червячной и глобоидной передач главным параметром является межосевое расстояние аw, конической — внешний делительный диаметр колеса de2 , планетарной — радиус водила Rw, волновой — внутренний диаметр гибкого колеса d в недеформированном состоянии. Все перечисленные размеры в мм. Другими параметрами зубчатых редукторов являются коэффициент ширины зубчатых колес, модули (торцовые или нормальные) зубчатых колес, углы наклона зубьев, а для червячных редукторов — дополнительно коэффициент диаметра червяка. Вариатор непрерывно и плавно изменяет передаточное число по мере разгона или замедления автомобиля. Вариаторы бывают нескольких типов: клиноремённые со шкивами переменного диаметра, цепные, тороидальные… Первый тип — самый распространённый. Посмотрим, как он устроен. Вот наглядный пример: возьмём два карандаша (цилиндра), лежащих параллельно на некотором расстоянии друг от друга. Стягиваем их резинкой и начинаем крутить один из них. Тут же начинает крутиться и второй — с той же скоростью. Но если карандаши будут разного диаметра, начинается совсем другая история — пока один из них, что побольше, сделает один оборот, второй, скажем, два. Вариатор устроен похоже, только диаметр «карандашей» у него постоянно меняется. У него два шкива, каждый из которых сделан в виде пары конусов, обращённых острыми концами друг к другу. А между шкивами зажат клиновый ремень. Изменяя радиус огибания ремнём ведущего и ведомого шкива, можно плавно менять передаточное отношение. Остаётся ещё добавить узел, отвечающий за изменение направления вращения выходного вала (для заднего хода), а это может быть, скажем, обычная планетарная передача. И вот готова коробка-вариатор. Кстати, интересный вопрос — какой тут используется ремень? Разумеется, простой ремень из резины и ткани, наподобие тех, что вращают генераторы и прочее навесное оборудование, здесь не прожил бы и тысячи километров. Ремни в клиноремённых вариаторах имеют сложное устройство. Это может быть стальная лента с неким покрытием или набор стальных тросов (лент) сложного сечения, на которые нанизано огромное число тонких поперечных стальных пластинок трапецевидной формы, края которых и контактируют со шкивами.. Как именно вариатор будет менять передаточное число при разгоне, зависит от выбранной программы управления. Если при разгоне на обычном автомобиле мы на каждой передаче раскручиваем двигатель, затем переходим на следующую передачу и так далее, то при наборе скорости автомобиля с вариатором мотор остаётся на одних и тех же оборотах (скажем, на оборотах, соответствующих максимальному крутящему моменту), зато плавно меняется передаточное отношение. Практические занятия: «Не предусмотрено» Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Что называют редуктором? 2.Классификация редукторов 3.Параметры зубчатых редукторов 4.Что называют вариатором? 5.Типы вариаторов [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.9 Оси, валы и соединения Основные понятия и термины по теме: Гладкие,ступенчатые, корданные валы; Ось; Шпонка; План изучения темы: Валы, оси их назначение, конструкция, материалы. Расчет валов и осей на прочность и жесткость. Конструктивные и технологические способы повышения выносливости валов. Типы шпоночных соединений и их сравнительная характеристика. Расчет соединений призматическими и сегментными шпонками. Краткое изложение теоретических вопросов: Валы и оси являются поддерживающими и вращающими частями элементов машин. Оси только поддерживают детали, а валы передают крутящий момент. Части валов и осей, передающие нагрузки на опоры, называются шейками, а если они находятся на концах валов — шипами или цапфами. Опорные части вертикальных валов и осей, передающие продольную нагрузку, называются пятами. Валы бывают гладкие, ступенчатые, коленчатые, карданные, гибкие и др. (рис. 2.11). Гладкие и ступенчатые валы применяют в редукторах, открытых и закрытых передачах. Коленчатые валы применяют в кривошипно-шатунных механизмах. Гибкие и карданные валы используют для передачи движения при частых изменениях взаимного положения соединяемых узлов при относительно большом расстоянии между ними. Рис. 2.11. Виды валов: а — гладкий; б — ступенчатый; в — коленчатый; г — гибкий Основным критерием работоспособности валов и осей являются сопротивление усталости материала и жёсткость. Расчёт валов выполняется в два этапа: предварительный (проектный) и окончательный (проверочный). Проектировочный расчёт вала выполняют как условный расчёт только на кручение для ориентировочного определения посадочных диаметров. Исходя из условия прочности на кручение получим формулу проектировочного расчёта где Мk – крутящий момент в расчётном сечении, Н*м; Н/мм2 – допускаемое напряжение при кручении Проверочный расчет для валов - расчёт на сопротивление усталости - является основным расчётом на прочность. Основными нагрузками на валы являются силы от передач через насаженные на них детали: зубчатые или червячные колёса, звёздочки, шкивы. Проверочный расчет вала производится с применением гипотез прочности.Условие прочности в этом случае имеет вид: где Мэкв — так называемый эквивалентный момент. При гипотезе наибольших касательных напряжений (иначе — третья гипотеза) При гипотезе потенциальной энергии формоизменения (иначе — пятая гипотеза) где в обеих формулах Мк и М„ — соответственно крутящий и суммарный изгибающий моменты в рассматриваемом сечении вала. Числовое значение суммарного изгибающего момента равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т. е. При проектировочном расчёте оси ее рассматривают как балку, свободно лежащую на опорах и нагруженную сосредоточенными словами, вызывающими изгиб. Устанавливают опасное сечение, для которого требуемый диаметр оси определяют из условия прочности на изгиб откуда где Ми – максимальный изгибающий момент, Н*м; - допускаемое напряжение изгиба, Н/мм2. Выбор допускаемых напряжений . Оси изготовляемые из среднеуглеродистых сталей Во вращающихся осях Проверочный расчёт осей - частный случай расчёта валов при крутящем моменте Мк = 0. Алгоритм проверочного расчета вала 1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях. 2. По заданной мощности Р и угловой скорости ? определить вращающие моменты, действующие на вал. 3. Вычислить нагрузки F1, Fr1, F2, Fr2, приложенные к валу. 4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях 5. Построить эпюру крутящих моментов. 6. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mx и Мy). 7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента (3.1.4), (3.1.5),: 8. Положив экв = [ ], определить требуемый осевой момент сопротивления: Wx = Мэкв/[ ] Учитывая, что для сплошного круглого сечения определяем d по следующей формуле: Практические занятия: Проверочный и проектировочный расчеты вала Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какая разница между валом и осью? 2.Какие различают виды осей и валов? 3.Что называется шипом, шейкой и пятой? 4.Как рассчитывают валы и оси на прочность? На жесткость? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.10 Подшипники и муфты Основные понятия и термины по теме: Подшипники скольжения; Подшипники качения; Муфта План изучения темы: Подшипники скольжения: назначение, типы, область применения. Подшипники качения: устройство, сравнительная характеристика подшипников качения и скольжения. Классификация подшипников качения и обзор основных типов. Муфты, их назначение и классификация, краткие сведения о выборе и расчете муфты. Краткое изложение теоретических вопросов: Детали, поддерживающие шипы и шейки осей и валов, называются подшипниками. Различают подшипники скольжения и качения. К подшипникам скольжения относятся такие, у которых опорный участок вала (шип, шейка, пята) скользит по поверхности подшипника. В подшипниках качения основными элементами являются тела качения (шарики, ролики и др.), благодаря которым трение скольжения заменено трением качения. В подшипниках качения потери на трение меньше, чем в подшипниках скольжения. Подшипники скольжения. В подшипниках скольжения возможны следующие виды трения: полусухое, характеризуемое недостаточным между трущимися поверхностями слоем смазки и в результате этого наибольшим износом и низким к. п. д. (0,1—0,25); полужидкостное, характеризуемое наличием тонкого слоя смазки, при котором происходит касание вершин неровностей трущихся пар, к. п. д. (0,05—0,1); жидкостное, характеризуемое наличием между трущимися поверхностями слоя смазки, исключающего контакт металла с металлом. С увеличением скорости движения в подшипнике скольжения наблюдается переход из полусухого трения (в начале разгона) в полужидкостное трение (на средних оборотах) и в жидкостное трение (при номинальной скорости). Увеличение нагрузки или уменьшение скорости скольжения приводит к контактированию неровностей и образованию полужидкостного или полусухого трения. Естественно, что для увеличения срока службы подшипника необходимо, чтобы работа происходила в режиме жидкостного трения. Для возникновения жидкостного трения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: целесообразная форма русла, в котором движется смазочная жидкость; достаточная скорость движения поверхностей, чтобы в масляном слое создалось давление, способное уравновесить внешнюю нагрузку. Эта теория впервые была сформулирована проф. Н. П. Петровым в 1883 г., которая носит название гидродинамической теории смазки. Сущность этой теории заключается в следующем. В состоянии покоя монтажные зазоры между трущимися поверхностями заполнены смазкой. При вращении вал увлекает за собой смазочную жидкость. Вследствие накопления жидкости в клинообразном раструбе возникают гидродинамические усилия, которые поднимают вал и уравновешивают нагрузку, действующую на него. Смазка не только уменьшает трение, но и амортизирует динамические удары. По конструктивному исполнению подшипники скольжения подразделяются на неразъемные или глухие, разъемные жесткие и разъемные самоустанавливающиеся. Неразъемные подшипники применяют для валов и осей, вращающихся с малым числом оборотов или для быстровращающихся валов при небольших нагрузках (лебедки с ручным приводом, валы смесительных винтов растворосмесителей и др.). Неразъемные подшипники бывают в двух конструктивных исполнениях — с креплением к горизонтальной и вертикальной плоскостям. Нагрузка со стороны вала передается на втулку и далее на корпус подшипника, который болтами, устанавливаемыми в отверстия, крепится к станине или раме. Втулку изготовляют из чугуна или бронзы и запрессовывают в отверстие. Для уменьшения трения внутреннюю поверхность втулки заливают тонким слоем (1,5-3 мм) антифрикционного сплава (баббита и др.), на поверхность которого через отверстие подается смазка. Корпус подшипника отливают из чугуна. К недостаткам неразъемных подшипников следует отнести трудность сборки, особенно при длинных валах, и невозможность компенсации износа рабочих поверхностей. Разъемные подшипники свободны от этих недостатков. Они позволяют легко укладывать вал и ремонтировать подшипник (при износе) повторными расточками вкладышей в местах прилегания друг к другу. Для этого между корпусом и крышкой имеется зазор. В случае наличия поперечной силы вал испытывает большую деформацию изгиба, при этом концы его поворачиваются на некоторый угол. Этот перекос вызывает быстрый износ вкладыша у его торцов. Для устранения вредного влияния перекоса осей и валов их помещают на шарнирных или самоустанавливающихся вкладышах, которые имеют шаровые опоры и могут занимать положение в своих гнездах соответственно прогибу осей и валов. Поверхность вкладыша отполирована и легко поворачивается на сферической опоре в случае прогиба вала. Смазку к трущимся поверхностям подают с помощью колпачковых или шариковых масленок, размещающихся сверху. Для лучшего распределения смазки по поверхности пала в баббитовом слое проточена канавка. Подшипники качения (рис. 16.1) представляют собой готовый узел, основными элементами которого являются тела качения — шарики 3 или ролики, установленные между кольцами 1 и 2 и удерживаемые на определенном расстоянии друг от друга сепаратором 4. При работе под-шипника тела качения катятся по желобам колец — дорожкам качения. Одно из колец подшипника (как правило наружное) в большинстве случаев неподвижно. Распределение радиальной нагрузки между телами качения, находящимися в нагруженной зоне (ограниченной дугой не более 180°), неравномерно (рис. 16.2) вследствие неодинаковых контактных деформаций колец и различных тел качения. На размер зоны нагружения и неравномерность распределения нагрузки оказывают влияние величина радиального зазора в подшипнике и жесткость корпуса. В отдельных случаях для уменьшения радиальных размеров подшипника кольца отсутствуют и тела качения катятся по дорожкам качения, образованным непосредственно на цапфе и в корпусе (в блоке зубчатых колес). Твердость, точность и шероховатость поверхности дорожек качения должны быть такими же, как у подшипниковых колец. Подшипники качения стандартизованы и широко распространены во всех отраслях машиностроения. Их изготавливают в больших количествах на крупных специализированных заводах. Достоинства подшипников качения. 1. Сравнительно малая стоимость вследствие массового производства. 2. Малые потери на трение и незначительный нагрев при работе (потери на трение при пуске и при установившемся режиме работы практически одинаковы). 3. Высокая степень взаимозаменяемости, что облегчает монтаж и ремонт машин. 4.Малый расход дефицитных цветных металлов при изготовлении и смазочного материала при эксплуатации. 5. Малые осевые размеры, простота монтажа и эксплуатации. Недостатки. 1. Большие радиальные размеры. 2. Высокая чувствительность к ударным и вибрационным нагрузкам. 3. Большое сопротивление вращению, шум и низкая долговечность при высоких частотах вращения. Классификация и условные обозначения подшипников качения. Подшипники качения классифицируют по следующим основным признакам. По форме тел качения (рис.16.3) — шариковые (а) и роликовые, причем последние могут быть с цилиндрическими (б), коническими (в), бочкообразными (г), игольчатыми (д) и витыми (е) роликами; по направлению действия воспринимаемой нагрузки — радиальные, радиально-упорные, упорные и упорно-радиальные; по числу рядов тел качения — однорядные, двухрядные и многорядные; по основным конструктивным признакам — самоустанавливающиеся (например, сферические самоустанавливаются при неточном угловом расположении осей вала и отверстия в корпусе) и несамоустанавливающиеся; с цилиндрическим или конусным отверстием внутреннего кольца и др. Деление подшипников в зависимости от направления действия воспринимаемой нагрузки носит в ряде случаев условный характер. Например, широко распространенный шариковый радиальный однорядный подшипник успешно применяют для восприятия не только комбинированных (совместно действующих радиальной и осевой), но и чисто осевых нагрузок, а упорно-радиальные подшипники обычно используют только для восприятия осевых нагрузок. Основные типы подшипников качения и материалы деталей подшипников. Шариковый радиальный однорядный подшипник самый распространенный в машиностроении. Предназначен для восприятия в основном радиальной нагрузки. Желобчатые дорожки качения позволяют воспринимать осевые нагрузки, действующие в обоих направлениях вдоль оси вала. Обеспечивает осевое фиксирование вала в двух направлениях. Он дешев, допускает достаточно большой перекос внутреннего кольца относительно наружного (до 0°10'). При одинаковых габаритных размерах работает с меньшими потерями на трение и при большей частоте вращения вала, чем подшипники всех других конструкций. Шариковый радиальный сферический двухрядный подшипник предназначен в основном для радиальной нагрузки. Одновременно с радиальной может воспринимать небольшую осевую нагрузку обоих направлений. Дорожка качения на наружном кольце обработана по сфере. Поэтому подшипник способен работать при значительном (до 2...3°) перекосе внутреннего кольца относительно наружного. Способность самоустанавливаться и определяет область его применения. Роликовый радиальный сферический двухрядный подшипник имеет ту же характеристику, что и шариковый сферический, но обладает наибольшей грузоподъемностью из всех других подшипников таких же габаритных размеров. Роликовый радиальный подшипник с короткими цилиндрическими роликами воспринимает большие радиальные нагрузки, обладает значительно большей радиальной грузоподъемностью, чем шариковый радиальный однорядный равных габаритных размеров. Допускает осевое взаимное смещение колец. Чувствителен к относительному перекосу внутреннего и наружного колец (при перекосе возникает концентрация напряжений у краев ролика). Подшипник устанавливают на жестких коротких валах при повышенных требованиях к соосности посадочных мест. Применяют в качестве «плавающих опор» (для валов шевронных шестерен и др). При необходимости осевой фиксации вала, нагруженного незначительной осевой силой одного направления, применяют подшипники с бортом на наружном кольце, а для осевой фиксации в двух направлениях — подшипники с одним бортом на внутреннем кольце и плоским упорным кольцом. Роликовый радиальный игольчатый однорядный подшипник воспринимает только радиальную нагрузку. При сравнительно небольших диаметральных размерах обладает высокой радиальной грузоподъемностью. Из-за отсутствия сепаратора характеризуется высокими потерями на трение между иглами и низкой предельной частотой вращения. Перекос внутреннего кольца относительно наружного недопустим. Обычно используют для работы в режиме качателъного движения. Шариковый радиально-упорный однорядный подшипник предназначен для восприятия комбинированных (радиальных и осевых) нагрузок. Способность воспринимать осевую нагрузку зависит от угла контакта α: с увеличением угла контакта возрастает воспринимаемая подшипником односторонняя осевая нагрузка. Подшипники, смонтированные попарно, воспринимают осевые силы, действующие в обоих направлениях. При монтаже требует регулировки осевого зазора. Роликовый конический подшипник воспринимает одновременно радиальную и одностороннюю осевую нагрузки. Обладает большой грузоподъемностью. По применению в машиностроении стоит на втором месте после шариковых радиальных однорядных. Чувствителен к относительному перекосу внутреннего и наружного колец. Подшипники устанавливают попарно на жестких коротких валах при повышенных требованиях к соосности посадочных мест. Применяют при средних и низких частотах вращения. При монтаже требует регулировки осевого зазора. Шариковый упорный подшипник воспринимает одностороннюю осевую нагрузку. Для восприятия осевых сил попеременно в обоих направлениях устанавливают двойной упорный подшипник. Во избежание заклинивания шариков от действия центробежных сил этот подшипник применяют при средней и низкой частоте вращения. Материалы деталей подшипников. Тела качения и кольца изготовляют из специальных шарикоподшипниковых высокоуглеродистых хромистых сталей ШХ15, Ш20СГ, а также из цементуемых легированных сталей 18ХГТ, 20Х2Н4А. Кольца имеют твердость Н = 61...66HRC3, тела качения Н = 63...67 HRC. Витые ролики изготовляют навиванием из стальной полосы. Сепараторы чаще всего штампуют из мягкой углеродистой стали. Для высокоскоростных подшипников сепараторы изготовляют массивными из текстолита, фторопласта, латуни, бронзы. Материалы перечислены в порядке увеличения быстроходности подшипников. Большинство машин и технологических систем состоит из отдельных узлов. Для обеспечения кинематической и силовой связи валы узлов соединяют муфтами (рис. 17.1). Муфтой называют устройство для соединения концов валов или валов со свободно сидящими на них деталями (зубчатыми колесами, шкивами и т. д.). Основное назначение муфт — передача вращающего момента без изменения его значения и направления. Некоторые типы муфт дополнительно могут поглощать вибрации и толчки, предохранять машину от перегрузок, включать и выключать рабочий механизм машины без остановки двигателя. Многообразие требований, предъявляемых к муфтам, и различные условия их работы обусловили создание большого количества конструкций муфт. По управляемости муфты разделяют на: нерасцепляемые (постоянные), осуществляющие постоянное соединение валов между собой (глухие, жесткие компенсирующие, упругие компенсирующие); сцепные управляемые, допускающие во время работы сцепление и расцепление валов с помощью механизма управления (кулачковые, фрикционные); сцепные самоуправляемые, автоматически разъединяющие валы при изменении заданного режима работы машины (обгонные, центробежные, предохранительные). По степени снижения динамических нагрузок муфты бывают: жесткие, не сглаживающие при передаче вращающего момента вибрации, толчки и удары; упругие, сглаживающие вибрации, толчки и удары благодаря наличию упругих элементов — пружин, резиновых втулок и др. Основной характеристикой муфт является передаваемый вращающий момент Т. Муфты подбирают по ГОСТам, ведомственным нормам, каталогам или проектируют по расчетному моменту Tp = KT , (17.1) где К — коэффициент режима работы муфты; Т — номинальный вращающий момент (наибольший из длительно действующих). В приводах от электродвигателя принимают: при спокойной работе и небольших разгоняемых массах (приводы конвейеров, испытательных установок и др.) Рис. 17.1. Втулочная муфта К = 1,15...1,4; Глухие муфты. Глухие муфты предназначены для жесткого постоянного соединения соосных валов. Из различных видов глухих муфт наибольшее распространение получили втулочные и фланцевые муфты. Втулочная муфта представляет собой втулку, насаживаемую на цилиндрические концы валов (см. рис. 17.1). Применяют для передачи вращающих моментов от 1 до 12500 Н.м для валов диаметром от 6 до 100 мм. Имеет простую конструкцию, особо малые габариты по диаметру и низкую стоимость. Недостатком муфты является неудобный монтаж, связанный со значительным осевым смещением соединяемых узлов. Материал втулки — сталь 45. Втулочную муфту выбирают по стандарту. Фланцевая муфта состоит из двух полумуфт с фланцами, стягиваемыми болтами (рис. 17.2), половина из которых для обеспечения соосности полумуфт установлена без зазора в отверстия из-под развертки, а остальные — с зазором. Фланцевыми муфтами соединяют отдельные части валопровода в один вал, работающий как целый. Чтобы составной вал оставался прямолинейным, необходима строгая соосность его частей и перпендикулярность торцовых поверхностей полумуфт осям отверстий, в противном случае неизбежны изгиб вала, его биение и появление дополнительных нагрузок на опоры. Полумуфты имеют два исполнения: для соединения цилиндрических и конических концов валов. Фланцевые муфты просты по конструкции, упрощают монтаж узлов, могут передавать вращающие моменты от 16 до 20000 Н.м при диаметрах валов d = 11...250 мм. Материал полумуфт — сталь 40 или 35Л. Фланцевую муфту выбирают по стандарту. Практические занятия: «Не предусмотрено» Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Что называется подшипником? 2.Какие различают типы подшипников скольжения? 3.Какими достоинствами и недостатками обладают подшипники скольжения? 4.Из каких деталей состоят подшипники качения? 5.Для чего применяется сепаратор? 6.Какие различают типы подшипников качения? 7.Каковы достоинства и недостатки подшипников качения по сравнению с подшипниками скольжения? 8.Основные типы подшипников качения 9.Как различают группы муфт по принципу действия и характеру работы? 10.По каким параметрам производят подбор муфт? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.11 Резьбовые соединения Основные понятия и термины по теме: Резьба; Метрическая резьба; Дюймовая резьба; Трубная резьба; Шпилька; Гайка; Болт; Шайба План изучения темы: Общие сведения, классификация резьбы. Геометрические параметры резьбы. Основные типы резьбы. Способы изготовления резьбы. Конструктивные формы резьбовых соединений, стандартные крепежные изделия. Способы стопорения резьбовых соединений . Краткое изложение теоретических вопросов: Резьбовые соединения являются наиболее распространенными разъемными соединениями. Их образуют болты, винты, гайки и другие детали, снабженные резьбой. Классификация резьб. В зависимости от формы поверхности, на которой образуется резьба, различают цилиндрические и конические резьбы (рис. 3.1). В зависимости от формы профиля различают следующие основные типы резьб: треугольные (рис.3.2, а), упорные (рис. 3.2, б), трапецеидальные (рис. 3.2, в), прямоугольные (рис. 3.2, г) и круглые (рис. 3.2, д). В зависимости от направления винтовой линии резьбы бывают правые и левые. У правой резьбы винтовая линия поднимается слева направо, у левой — справа налево. Левая резьба имеет ограниченное применение. В зависимости от числа заходов резьбы делят на однозаходные и многозаходные. Многозаходные резьбы получают при перемещении профилей по нескольким винтовым линиям. Заходность резьбы можно определить с торца винта по числу сбегающих витков. В зависимости от назначения резьбы делят на крепежные, крепежно-уплотняющие и для преобразования движения. Крепежные резьбы применяют в соединениях для скрепления деталей. Они имеют треугольный профиль, отличающийся повышенным моментом сопротивления отвинчиванию и высокой прочностью. Крепежно-уплотняющие резьбы применяют для скрепления деталей в соединениях, требующих герметичности. Их также выполняют треугольного профиля, но без зазоров в сопряжении болта и гайки. Как правило, все крепежные резьбовые детали имеют однозаходную резьбу. Резьбы для преобразования движения (вращательного в поступательное или наоборот) применяют в винтовых механизмах (в ходовых и грузовых винтах). Они имеют трапецеидальный (реже прямоугольный) профиль, который характеризуется малым моментом сопротивления вращению. Достоинства резьбовых соединений. 1. Простота конструкции. 2. Удобство сборки, разборки, возможность применения для регулировки взаимного положения деталей. 3. Высокая нагрузочная способность. 4. Малая стоимость. Недостатком резьбовых соединений является высокая концентрация напряжений вследствие наличия резьбы на поверхности деталей, что снижает их прочность при пере- менных напряжениях. Геометрические параметры резьбы Основными геометрическими параметрами цилиндрической резьбы являются (рис. 3.3): d — номинальный диаметр резьбы (наружный диаметр для винта); d3 — внутренний диаметр резьбы винта (по дну впадины); d2 — средний диаметр резьбы, т. е. диаметр воображаемого цилиндра, на котором толщина витка равна ширине впадины; р — шаг резьбы, т. е. расстояние между одноименными сторонами соседних профилей, измеренное в направлении оси резьбы; рh — ход резьбы, т. е. расстояние между одноименными сторонами одного и того же витка в осевом направлении: для однозаходной резьбы рh = р; для многозаходной рh = zр, где z — число заходов. Ход равен пути перемещения винта вдоль своей оси при повороте на один оборот в неподвижной гайке; α — угол профиля резьбы γ — угол наклона боковой стороны профиля к перпендикуляру к оси резьбы; ψ — угол подъема резьбы, т. е. угол, образованный разверткой винтовой линии по среднему диаметру резьбы и плоскостью, перпендикулярной оси винта: tgψ = ph (πd2 ) . (3.1) Из формулы (3.1) следует, что угол ψ возрастает с увеличением заходности резьбы. Основные типы резьб. Метрическая резьба наиболее распространенная из крепежных резьб. Имеет профиль в виде равностороннего треугольника: α = 60°, γ = 30°. Вершины витков и впадин притупляются по прямой или дуге, что предохраняет резьбу от повреждений, уменьшает концентрацию напряжений, удовлетворяет нормам техники безопасности. Радиальный и осевой зазоры в резьбе делают ее негерметичной. В соединениях, требующих герметичности, резьбу выполняют без зазора. Метрическую резьбу изготовляют по стандарту с крупным и мелким шагом. Наклон боковой стороны профиля обеспечивает возможность создания больших осевых сил, а также самоторможение. В качестве основной крепежной применяют резьбу с крупным шагом, так как она прочнее, менее чувствительна к изнашиванию и неточностям изготовления. Дюймовая резьба имеет профиль в виде равнобедренного треугольника с углом при вершине α = 55°. Вместо шага задают число витков на дюйм (1 дюйм = 25,4 мм). Трубная резьба. Профиль — равнобедренный треугольник. Резьба имеет закругленные выступы и впадины. Отсутствие радиальных и осевых зазоров делает резьбовое соединение герметичным. Резьба является крепежно-уплотняющей. Применяют для соединения труб. Изготовляют по стандарту. Еще более высокую плотность соединения дает трубная коническая резьба. Стандартные крепежные детали. С учетом условий применения стандартами предусмотрены различные геометрические формы и размеры болтов, винтов, шпилек, гаек и шайб. Болты и крепежные винты. Различают эти крепежные детали в зависимости от формы головки, формы стержня, точности изготовления и назначения. В зависимости от формы головки болты и винты бывают с шестигранными, полукруглыми, цилиндрическими, по- тайными и другими головками. Форму головки выбирают в зависимости от требуемой силы затяжки, пространства для поворота инструмента, внешнего вида и т.д. Болты и винты с шестигранными головками применяют чаще других, так как они позволяют приложить большой момент завинчивания и, следовательно, получить большие силы затяжки деталей соединения, требуя при этом небольшого угла поворота ключа. В зависимости от формы стержня болты и винты бывают: с нормальным стержнем, с подголовком, с утолщенным точно изготовленным стержнем для постановки без зазора в обработанное разверткой отверстие, со стержнем уменьшенного диаметра для повышения податливости и сопротивления усталости при переменных нагрузках. В зависимости от точности изготовления болты и винты бывают нормальной и повышенной точности. В зависимости от назначения болты и винты бывают общего назначения, установочные и специальные. Установочные винты применяют для фиксации положения деталей. Их выполняют с различными по форме головками и концами. К специальным болтам относят болты конусные для отверстия из под развертки, грузовые — рым-болты и другие. Шпильки изготовляют без канавки и с канавкой . Шпильку завинчивают в корпусную деталь коротким резьбовым концом, длина которого может быть различной. Гайки. Различают гайки в зависимости от формы, высоты, точности изготовления. В зависимости от формы гайки бывают: шестигранные, круглые, гайки-барашки и др. В зависимости от высоты шестигранные гайки бывают: нормальные, высокие и низкие. Высокие гайки применяют при частых разборках и сборках с целью уменьшения износа резьбы и сблизить граней гайки ключом. В зависимости от точности изготовления шестигранные гайки бывают нормальной и повышенной точности. Шайбы. Шайбы служат для предохранения деталей от задиров и увеличения опорной поверхности. Их подкладывают под гайки. Имеется большая группа стандартных стопорных шайб, которые применяют для предохранения резьбовых деталей от самоотвинчивания. Практические занятия: Расчет резьбовых соединений Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какие соединения называются резьбовыми? 2.Как классифицируются резьбы по геометрической форме и по назначению? 3.Какие резьбы называются метрическими и какие дюймовыми? 4.Каковы достоинства болтового соединения? 5.В каких случаях применяют шпильки? 6.Почему для винтов, шпилек и болтов применяют треугольную резьбу? 7.Как осуществляется стопорение резьбовых соединений? [/tab_pane][tab_pane]Тема 3.12 Сварочные, паяные, клеевые и заклепочные соединения Основные понятия и термины по теме: Сварные соединения; Заклепочные соединения; Пайка; Клеевые соединения План изучения темы: Сварные соединения: достоинства, недостатки, область применения. Основные типы сварных швов. Расчет сварных соединений встык и внахлестку при осевом нагружении соединяемых деталей. Краткие сведения о клеевых соединениях. Краткие сведения о паянных соединениях. Краткое изложение теоретических вопросов: Заклепка представляет собой стержень круглого се¬чения с головками на концах, одну из которых, называемую за-кладнойS, выполняют на заготовке заранее, а вторую, называемую замыкающей , формируют при клепке. Заклепочные соединения образуют постановкой заклепок в совмещенные отверстия соеди¬няемых элементов и расклепкой с осаживанием стержня. При этом за счет поперечной упругопластической деформации стержня про-исходит заполнение начального зазора между стержнем и стенка¬ми отверстия, в некоторых случаях с образованием натяга. Преимуществами закле¬почных соединений являются стабильность и контролируе¬мость качества. Недостатки — повышенный расход металла и высокая стоимость, неудобные В последние годы такие соединения в значительной мере вытеснены свар¬ными соединениями, поэтому ограничимся рассмотрением силовых соединений. конструктивные формы в связи с необходимостью наложения одного листа на другой или применения специальных накладок. В настоящее время во многих конструкциях заклепочные соеди¬нения вытеснены сварными, и этот процесс продолжается. Область практического применения заклепочных соединений ограничивается следующими случаями: 1) соединения, в которых нагрев при сварке недопустим из- за опасности отпуска термообработанных деталей или коробле¬ния окончательно обработанных точных деталей; 2) соединения несвариваемых материалов; 3) соединения в авиа- и судостроении (в современном пасса¬жирском самолете используются несколько миллионов заклепок). Клепку стальными заклепками диаметром до 8...10 мм, а также заклепками из латуни, меди и легких сплавов всех диамет¬ров производят холодным способом, а остальных заклепок — горячим способом. Область практического применения заклепочных соединений ограничивается следующими случаями: 1) соединения, в которых нагрев при сварке недопустим из- за опасности отпуска термообработанных деталей или коробле¬ния окончательно обработанных точных деталей; 2) соединения несвариваемых материалов; 3) соединения в авиа- и судостроении (в современном пасса¬жирском самолете используются несколько миллионов заклепок). Клепку стальными заклепками диаметром до 8...10 мм, а также заклепками из латуни, меди и легких сплавов всех диамет¬ров производят холодным способом, а остальных заклепок — горячим способом. Типы и размеры стандартных заклепок. Заклепки с полукруглой головкой по ГOCT 10299—80 применяют для прочных и плотно-прочных соединений. Там, где выступающие головки нежелательны, применяют заклепки с потайной головкой по ГОСТ 10300-80. Установка таких заклепок дороже, так как требует дополнительной операции - раззенковки отверстий. Заклепки с полупотайной головкой (ГОСТ 10301—80) применяют для соединения гонких стальных листов (толщиной до 4 мм), когда выступающая головка полукруглой заклепки нежелательна, а небольшая толщина соединяемых листов не позволяет применять заклепки с потайной головкой. Заклепки с плоской головкой (ТОСТ 10303—80) применяют для закрепления фрикционных накладок в тормозах и механизмах сцепления, хотя в последнее время заклепочные соединения в таких узлах в значительной мере уступили место клеевым соединениям. При небольших диаметрах заклепок (до 10 мм) они удобны для холодной клепки. Замыкающие головки в этом случае можно формировать без обжимок. На листе приведены рекомендации по выбору длин заклепок в зависимости от суммарной толщины соединяемых листов, ряд стандартных длин заклепок, а также пример условного обозначения заклепки по ГОСТу. В скобках указаны размеры, использование которых не рекомендуется. Виды заклепочных швов. Место, соединенное заклепками, называется заклепочным швом. В зависимости от назначения неразъемного соединения существуют следующие виды заклепочных швов: Прочный шов применяется в тех случаях, когда надо создать неразъемное соединение, способное оказывать достаточное сопротивление действующим на него усилиям. Прочность шва достигается применением соединения с одним или несколькими рядами заклепок. Эти швы применяются для соединения частей ферм, мостов, колонн и т. п. Плотный шов обеспечивает герметичность, т. е. не пропускает жидкости и газы. В отношении же прочности к нему особых требований не предъявляется. Герметичность обеспечивается установкой прокладок между склепываемыми листами или подчеканкой шва. Эти швы применяются при изготовлении резервуаров. Прочно-плотные швы применяются в тех случаях, когда нужно создать прочные и герметические соединения, например в паровых котлах и различных резервуарах с высоким внутренним давлением. По виду соединений швы подразделяются на швы внахлестку, когда край одного листа накладывается на край другого, и швы в стык, когда соединяемые детали своими торцами плотно примыкают друг к другу, а на них накладывается одна или две накладки. При расчете заклепочного шва предварительно определяют размеры площади сечения соединяемых заклепками деталей. В зависимости от толщины этих деталей принимают диаметр заклепок. По диаметру заклепок вычисляют шаг и другие размеры заклепочного шва. Затем производят проверочный расчет заклепок на прочность. Толщину соединяемых деталей определяют расчетом на прочность по соответствующим формулам сопротивления материалов. Детали, соединяемые заклепками, в большинстве случаев находятся под действием сил, стремящихся сдвинуть одну деталь относительно другой. Следовательно, если бы соединяемые детали не были сжаты между закладными и затяжными головками заклепок, то заклепки работали бы в поперечном сечении на срез и по поверхности - на смятие. В действительности в заклепочных швах происходит следующее. После клепки шва соединенные детали оказываются сжатыми заклепками. При этом заклепки работают на растяжение, а между соединенными деталями возникают силы трения. Для отсутствия сдвига деталей и, следовательно, обеспечения необходимой герметичности при работе прочноплотного заклепочного шва силы, действующие на соединенные детали, должны целиком восприниматься силами трения. Так как при проектировочном расчете прочноплотного шва силу, растягивающую заклепку и одновременно сжимающую соединенные детали, а соответственно и силу трения, возникающую между этими деталями, определить невозможно, то заклепки прочноплотных швов условно рассчитывают на срез. При этом расчете герметичность шва обеспечивается выбором соответствующего допускаемого условного напряжения на срез для заклепок. Сварные соединения Сварными называют неразъемные соединения, выполненные при помощи сварки. Они могут быть стыковыми, угловыми, нахлесточными, тавровыми и торцевыми. Стыковым называют соединение двух деталей их торцами, расположенными в одной плоскости или на одной поверхности. Толщина свариваемых поверхностей может быть одинаковой или отличаться одна от другой. На практике стыковое соединение чаще всего применяют при сварке трубопроводов и различных резервуаров. Угловое — сварное соединение двух элементов, расположенных под углом относительно друг друга и сваренных в месте примыкания их краев. Такие сварные соединения нашли широкое применение в строительной практике. Нахлестанное — сварное соединение предусматривает наложение одного элемента на другой в одной плоскости с частичным перекрытием друг друга. Такие соединения чаще всего встречаются в строительно-монтажных работах, при сооружении ферм, резервуаров и т.д. Тавровым называют соединение, в котором к плоскости одного элемента приложен торец другого соединения под определенным углом. Участок сварного соединения, сформированный как результат кристаллизации расплавленного металла, называется сварочным швом. В отличие от соединений сварные швы бывают стыковыми и угловыми. Стыковой - это сварной шов стыкового соединения. Угловой - это сварной шов углового, нахлесточного и таврового соединений. Сварочные швы различают по количеству слоев наложения, ориентации их в пространстве, по длине и т.д. Так, если шов полностью охватывает соединение, то его называют сплошным. Если в пределах одного соединения шов разрывается, то его называют прерывистым. Разновидностью прерывистого шва является прихваточный шов, который применяют для фиксации элементов относительно друг друга перед сваркой. Если сварочные швы накладывают один на другой, то такие швы называют многослойными. По форме наружной поверхности сварочные швы могут быть плоскими, вогнутыми или выпуклыми. Форма сварочного шва оказывает влияние на его физико-механические свойства и на расход электродного металла, связанный с его формированием. Наиболее экономичны плоские и вогнутые швы, которые, к тому же, лучше работают при динамических нагрузках, так как отсутствует резкий переход от основного металла к сварному шву. Чрезмерный наплыв выпуклых швов приводит к перерасходу электродного металла, а резкий переход от основного металла к сварному шву при концентрированных напряжениях может вызвать разрушения соединения. Поэтому при изготовлении ответственных конструкций выпуклость на швах снимают механическим способом Различают сварочные швы по их положению в пространстве. Это нижние, горизонтальные, вертикальные и потолочные швы. Выполнение сварного шва в каждом из указанных положений имеет свои особенности. Практические занятия: Расчет заклепочных соединений Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Область практического применения заклепочных соединений 2. Виды заклепочных швов 3. Преимущества закле¬почных соединений. Недостатки. 4.Каковы достоинства и недостатки сварных соединений по сравнению с клеевыми? 5.Что называют сварным швом? 6.Какие применяют типы сварных швов? 7.Как различают сварочные швы по их положению в пространстве? Тематика внеаудиторной самостоятельной работы. Геометрический расчет передач. Усилие в передачах. Расчет на прочность. Силы действующие в зацеплении. Расчет зубьев на контактную усталость и изгиб, исходные положения расчета, расчетная нагрузка, формулы проверочного и проектного расчетов Выбор основных параметров, расчетных коэффициентов и допускаемых напряжений. Расчет зубьев на конструктивную усталость и изгиб. Основные геометрические соотношения в передачах. Допускаемые напряжения для сварных соединений. Материалы деталей подшипников, смазка подшипников, критерии работоспособности и условные расчеты. Проектировочный и проверочный расчеты цепной передачи. Выбор основных параметров и расчетных коэффициентов, КПД передачи. Раздел 4 Статика сооружений [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.1 Основные положения. Задачи статики сооружений Основные понятия и термины по теме: Сооружение; Расчетная схема; Опоры плоских систем; Балка; Рама; Ферма; Арка; Нагрузка План изучения темы: Общие сведения о сооружениях. Цель предмета статики сооружений, значение расчета на прочность, жесткость и устойчивость при проектировании сооружений. Классификация сооружений и их расчетные схемы. Виды нагрузок, действующие на сооружение. Краткое изложение теоретических вопросов: Предмет строительной механики Единый объект, построенный (сооруженный) человеком, называется сооружением. Когда речь идет о внутреннем строении сооружения как системы элементов, его называют системой. Сооружения необходимы для удовлетворения жизненных потребностей людей и улучшения качества их жизни. Они должны быть удобными, прочными, устойчивыми и безопасными. Строительство сооружений – вид древнейшего занятия людей и древнее искусство. Результаты многих археологических раскопок, проведенных в различных частях мира, сохранившиеся до наших дней древние сооружения и здания являются доказательством этого. Их совершенство и красота, даже с точки зрения современных знаний, говорят об искусстве и большом опыте древних строителей. Вопросами расчета сооружений занимается специальная наука строительная механика, которую часто называют механикой сооружений. Считается, что строительная механика возникла сравнительно недавно, после выхода в свет в 1638 году сочинения великого итальянского ученого Галилео Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению …». Строительная механика является частью общей механики. В XIX веке, после бурного начала строительства железных дорог, мостов, больших кораблей, плотин, различных промышленных сооружений, строительная механика стала самостоятельной наукой. А в XX веке в результате развития методов расчета и компьютерных технологий строительная механика поднялась на современный высокий уровень. Строительная механика – наука о принципах и методах расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Строительная механика является и теоретической, и прикладной наукой. С одной стороны, она разрабатывает теоретические основы методов расчета, а с другой стороны − является инструментом расчета, так как решает важные практические задачи, связанные с прочностью, жесткостью и устойчивостью сооружений.. Воздействие нагрузок приводит как к деформированию отдельных элементов, так и самого сооружения в целом. Расчетом и теоретической оценкой результатов их воздействия занимается механика деформированного твердого тела. Частью этой науки является прикладная механика (сопротивление материалов), занимающаяся расчетом простейших сооружений или их отдельных элементов. Другая ее часть – строительная механика уже позволяет рассчитывать разные и весьма сложные многоэлементные сооружения. Для правильного расчета сооружений следует правильно применять общие законы механики, основные соотношения, учитывающие механические свойства материала, условия взаимодействия элементов, частей и основания сооружения. На этой базе формируются расчетная схема сооружения в виде механической системы и ее математическая модель как система уравнений. Чем подробнее изучаются внутреннее строение сооружения, действующая на него нагрузка и особенности материала, тем сложнее становится его математическая модель. На следующей схеме (рис. 1.1) показаны основные факторы, влияющие на особенности расчета сооружения. Рис. 1.1 Обычно задачи строительной механики решаются в линейной постановке. Но при больших деформациях или использовании неупругих материалов ставятся и решаются нелинейные задачи. В строительной механике большое место занимают статические и динамические задачи. Если в статике сооружений внешняя нагрузка постоянна и элементы и части системы находятся в равновесии, то в динамике сооружений рассматривается движение системы под воздействием переменных динамических нагрузок. Строительная механика быстро развивается. Ещё недавно, в первой половине XX века для расчета сооружений использовались только простейшие математические модели. Но в 60-70 годы, когда начали широко внедряться компьютеры, стали применяться более сложные модели. Поэтому стало возможным проектирование, расчет и строительство сложных современных сооружений из новейших материалов. 2. Сооружения и их элементы Сооружения весьма разнообразны. Поэтому они и классифицируются по-разному. Например, только по назначению сооружения делятся на промышленные, общественные, жилищные, транспортные, гидротехнические, подземные, сельскохозяйственные, военные и др. В сооружениях используются элементы разных типов: 1) стержни – прямые или криволинейные элементы, поперечные размеры a и b которых намного меньше длины l (рис. 1.2 а, б, в); 2) плиты – элементы, толщина которых t меньше остальных размеров a и b; плиты могут быть прямыми (рис. 1.2 г), и кривыми в одном или двух направлениях (рис. 1.2 д, е); 3) массивные тела — элементы, все три размера которых одного порядка (рис. 1.2 ж). Рис. 1.2 Простейшие сооружения, состоящие из таких элементов, можно подразделять на следующие типы – стержневые сооружения (рис. 1.3 а, б), складчатые сооружения (рис. 1.3 в), оболочки (рис. 1.3 г) и массивные сооружения − подпорные стенки (рис. 1.3 д) и каменные своды (рис. 1.3 е): Рис. 1.3 Современные строители научились возводить очень сложные сооружения, состоящие из разнообразных элементов различной формы и типа. Например, достаточно распространенным является сооружение, у которого основание массивное, средняя часть может состоять из колонн стержневого типа и плит, а верхняя часть − из плит или оболочек. 3. Расчетные схемы сооружений и их классификация Все особенности сооружений учесть невозможно. Поэтому приходится рассматривать их в упрощенном виде. Упрощенная модель сооружения называется расчетной схемой. Расчетная схема, представленная в виде системы элементов, называется системой. Любое сооружение представляет собой пространственный объект. Действующая на него внешняя нагрузка также является пространственной. Значит, и расчетную схему сооружения надо выбирать как пространственную. Однако такая схема приводит к сложной задаче составления и решения большого числа уравнений. Поэтому реальное сооружение (рис. 1.4 а) стараются привести к плоской системе (рис. 1.4 б). Рис. 1.4 Переход от сооружения к его расчетной схеме является сложной и ответственной задачей. Правильная расчетная схема должна отражать основные особенности сооружения. А неправильный выбор расчетной схемы может привести к неправильным результатам. Следует отметить, что для одного и того же сооружения можно выбирать разные расчетные схемы. Выбор хорошей расчетной схемы приводит к экономии вычислений и точности результатов расчета. Расчетные схемы сооружений можно классифицировать по-разному. Например, различают плоские и пространственные расчетные схемы, расчетные схемы по типу или способу соединения элементов, по направлению опорных реакций, по статическим и динамическим особенностям и т.д. Сооружения опираются или закрепляются к основанию через какие-то опорные устройства. Взаимосвязь между сооружением и его основанием в расчетных схемах учитывается с помощью специальных знаков – опор. В пространственных и плоских расчетных схемах используются много типов опор. В плоских системах встречаются следующие типы опор (табл. 1.1). Таблица 1.1. Основные типы опор плоских систем Рассмотрим некоторые типы простых сооружений. 1. Балка – изгибаемый брус. Она бывает однопролетной или много-пролетной. Типы однопролетных балок: простая балка (рис. 1.5 а), консоль (рис. 1.5 б) и консольная балка (рис. 1.5 в). Многопролетные балки бывают разрезные (рис. 1.5 г), неразрезные (рис. 1.5 д) и составные (рис. 1.5 е): Рис. 1.5 2. Рама – система прямых (ломаных или кривых) стержней. Ее стержни могут соединяться жестко или через шарнир. Вот некоторые типы рам: простая рама (рис. 1.6 а), составная рама (рис. 1.6 б), многоэтажная рама (рис. 1.6 в). Рис. 1.6 3. Ферма – система стержней, соединенных шарнирами. Типов ферм много. Например, бывают стропильная ферма (рис. 1.7 а), мостовая ферма (рис. 1.7 б), крановая ферма (рис. 1.7 в), башенная ферма (рис. 1.7 г). Рис. 1.7 4. Арка – система из кривых стержней. Некоторые типы арок: трехшарнирная (рис. 1.8 а), одношарнирная (рис. 1.8 б), бесшарнирная (рис. 1.7 в) арки. Рис. 1.8 Существуют более сложные системы как комбинации простых систем. Они называются комбинированными системами. Например: арочная ферма (рис. 1.9 а), ферма с аркой (рис. 1.9 б), висячая система (рис. 1.9 в): Рис. 1.9 По статическим особенностям различают статически определимые и статически неопределимые системы. 4. Механические свойства материалов. Основные гипотезы Большинство материалов сооружений при действии малых нагрузок являются упругими и подчиняются закону Гука. При возрастании нагрузки этот закон перестает выполняться. В нашем курсе будем рассматривать только упругие материалы. Примем некоторые гипотезы, которые позволяют выбирать более простые расчетные модели, упрощать и уменьшать объем вычислений: 1. Материал сооружения является упругим. 2. Перемещения точек сооружения намного меньше его размеров. 3. Перемещения пропорциональны величине нагрузки. 4. Выполняется принцип суперпозиции (независимости действия сил): результат воздействия нескольких сил равен сумме воздействий отдельных сил и не зависит от порядка приложения этих сил. 5. Внешние и внутренние силы. Деформации и перемещения Внешние силы, действующие на сооружение называются нагрузкой. Кроме того, за нагрузку могут приниматься различные сочетания внешних сил, изменение температуры, осадки опор и т.д. Нагрузки различают: – по способу приложения. Например, объемная нагрузка действует во всех точках сооружения (собственный вес, инерционные силы и др.), поверхностная нагрузка распределена по поверхности (снег, ветер и др.). – по времени действия. К примеру, постоянная нагрузка действует постоянно и зачастую сохраняется в течение всей жизни сооружения (собственный вес), временная нагрузка действует только в определенный период или момент (снег, ветер). – по способу действия. Например, статическая нагрузка действует так, что сооружение сохраняет статическое равновесие. А динамическая нагрузка вызывает инерционные силы и нарушает это равновесие. Источниками динамической нагрузки являются различные машины и механизмы, ветер, землетрясения и др. Подвижные нагрузки меняют свое положение (поезд, автотранспорт, группа людей и т.д.). Нагрузка, распределяясь между элементами сооружения, вызывает внутренние напряжения и деформации. В строительной механике определяются их обобщенные характеристики – внутренние усилия и перемещения. А сами напряжения и деформации определяются через внутренние усилия по известным формулам сопротивления материалов. Практические занятия: Не предусмотрено Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Каковы задачи статики сооружений? 2.Что такое расчётная схема сооружения? 3.Как классифицируются сооружения? 4.Как классифицируются опоры? 5.Какие опорные реакции могут возникнуть в каждом их типе? 6.Как определяются расчетные нагрузки? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.2 Исследование геометрической неизменности плоских стержневых систем Основные понятия и термины по теме: Кинематический анализ; Геометрически неизменяемая система; Геометрически изменяемая система; Мгновенно изменяемая система; Степень свободы; Кинематические связи План изучения темы: Геометрическая неизменность, статическая определимость сооружений, Степень свободы точки и плоского диска. Образование плоской системы. Условие геометрической неизменности и статической определимости. Мгновенно изменяемые системы. Краткое изложение теоретических вопросов: Внешняя нагрузка может вызвать значительные перемещения элементов сооружения, в результате чего оно может перестать служить своему предназначению. Поэтому ставится требование: перемещения сооружения должны быть малыми. Решением этой задачи на начальном этапе проектирования занимается специальный раздел строительной механики, называемый кинематическим анализом. Кинематический анализ – это анализ геометрической структуры сооружения с целью исключения больших перемещений. При кинематическом анализе внешняя нагрузка обычно не рассматривается, а элементы системы считаются достаточно жесткими. В кинематическом анализе различаются три типа расчетных схем: 1) геометрически неизменяемые системы, 2) геометрически изменяемые системы, 3) мгновенно изменяемые системы. Геометрически неизменяемая система (ГНС) – это система, перемещения которой возможны только при деформации ее элементов. Простейшей ГНС является шарнирный треугольник (рис. 2.1 а). Геометрически изменяемая система (ГИС) – это система, элементы которой могут получать перемещения даже без их деформаций. Например, изменяемой является шарнирный четырехугольник (рис. 2.1 б). Мгновенно изменяемая система (МИС) – система, способная получать лишь мгновенные перемещения (рис. 2.1 в). Рис. 2.1 1. Степень свободы. Кинематические связи Количественная оценка кинематических свойств системы основана на определении ее степеней свободы как направлений возможных независимых перемещений. Число степеней свободы (W) – это минимальное число независимых параметров, необходимых для определения положения всех точек системы. Такими параметрами могут быть перемещения отдельных точек, углы поворота элементов и др. Число степеней свободы простых систем можно определять путем задания ее элементам возможных перемещений (рис. 2.2 а, б, в). Рис. 2.2 Для изучения более сложных случаев введем следующие понятия: диск (Д) – неизменяемая часть системы, состоящая из одного или нескольких жестко связанных элементов (рис. 2.3 а); шарнир (Ш) – связь, дающая возможность взаимного поворота соседним дискам (рис. 2.3 б); припайка (П) – связь, жестко закрепляющая соседние диски (рис. 2.3 в); стержень (С) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении (рис. 2.3 г); опорная связь (С0) – связь, ограничивающая перемещение диска в одном направлении по отношению к земле (рис. 2.3 д). Рис. 2.3 Определим число степеней свободы точки (рис. 2.4 а) и диска с различными кинематическими связями (рис. 2.4 б-д): Рис. 2.4 Как видим, стержень или опорная связь уменьшают число степеней свободы на единицу, шарниры – на два, припайки – на три. Кинематические связи должны обеспечивать неподвижность системы относительно земли (основания), а также неизменяемость ее внутренней структуры. Если при удалении одной связи из неизменяемой системы она становится изменяемой, то эта связь называется необходимой. Если после этого система остается неизменяемой, то связь называется избыточной. Связь, соединяющая систему с землей, называется внешней, а находящаяся внутри – внутренней связью. Шарнир, объединяющий два диска, называется простым шарниром (рис. 2.5 а). Если шарнир объединяет несколько дисков, то он называется кратным шарниром. Кратный шарнир эквивалентен нескольким простым шарнирам. Кратность шарнира определяется по формуле nШ=nД –1, где nД – число дисков, объединяемых шарниром. Рис. 2.5 2. Число степеней свободы стержневой системы Рассматривая расчетную схему сооружения как систему дисков, объединенных связями, получаем ее дисковый аналог. Для одной и той же системы часто можно получить несколько дисковых аналогов. Число степеней свободы плоской стержневой системы определяется по формуле, называемой основной формулой кинематического анализа: W = 3nД – 2nШ – nC – – 3nП . Здесь nД – число дисков в дисковом аналоге; nШ – число простых шарниров; nС – число стержней; – число опорных связей; nП – число припаек. При расчете фермы можно использовать формулу W = 2nУ – nC – , где nУ – число узлов фермы (узлом считается любой шарнир, связывающий стержни фермы). После расчета по этим формулам возможны три случая: 1) W>0 – такая система геометрически изменяема и является механизмом;
2) W=0 – в системе имеется достаточное число связей; если они введены правильно, то система неизменяема и статически определима;
3) W<0 – в системе есть избыточные связи. Если эти связи введены правильно, то система неизменяема и статически определима. Отсюда следует, что расчетная схема сооружения должна удовлетворять необходимому условию геометрической неизменяемости W 0. В качестве примера рассмотрим три расчетные схемы (рис. 2.6 а, в, д) и их дисковые аналоги (рис. 2.6 б, г, е, ж). Рис. 2.6 Вычислим число степеней свободы этих систем: 1) арка (рис. 2.6 а): nД=2, nШ=1, nC=0, =4, nП=0; W=32 – 21 – 0 – 4 –30 =0; 2) рама (рис. 2.6 в): nД=3, nШ=3, nC=0, =3, nП=0; W=33 – 23 – 0 – 3 –30 =0. 3) ферма (рис. 2.6 д): – по дисковому аналогу (рис. 2.6 е): nД=6, nШ=7, nC=0, =4, nП=0; W = 36 – 27 – 0 – 4 –30 = 0; – по дисковому аналогу (рис. 2.6 ж): nД=2, nШ=1, nC=1, =3, nП=0; W = 32 – 21 – 1 – 3 –30 = 0; – по формуле для фермы (рис. 2.6 д): nУ=4, nС=5, =3; W = 24 – 5 – 3 = 0. 3. Способы образования неизменяемых систем Выполнение условий, рассмотренных выше необходимо, но не достаточно. Например, число степеней свободы систем (рис. 2.7 а, в) одинаково: W=0, поэтому необходимое условие их геометрической неизменяемости выполняется. Но, тем не менее, они оба геометрически изменяемы. Причиной их изменяемости является неправильная установка связей. Для того чтобы они стали неизменяемыми, одну связь в этих системах нужно переставить (рис. 2.7 б, г). Рис. 2.7 Из этих примеров следует, что для полной уверенности в неизменяемости системы нужна дополнительная проверка системы – проверка геометрической структуры. Ее суть заключается в проверке способов объединения элементов между собой и с землей. Для такой проверки необходимо: – выделить в системе неизменяемые фигуры – диски; – последовательно объединять эти диски между собой, используя способы образования неизменяемых систем. Рассмотрим простейшие способы образования геометрически неизменяемых систем: 1. Новый узел к диску должен добавляться способом диады – двумя непараллельными стержнями (рис. 2.8 а). 2. Два диска должны объединяться: – способом триады – тремя не параллельными и не пересекающимися в одной точке связями (рис. 2.8 в); – одним шарниром и одной связью (рис. 2.8 б). Этот способ вытекает из способа триады; 3. Три диска должны объединяться тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 2.8 г). Шарниры могут быть условными (рис. 2.8 д). Рис. 2.8 4. Понятие о мгновенно изменяемых системах Расчетная схема любого инженерного сооружения не должна быть изменяемой или мгновенно изменяемой. Если изменяемость системы обычно возникает из-за недостатка связей, то мгновенная изменяемость возникает при их неправильной установке (рис. 2.9 а, г, д, е). Рис. 2.9 Обнаружить мгновенную изменяемость очень важно уже на этапе кинематического анализа, так как позволяет вносить коррективы в расчетную схему сооружения. В качестве примера рассмотрим балку (рис. 2.9 а) и выясним, почему же она является мгновенно изменяемой. 1. При действии на эту балку сосредоточенной силы P ее положение изменится (рис. 2.9 б). Запишем условие равновесия системы сходящихся сил в точке (рис. 2.9 в): Y=N sin2 – P = 0. Отсюда N = . Если в этой формуле =0, т.е. когда стержни AB и BC лежат на одной прямой, то N=. Таким образом, мгновенная изменяемость опасна тем, что усилия в элементах системы могут быть очень большими. 2. Если в последней формуле примем P=0, внутреннее усилие становится неопределенным: N=0/0. Этот результат лежит в основе метода нулевой нагрузки. Суть этого метода заключается в следующем: – удалить все силы, действующие на систему; – вычислить внутренние усилия. Если они все (включая и опорные реакции) будут равны нулю, то система неизменяема. Если же хотя бы одно усилие будет неопределенным (типа 0/0), то данная система является мгновенно изменяемой. Общие выводы. Расчетная схема сооружения должна быть геометрически неизменяемой. С целью проверки геометрической неизменяемости проводится кинематический анализ, состоящий из двух этапов: 1) количественный анализ – проводится по основной формуле кинематического анализа; должно выполняться условие W 0; 2) качественный анализ – проводится с использованием способов образования геометрически неизменяемых систем. Практические занятия: Исследование геометрической неизменяемости плоских стержневых систем Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какие системы называются геометрически изменяемыми и мгновенно изменяемыми? 2.Каковы основные признаки геометрически неизменяемых систем? 3.Как выявляется геометрическая неизменяемость систем? 4.Каковы признаки мгновенной изменяемости систем? 5.Каково различие между статически определимыми и неопределимыми системами? 6.Можно ли применять в строительстве изменяемые, мгновенно изменяемые и почти мгновенно изменяемые системы? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.3 Многопролетные статические определимые (шарнирные) балки. Основные понятия и термины по теме: Статически определимая неизменяемая система; Однопролетные балки; План изучения темы: Основные сведения о многопролетных статически определимых (шарнирных) балках. Условия статической определимости и геометрической неизменности. Анализ геометрической структуры. Типы шарнирных балок. Схемы взаимодействия (лажные схемы) элементов, составляющих шарнирные балки. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Понятие о наивыгоднейшем расположении шарниров в балке (равномоментные балки). Краткое изложение теоретических вопросов: Статически определимая неизменяемая система, состоящая из ряда однопролетных балок (с консолями и без консолей), соединенных между собой шарнирами, называется многопролетной статически определимой или многопролетной шарнирной балкой. Однопролетные балки, составляющие многопролетную статически определимую балку, могут быть все сплошными или сквозными (т. е. фермами) или частью сплошными, а частью сквозными. При решении вопроса о статической определимости и геометрической неизменяемости многопролетной шарнирной балки следует иметь в виду, что такую балку всегда можно получить из неразрезной, т. е. статически неопределимой балки, включив в нее ряд шарниров. Рис. 2.28 Число таких шарниров, как увидим ниже, равно степени статической неопределимости неразрезной балки. На рис. 2.28, а показана пятипролетная неразрезная балка. Она прикреплена к основанию с помощью семи опорных стержней. Для определения усилий в этих стержнях можно составить только три независимых уравнения равновесия. Поэтому такая балка не может быть рассчитана с помощью уравнений статики; она четыре раза статически неопределима. Если число всех опорных связей неразрезной балки обозначить С, то степень статической неопределимости (или число лишних неизвестных) будет равна Применив эту формулу для балки, изображенной на рис. 2.28, а, получаем Каждый шарнир, установленный в пролете или на опоре неразрезной балки, позволяет составить одно дополнительное уравнение статики — условие равенства нулю суммы моментов относительно шарнира всех сил, приложенных к балке по одну сторону от него. Если поместить в неразрезной балке столько шарниров, сколько она имеет лишних неизвестных, то статически неопределимая балка обратится в статически определимую, так как в этом случае все неизвестные можно будет найти с помощью уравнений статики. Шарниры в балке при этом должны быть расположены таким образом, чтобы система во всех своих частях была статически определимой и неизменяемой 1. На рис. 2.28, б - д приведены различные схемы расположения шарниров, позволяющие превратить балку, изображенную на рис. 2.28, а, в статически определимую. Рис. 2.29 Рис. 2.30 На рис. 2.28, е показана неудачная расстановка шарниров. Хотя общее число поставленных шарниров в балке и равно здесь четырем, т. е. числу лишних неизвестных в соответствующей ей неразрезной балке (рис. 2.28, а), но часть балки АВ получилась статически неопределимой, а часть ВС — изменяемой (возможные для этой части перемещения указаны на рис. 2.28, е штриховой линией). Рис. 2.31 Рис. 2.32 На рис. 2.29, а показана неразрезная балка с одним заделанным концом. Напомним, что заделка содержит три связи (схема такого закрепления изображена на рис. 2.30). Поэтому здесь общее число связей , а число лишних неизвестных . Следовательно, для превращения балки в статически определимую необходимо поместить в ней четыре шарнира (например, как это показано на рис. 2.29, б). На рис. 2.31, а изображена балка с двумя заделками, причем правая заделка имеет горизонтальную подвижность. Такая заделка может быть схематически изображена двумя связями, как это показано на рис. 2.32. На рис. 2.31, а число связей балки а потому Следовательно, для того чтобы балка стала статически определимой, необходимо поставить пять шарниров, например, так, как это показано на рис. 2.31, б. Для решения вопроса о неизменяемости многопролетной балки, а также для более наглядного представления о ее работе следует изображать схему взаимодействия отдельных элементов балки. Исследуем, например, изменяема ли балка, приведенная на рис. 2.33, а. Схема взаимодействия ее элементов представлена на рис. 2.33, б. На этой схеме промежуточные шарниры заменены шарнирно-неподвижными опорами, соединяющими отдельные элементы балки. Из схемы видно, что система неизменяема, так как она представляет собой ряд двухопорных балок, связанных с «землей» или с геометрически неизменяемыми системами с помощью трех стержней, оси которых не пересекаются в одной точке. В самом деле, балка АВЕ связана с «землей» тремя опорными стержнями и, следовательно, представляет собой геометрически неизменяемую систему. Рис. 2.33 Рис. 2.34 Рис. 2.35 Выше расположенная (на схеме) балка одним своим концом прикреплена с помощью двух стержней к геометрически неизменяемой балке АВЕ, а в точке С опирается на вертикальный опорный стержень, связывающий ее непосредственно с «землей». Такая связь обеспечивает балке полную неподвижность. Аналогично прикрепляется и еще выше расположенная балка FD. Из приведенных схем можно вывести следующие правила установки шарниров для балок без заделанных (защемленных) концов: 1) в каждом пролете может быть установлено не более двух шарниров; 2) пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без шарниров; 3) пролеты с одним шарниром могут следовать один за другим (начиная со второго пролета). До сих пор рассматривались случаи, когда все опоры, кроме одной, подвижны в горизонтальном направлении. Теперь посмотрим, как будут выглядеть расчетные схемы балок, если две (или более) опоры неподвижны в горизонтальном направлении. В этом случае постановкой обычных шарниров невозможно обратить неразрезную балку в статически определимую неизменяемую систему. Потребуется установить еще так называемые подвижные шарниры, допускающие взаимные горизонтальные перемещения соединяемых частей балки. Схема подвижного шарнира изображена на рис. 2.34. Рис. 2.36 Пример статически определимой балки с тремя опорами, неподвижными в горизонтальном направлении, и двумя подвижными шарнирами приведен на рис. 2.35, а; схема взаимодействия ее элементов показана на рис. 2.35, б. Рис. 2.37 Многопролетные шарнирные балки, наиболее часто применяемые на практике, изображены на рис. 2.36, а и 2.37, а. Для первой из них (рис. 2.36, а) характерно чередование пролетов, имеющих по два шарнира, с бесшарнирмыми; она состоит из ряда двухконсольных балок, на концы которых опираются однопролетные подвесные балочки (рис. 2.36, б). Для второй (рис. 2.37, а) характерно наличие одного шарнира в каждом пролете, за исключением одного крайнего пролета; схема взаимодействия ее элементов показана на рис. 2.37, б. Рис. 2.38 Заметим, что благоприятное разгружающее действие консолей используется не только в балках сплошного сечения, но и в сквозных конструкциях, например в многопролетной ферме, изображенной на рис. 2.38. Реакции опор такой фермы находят теми же приемами, как и в многопролетной шарнирной балке. Порядок расчета многопролетных шарнирных балок покажем на частном примере балки, приведенной на рис. 2.39, а. На рис. 2.39, б показана схема взаимодействия элементов этой балки. Рис. 2.39 Расчет балки начинаем с определения опорных реакций. В первую очередь следует определить реакции подвесных элементов , так как для расчета основного элемента необходимо знать числовые величины давлений от подвесных элементов в шарнирах Из уравнения получаем Реакция шарнира (положительным считаем направление ее снизу вверх) может быть найдена из уравнения откуда Знак минус означает, что реакция направлена в обратную сторону, т. е. сверху вниз. Давление на основной элемент ВС в шарнире численно равно, но противоположно по направлению реакции (т. е. действует снизу вверх). Ввиду симметрии нагрузки реакции и RD равны между собой: Давление на основной элемент в шарнире по числовой величине равно реакции но направлено в обратную сторону, т. е. вниз. Кроме нагрузок к элементу необходимо приложить у концов консолей ранее найденные давления и . Реакцию RB найдем из уравнения откуда Аналогичным путем из уравнения — 0 находим Неправильность определения реакций необходимо проверить например, с помощью уравнения Для Данного случая это уравнение имеет вид После определения опорных реакций можно перейти к построению эпюры изгибающих моментов. Напомним, что на тех участках, к которым внешняя нагрузка непосредственно не приложена, эпюра изгибающих моментов имеет прямолинейное очертание. Под силой и в шарнире изгибающие моменты равны нулю; в точке А момент . Этого достаточно для построения эпюры моментов для элемента (рис. 2.39, е). В пределах элемента эпюра моментов ограничена квадратной параболой с максимальной ординатой в середине элемента и нулевыми ординатами на концах. Изгибающие моменты над опорами В и С равны Момент может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака разности Построив по значениям эпюру моментов в пределах консолей элемента проведем линию, соединяющую опорные моменты (пунктир на рис. 2.39, е), и построим на ней параболу, представляющую эпюру моментов в свободно лежащей однопролетной балке от сплошной нагрузки Наибольшая ордината этой параболы равна В середине пролета ВС эпюра моментов может быть положительной или отрицательной в зависимости от соотношения моментов Поперечная сила Q вычисляется как сумма проекций на вертикальную ось всех сил, расположенных по одну сторону от данного сечения. Заметим, что найденные в каждом шарнире равные и противоположные силы в сумме всегда дают нуль, а потому наличие в балке шарнира не вызывает скачка в эпюре Q. В рассматриваемом примере скачок в шарнире вызван тем, что там приложена сосредоточенная сила Передвигаясь слева направо и суммируя последовательно внешние нагрузки и реакции, получим эпюру поперечных сил, изображенную на рис. 2.39, ж. Подобным же образом (расчленением на однопролетные простые балки) может быть рассчитана любая многопролетная шарнирная статически определимая балка. Рис. 2.40 Между эпюрами М и Q существует определенная зависимость. Поперечная сила является первой производной от изгибающего момента по длине балки: следовательно, она равна тангенсу угла наклона, составляемого касательной к эпюре М с осью балки (теорема Д. И. Журавского) Если эпюра моментов построена со стороны растянутого волокна, т. е. положительные моменты отложены вниз, то участкам с восходящими (слева направо) ординатами эпюры М соответствуют участки с отрицательными Q, а участкам с нисходящими ординатами эпюры М — участки с положительными Q. Чем круче касательная к эпюре моментов, тем больше абсолютное значение Q. В тех сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент имеет или Рис. 2.41 Между сосредоточенными силами (если между ними отсутствует сплошная нагрузка) эпюра М ограничена прямой (в общем случае наклонной) линией, а эпюра Q — прямой горизонтальной линией. На тех участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра М ограничена параболой (второй степени), а эпюра Q — наклонной прямой. Точкам приложения сосредоточенных сил соответствуют переломы в эпюре М и скачки в эпюре Q. Если сила направлена вниз, то и скачок в эпюре Q должен быть вниз (при перемещении слева направо); если сила направлена вверх, то и скачок должен быть вверх. На рис. 2.40 показаны схемы нескольких статически неопределимых неразрезных балок. Читателю предлагается дать несколько вариантов установки шарниров в каждой балке для получения статически определимых неизменяемых систем. Рис. 2.42 Читателю предлагается также рассчитать балку, изображенную на рис. 2.41 (построить для нее эпюры М и Q), и определить, при какой длине консолей U моменты в серединах трех средних пролетов балки, изображенной на рис. 2.42, будут равны друг другу. *Важной задачей расчета сооружений является определение их напряженно-деформированного состояния (НДС). Эта задача состоит из: – определения опорных реакций и внутренних усилий; – определения напряжений; – определения перемещений и деформаций. Перед расчетом должны быть установлены геометрические размеры и формы элементов сооружения, физические характеристики материала, внешняя нагрузка и особенности ее воздействия. Наиболее простым является расчет статически определимых систем. Статически определимой называется система, внутренние усилия которой можно определить только из уравнений статики (равновесия). Статически определимые системы (СОС) имеют свои особенности: 1) их внутренние усилия не зависят от упругих характеристик материала, форм сечений и площадей элементов; 2) воздействие температуры, осадки опор, неточность изготовления элементов не вызывают внутренних усилий; 3) если нет внешних нагрузок, все внутренние усилия равны нулю. Определение опорных реакций Сооружение, воспринимая внешнюю нагрузку, через свои элементы передает ее опорам, вызывая в них опорные реакции. При определении опорных реакций используется принцип освобождения от связей: всякое тело можно освободить от связей, заменив их реакциями. После этого из уравнений равновесия можно определять величины опорных реакций. Уравнения равновесия плоской системы записываются в трех формах: 1) X = 0, Y = 0, MA = 0 (X и Y – суммы проекций на взаимно-пересекающиеся оси x и y, MA – сумма моментов всех сил относительно любой точки A на плоскости); 2) X = 0, MA = 0, MB = 0 (точки A и B не должны лежать на одном перпендикуляре к оси x); 3) MA = 0, MB = 0, MC = 0 (точки А, В, С не должны лежать на одной прямой). Внутренние усилия стержневой системы В элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. Для любого поперечного сечения стержня они определяются как на рис. 3.1. Рис. 3.1 Изгибающий момент – это сумма моментов всех сил, лежащих слева (или справа) от сечения относительно оси z: . В строительной механике знак изгибающего момента обычно не уста-навливается, а эпюра M изображается на стороне растянутого волокна. Поперечная сила – это сумма проекций на ось y всех сил, лежащих слева (или справа) от сечения: . Поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает его против часовой стрелки. Продольная сила – это сумма проекций всех сил на ось x, лежащих слева (или справа) от сечения: . Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его. Между M и Q существует дифференциальная зависимость: Q= . Исходя из геометрического смысла первой производной, величина Q равняется тангенсу угла между осью эпюры M и касательной к ней. По эпюре M можно определить знак Q. Для этого ось эпюры M нужно повернуть до совпадения с касательной к ней. Если поворот будет по часовой стрелке, Q будет со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «–». Эпюры поперечных и продольных сил можно изображать на любой стороне от оси стержня, но эпюру изгибающего момента нужно обязательно изображать на стороне растянутого волокна. Методы определения внутренних усилий Внутренние усилия статически определимых систем определяются методами простых сечений, совместных сечений, вырезания узла, замены связей и др. Метод простых сечений Этот метод позволяет рассматривать внутреннее усилие как внешнюю силу и определять его из уравнений статики (равновесия). Например, внутренние усилия балки (рис. 3.2 а) в сечении К определяются как на рис. 3.2 б. Рис. 3.2 Алгоритм метода простых сечений: 1) поделить систему на участки; 2) выбрать участок и провести поперечное сечение; 3) выбрать одну (наиболее простую) из отсеченных частей; 4) составить три уравнения равновесия; 5) из них определить внутренние усилия M, Q, N; 6) для данного участка построить эпюры M, Q, N; 7) повторить пункты 2-6 для остальных участков. 3.2. Метод совместных сечений Этот метод используется при расчете многодисковых систем. Например, для расчета трехдисковой рамы (рис. 3.3 а) проводятся три совместных сечения I, II, III. В результате выявляются девять неизвестных реакций (рис. 3.3 б): опорные реакции R1, R2, H и междисковые реакции X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3. Составив для каждого диска по три уравнения равновесия, т.е. 33=9 уравнений, из их решения определяются все 9 реакций. Рис. 3.3 Алгоритм метода совместных сечений: 1) совместными сечениями разделить систему на части (диски); 2) обозначить опорные и междисковые реакции; 3) для каждого диска записать уравнения равновесия; 4) решить систему полученных уравнений; 5) каждый диск рассчитать отдельно и построить эпюры; 6) объединить все эпюры в общие эпюры M, Q, N. Метод вырезания узла Используется для определения усилий простых систем. Сущность метода: вырезается узел с не более чем двумя неизвестными усилиями; силы, действующие в узле, проецируются на две оси; из этих уравнений определяются искомые усилия. Например, при расчете балочно-ферменной системы (рис. 3.4 а), после того как определены опорные реакции (рис. 3.4 б), вырезается узел А (рис. 3.4 в) и составляются уравнения равновесия: X = N2 cos45– N1 cos45= 0, Y = N1 sin45+ N2 sin45+ P/2 = 0. Из них определяются искомые продольные силы: . Рис. 3.4 Метод замены связей Используется при расчете сложных статически определимых систем, которые трудно рассчитать другими способами. Сущность метода: сложная система превращается в более простую путем перестановки связи (или нескольких связей) в другое место; из условия эквивалентности заданной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; затем система рассчитывается известными способами. Например, для расчета рамы (рис. 3.5 а) удалим правый вертикальный стержень заданной системы (ЗС) и введем одну связь в левый шарнир. Тогда шарнир станет припайкой С, а примыкающие к нему стержни будут жестко связаны. Обозначив усилие в удаленной связи через X, получим так называемую основную систему (ОС) для расчета рамы (рис. 3.5 б). Рис. 3.5 Условием эквивалентности ОС по отношению к ЗС будет условие равенства нулю момента в точке С: MC=0. По принципу суперпозиции этот момент равняется сумме моментов от силы X и внешней нагрузки: MC=MC,X + MC,P =0. Теперь рассмотрим два состояния ОС: 1) единичное состояние (ЕС), где прикладываются силы X=1 (рис. 3.5 в); 2) грузовое состояние (ГС), где прикладывается нагрузка (рис. 3.5 г). Тогда предыдущее уравнение примет вид X + MC,P =0, где =1a=a – момент в точке С в единичном состоянии; MC,P= – момент в точке С в грузовом состоянии. Теперь неизвестное усилие легко вычисляется: . После этого можно перейти к расчету более простой системы (рис. 3.5 д). В более сложных случаях переставляются несколько связей и записываются столько же условий эквивалентности: s11X1+s12X2++ s1nXn+S1P=0, s21X1+s22X2++ s2nXn+S2P=0, . . . . . . . . . . . . . . . . . sn1X1+sn2X2++ snnXn+SnP=0. Здесь 1, 2, , n – заменяемые связи; X1, X2, , Xn – неизвестные внутренние усилия в этих связях; sij – усилие в связи i в j-ом единичном состоянии; SiP – усилие в i-ой связи в грузовом состоянии. Из этой системы уравнений определяются неизвестные X1, X2, , Xn. Общий вывод. Расчет любой статически определимой системы приводит к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если определитель полученной системы уравнений отличен от нуля (det0), внутренние усилия будут конечными величинами. Если же определитель равняется нулю (det=0), то внутренние усилия определить нельзя. В этом случае система является мгновенно изменяемой. Практические занятия: Расчет многопролетных статически определимых шарнирных балок Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Чем отличаются многопролетные определимые балки от неразрезных? 2.Какие требования предъявляются к количеству и размещению промежуточных шарниров? 3.Какие существуют основные типы шарнирных балок и из каких элементов они состоят? Каковы порядок расчета и последовательность монтажа элементов шарнирных балок? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.4 Статически определимые плоские рамы Основные понятия и термины по теме: Многопролетные статически определимые ( шарнирные) балки; Статически определимые плоские рамы; Симметричные системы План изучения темы: Основные сведения о многопролетных статически определимых (шарнирных) балках. Условия статической определимости и геометрической неизменности. Анализ геометрической структуры. Типы шарнирных балок. Схемы взаимодействия (лажные схемы) элементов, составляющих шарнирные балки. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Понятие о наивыгоднейшем расположении шарниров в балке (равномоментные балки). Краткое изложение теоретических вопросов: Многопролетные статически определимые ( шарнирные) балки. Существуют три вида простых балок: однопролётная балка с шарнирными опорами, однопролётная балка с консолями и консольная балка с жёсткой опорой. . Балка на двух опорах Балка на двух опорах с консолью. Балка консольная с защемлением Из этих простых балок можно образовать более сложную систему, соединив между собой шарнирами указанные простые балки. Такая система носит название многопролетной ( шарнирной ) статически определимой балки .В строительной практике многопролётные балки применяются для перекрытия смежных пролётов; используются при устройстве различных эстакад, проезжей части мостов и перекрытий зданий. Необходимое число промежуточных шарниров при заданном количестве опорных стержней Ш=С_оп-3.Для наглядности многопролетную балку изображают в виде этажной схемы. Аналитический расчет многопролётной балки заключается в определении внутренних силовых факторов от заданного воздействия т.е в построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Статически определимые плоские рамы. Рамой называется геометрически неизменяемая стержневая система с преимущественно жесткими соединениями в узлах. Рама состоит из стоек и ригелей. Стойкой называется вертикальный или близкий к вертикальному стержень. Стойки выполняются постоянного, ступенчатого или переменного поперечного сечения по высоте. Ригелем называется горизонтальный или слегка наклонный стержень рамы. Ось ригеля может быть прямолинейной, ломаной или криволинейной. Расстояние между центрами опор соседних стоек называется пролётом рамы. Геометрические схемы рам разнообразны. Они могут быть однопролётными, многопролётными, одноэтажными и многоэтажными. Применение рамных конструкций в строительстве разнообразно. Рамные системы образуют каркасы промышленных, гражданских и жилых зданий. Рамы могут входить в состав эстакад, опорных устройств мостов, фундаментов под оборудование и т.д. Простая рама представляет геометрически неизменяемую стержневую систему, состоящую из двух или трёх стержней, соединенных в узлах жёсткими связями. Трёхшарнирная рама является распорной системой, так как в её опорных связях от вертикальной нагрузки возникают горизонтальные составляющие реакций. Чтобы не передавать горизонтальное давление на нижележащие конструкции, вводят затяжку. Аналитический расчёт рамы заключается в определении трёх внутренних силовых факторов от внешних нагрузок- в построении эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. Эпюры М , Q, N строятся на геометрической схеме рамы, по осям стоек и ригелей. Расчет симметричных рам Симметричными называются системы, расчетные схемы которых симметричны относительно некоторой оси. Расчет любой симметричной рамы (рис. 8.1 а) можно упростить, если воспользоваться ее симметрией и разложить внешнюю нагрузку на симметричную (рис. 8.1 б) и кососимметричную (рис. 8.1 в) нагрузки. Рис. 8.1 В этом случае, несмотря на то что раму приходится рассчитывать дважды, выбор основной системы, показанной на рис. 8.2 а дает значительный выигрыш в вычислениях. Рис. 8.2 Канонические уравнения будут: X1+ X2+ X3+D1P=0, X1+ X2+ X3+D2P=0, X1+ X2+ X3+D3P=0. Во всех трех единичных состояниях построим эпюры моментов (рис. 8.2 б, в, г). Из них две эпюры (рис. 8.2 б, г) – симметричные, а одна (рис. 8.2 в) – кососимметричная. Симметричная (с) и кососимметричная (кс) эпюры взаимно-ортогональны и их “произведение” равно нулю: Ä =0. Поэтому некоторые коэффициенты системы канонических уравнений обращаются в нуль: = =0 и = =0, а система канонических уравнений распадается на две независимые системы: Таким образом, при расчете симметричной рамы некоторые коэффициенты можно не вычислять, а решение большой системы канонических уравнений заменить решением двух систем уравнений значительно меньших размеров. а) Расчет на симметричную нагрузку Так как эпюра изгибающих моментов при действии симметричной нагрузки также является симметричной (рис. 8.2 д), она ортогональна кососимметричной эпюре . Следовательно, 2P=0. Поэтому, как следует из уравнения (2), X2=0. Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричная неизвестная равна нулю. В этом случае эпюра изгибающих моментов будет строиться по формуле M = X1+ X3+M . Она, как сумма симметричных эпюр, будет симметричной. Тогда эпюра Q будет кососимметричной, а эпюра N будет симметричной. б) Расчет на кососимметричную нагрузку В этом случае эпюра изгибающих моментов кососимметрична (рис. 8.2 е) и ортогональна симметричным эпюрам и . Следовательно, 1P=3P=0, и, как следует из системы уравнений (1), X1=X3=0. Таким образом, при кососимметричной нагрузке все симметричные неизвестные равны нулю. Поэтому эпюра изгибающих моментов строится по формуле M = X2+M . Тогда она и эпюра N будут кососимметричными, а эпюра Q будет симметричной. Окончательно будет . 9. Группировка неизвестных Если при расчете симметричной рамы (рис. 8.3 а) выбрана обычная основная система (рис. 8.3 б), то все коэффициенты канонических уравнений X1+ X2 +D1P=0, X1+ X2 +D2P=0 будут отличаться от нуля. Рис. 8.3 Если же неизвестные группировать по формулам X1=Y1 +Y2 , X2=Y1 – Y2 , что соответствует основной системе на рис. 8.3 д, то единичные эпюры (рис. 8.3 е, ж) будут ортогональными ( Ä =0), и канонические уравнения распадутся на два независимых уравнения: Y1 +D1P=0, Y2 +D2P=0. Как видим, при группировке неизвестных отдельные коэффициенты обращаются в нуль и нет необходимости их вычисления. С другой стороны, распадение системы канонических уравнений на две независимые системы уравнений упрощает их решение. Поэтому группировка неизвестных позволяет существенно уменьшить объем вычислений. Практические занятия: Расчет статически неопределяемых систем методом сил Расчет статически определимых плоских рам Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Назовите особенности рамных конструкций 2.Каково различие в определении опорных реакций статически определимых рам, не имеющих промежуточных шарниров, и рам с промежуточными шарнирами? 3.Как определяются знаки поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил при расчете рам? 4.Как строятся эпюры Qx; Mx ; N для статически определимых рам? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.5 Трехшарнирные арки. Основные понятия и термины по теме: Трехшарнирная арка; План изучения темы: Аналитический способ расчета трехшарнирных арок. Определение опорных реакций. Определение поперечной силы, изгибающего момента и продольной силы в произвольном сечении арки. Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил. Понятие о расчете арки с затяжкой. Выбор рационального очертания оси арки. Понятие о своде и его расчете Краткое изложение теоретических вопросов: 9Трехшарнирная система – это система из двух дисков, связанных между собой и основанием тремя шарнирами. Есть трехшарнирные системы двух видов: арочные (рис. 4.9 а) и подвесные системы (рис. 4.9 б). Рис. 4.9 Их расчет мало отличается друг от друга. Поэтому остановимся на арочных системах, которые бывают трех типов: трехшарнирные рамы (рис. 4.10 а), трехшарнирные арочные фермы (рис. 4.10 б) и трехшарнирные арки (рис. 4.10 в): Рис. 4.10 Особенность трехшарнирных систем состоит в том, что в них возникает распор (боковое давление) даже от вертикальной нагрузки. Опорные реакции таких систем (рис. 4.11 а) можно определять методом совместных сечений. В результате появляются независимые две части с шестью неизвестными (четыре опорные реакции RA, RB, HA, HB и две междисковые реакции XC, YC (рис. 4.11 б). Рис. 4.11 Составив для каждого диска по три уравнения равновесия (всего шесть уравнений), можно определить все эти реакции. Далее каждый диск рассчитывается самостоятельно. Расчет трехшарнирных арок Общие определения арки Рис.5.1 Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие шарнирные опоры на краях и один промежуточный шарнир, чаще всего - центральный (рис.5.1). Пролет арки - расстояние между ее опорами L. Опору арки принято также называть пятой арки, центральный шарнир - замком арки, а расстояние f от прямой, соединяющей опорные шарниры до замка арки, - стрелой арки или стрелой подъема арки. Арки относятся к распорным системам, т.е. таким системам, в опорах которых, в отличие от безраспорных систем, при действии только вертикальной нагрузки возникает ненулевое горизонтальное усилие, называемоераспором. Инженер-строитель может столкнуться с необходимостью выбора между безраспорной системой (балкой) и распорной системой (аркой) для выполнения перекрытия некоторого пролета, например, мостового. При этом арку сопоставляют с соответствующей балкой, т.е. простой балкой на двух опорах, перекрывающей такой же пролет и находящейся под действием такой же вертикальной нагрузки, что и арка. Ключ арки – место, в котором сечение, перпендикулярное к оси арки, является осью симметрии. Ось арки – средняя линия, проходящая через центры тяжести сечений арки. Равномерно распределенная нагрузка на единицу длины – нагрузка постоянной интенсивности, измеряемая на единицу длины оси арки. Равномерно распределенная нагрузка на единицу проекции – нагрузка постоянной интенсивности, измеряемая на единицу проекции оси арки на какую-либо ось координат. Продольная сила – направленная по касательной к оси арки проекция главного вектора системы сил, заменяющего в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки на ее оставшуюся часть. Положительное направление продольной силы совпадает с направлением нормали к сечению арки и соответствует растяжению. Поперечная сила – направленная вдоль оси, перпендикулярной к оси арки составляющая главного вектора системы сил, заменяющего в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки, на ее оставшуюся часть. Положительное направление поперечной силы совпадает с направлением нормали к сечению, повернутой по часовой стрелке на прямой угол. Изгибающий момент – взятый относительно оси поперечного сечения арки момент системы сил, заменяющий в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки на ее оставшуюся часть. Положительный изгибающий момент растягивает нижние волокна в арке. Частным случаем трехшарнирной арки является трехшарнирная арка с затяжкой (рис.5.2). Рис.5.2 Затяжка - горизонтальный стержень, предназначенный для полного или частичного восприятия горизонтального распора. Для того, чтобы система при наличии затяжки осталась статически определимой, одну опору арки делают катковой. В этом случае, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки горизонтальные реакции в опорах будут равными нулю, а затяжка будет воспринимать распор полностью. При нагрузке определенного вида очертание арки можно задать таким, чтобы в ней не возникало изгибающих моментов. Такие арки называют арками рационального очертания. Задание геометрии арки При задании геометрии арки необходимо определить величины пролета L, стрелы f, и функцию y(x), описывающую очертание оси арки (рис.5.1). Для арки с затяжкой, кроме того, необходимо задать высоту над затяжкой f’(рис.5.2). Задав значения L и f, мы определяем положение трех точек - опор и замка арки. Если дополнительно потребовать, чтобы ось арки была очерчена по окружности или по параболе, то положение этих трех точек однозначно определит функцию y(x), поскольку через три точки можно провести только одну окружность и только одну параболу. При круговом очертании арки: , где , и . (5.1) При параболическом очертании арки: , . (5.2) Угол в (5.1) и (5.2) - угол наклона касательной к оси арки в данной точке (рис.5.1). На левой половине арки , на правой - . Справедливость формул (5.1) и (5.2) читателю предлагается проверить самостоятельно. При гиперболическом очертании арки: , – отношение полуосей. При очертании арки в виде эллипса: – отношение полуосей. Статический расчет трехшарнирной арки В принципиальном отношении расчет трехшарнирной арки не отличается от расчета других статически определимых систем: вначале определяются опорные реакции, затем строятся эпюры изгибающего момента, продольного и перерезывающего усилия, после чего выполняются проверки и, при необходимости, определяются перемещения. Единственная особенность, с которой приходится сталкиваться, - появление чисто вычислительных трудностей, связанных с криволинейностью очертания оси арки. Как в любой статически определимой системе, реакции в опорах трехшарнирной арки находятся исключительно из статических уравнений (уравнений равновесия). Примем положительные направления реакций в опорах арки в соответствии с рис.5.3. Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем: , (5.3) где - сумма проекций всех действующих на арку внешних сил на вертикальную ось. В (5.3) внешняя сила считается положительной, если она направлена вниз. Далее, составим уравнение моментов всех действующих на систему сил относительно произвольной точки. Здесь в качестве точки, относительно которой будут вычисляться моменты, выберем точку А. Поскольку линии действия трех опорных реакций из четырех проходят через эту точку, в уравнении останется только одна неизвестная реакция - VB: , (5.4) где - суммарный момент действующих на систему внешних сил относительно точки А. В (5.4) он считается положительным, если направлен по часовой стрелке. Рис.5.3 Уравнений (5.3) и (5.4) достаточно, чтобы найти вертикальные реакции в опорах арки. Составив аналогичные уравнения для балки, соответствующей арке (рис.5.3), легко убедиться, что при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки эти уравнения совпадут с (5.3) и (5.4), а значит вертикальные реакции VA и VB в опорах арки и соответствующей ей балки будут одинаковыми. Из условия равенства суммы проекций всех действующих на систему сил на горизонтальную ось имеем: , (5.5) где - сумма проекций действующих на арку внешних сил на горизонтальную ось. В (5.5) внешняя сила считается положительной, если она направлена вправо. Четвертое уравнение - условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на систему с одной (любой - левой или правой) стороны от промежуточного шарнира относительно этого шарнира. Рассмотрим, например, равновесие левой половины арки: , (5.6)где - суммарный момент действующих на левую часть арки внешних сил относительно точки С. В (5.6) в качестве его положительного направления принято направление против часовой стрелки. При отсутствии горизонтальной составляющей внешней нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут равны и направлены противоположно друг другу, что следует из уравнения (5.5): , (5.7) Горизонтальное усилие H, возникающее в опорах, называется распором. Из уравнений (5.3)-(5.6) можно найти четыре неизвестные опорные реакции HA, HB, VA и VB, после чего приступить к определению изгибающих моментов в сечениях арки. Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии х от левой опоры арки (рис.5.3). Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения. Тогда , (5.8) где - изгибающий момент в рассматриваемом сечении, вызванный исключительно внешними силами, действующими слева от рассматриваемого сечения. Как мы уже выяснили, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции VA и VB в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле . Сопоставляя эту формулу с (5.8), с учетом (5.7) получим: . (5.9) Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти и по формуле (5.9). Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольное расстояние х (рис.5.3). Рис.5.4 Перерезывающее усилие в арке действует перпендикулярно ее оси в данном сечении, а продольное - вдоль ее оси в данном сечении (рис.5.4). Обозначим сумму проекций всех внешних сил и реакций опор, действующих на рассматриваемую часть сечения, на вертикальную и горизонтальную оси и соответственно. Положительными направлениями этих сил будем считать такие направления, которые будут уравновешиваться положительными и на оси арки (рис.5.5). Составив уравнения равновесия сил, действующих на рассматриваемую часть сечения в осях, совпадающих с направлением действия и (рис.5.6) получим выражения для определения перерезывающего и продольного усилия: ; (5.10) . (5.11) Рис.5.5 Рис.5.6 При определении опорных реакций и распора в арках с затяжкой, затяжку мысленно удаляют, заменяя ее действие на остальную часть конструкции усилиями H (рис.5.7). Далее составляют обычные уравнения равновесия, которые в этом случае примут вид: ; (5.12) ; (5.13) ; (5.14) . (5.15) Если далее рассматривать распор в затяжке Н как одну из внешних нагрузок (рис.5.7), то построение эпюр внутренних усилий можно выполнить аналогично арке без затяжки по формулам (5.8), (5.10) и (5.11). Рис.5.7 Практические занятия: Расчет трехшарнирных арок Вопросы для самоконтроля по теме: 1.В чем отличие распорной системы от безраспорной? 2.По каким правилам определяют поперечные силы, изгибающие моменты и продольные силы в сечениях арки? 3.Почему для построения эпюр Qx; Mx ; N при действии на арку сосредоточенных сил недостаточно определить значения этих внутренних силовых факторов в начале и конце каждого участка, чего, как известно, достаточно для построения эпюр для балок с прямой осью? 4.Каков порядок и принцип построения многоугольника и кривой давлений? 5.Что такое рациональное очертание оси арки? 6.Что называется сводом? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.6 Статически определимые плоские фермы Основные понятия и термины по теме: Плоские статически определимые фермы. План изучения темы: Общие сведения о фермах. Классификация ферм. Образование простейших ферм. Условия геометрической неизменяемости и статической определимости ферм. Аналитическое определение опорных реакций. Аналитическое определение сил в стержнях ферм методом вырезания узлов и сквозных сечений (способы моментных точек и проекций). Графическое определение сил в стержнях ферм путем построения диаграмм Максвелла-Кремоны. Определение узловых нагрузок. Определение расчетных сил в стержнях ферм от действия постоянных и временных нагрузок при наиболее невыгодных их сочетаниях. Понятие о расчете ферм на внеузловую нагрузку. Анализ сил в поясах и решетках простейших ферм при действии вертикальных нагрузок. Краткое изложение теоретических вопросов: Плоские статически определимые фермы. Ферма - геометрически неизменяемая стержневая система, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных в узлах идеальными шарнирами ( в реальной ферме соединение в узлах жесткими связями), допускающими их взаимный поворот без трения. При этом внешняя нагрузка считается приложенной только в узлах. При таких предпосылках во всех стержнях фермы возникают только продольные силы. Экономичность, рациональность распределения напряжений и несложность изготовления обеспечили фермам широкую и разнообразную область применения в строительстве. Стержни , ограничивающие верхний контур фермы, образуют верхний пояс, а стержни, ограничивающие нижний контур,- нижний пояс. Совокупность стержней фермы между верхним и нижним поясами образуют решетку фермы. Вертикальные элементы решетки называются стойками, а наклонные – раскосами ( подкосами). Расстояние между осями опор фермы называется пролётом, а расстояние между соседними узлами верхнего (нижнего) пояса - панелью. Фермы классифицируются по следующим признакам: 1.По назначению фермы делятся на стропильные, подстропильные, мостовые, крановые, башенные и .т.п. 2.По очертанию поясов: с параллельными поясами, с треугольным поясом, с полигональным( ломаным) очертанием поясов. 3.По направлению опорных реакций делятся на безраспорные (балочные, балочно-консольные, консольные) и распорные ( арочные и висячие). 4.По уровню движения транспорта: С треугольным поясом, балочная С ломаным поясом, балочно-консольная консольная арочная висячая Расчётная схема фермы, полученная после замены в реальной ферме всех жестких узлов шарнирами, должна быть геометрически неизменяемой Степень свободы определяют по формуле: n=2У-С_ф-С_оп У – число шарнирных узлов фермы; 〖 С〗_ф -число стержней фермы; С_оп- число опорных стержней. Для расчёта ферм пользуются двумя способами: аналитическим( вырезания узлов и сквозных сечений) и графическим. Расчёт статически определимых определимой фермы начинается с определения опорных реакций. В стержнях фермы от внешней нагрузки, приложенной в узлах, возникают только продольные сжимающие или растягивающие силы. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов выполняется в следующем порядке: 1.Обозначив узлы буквами и стержни цифрами, поочередно вырезают узлы фермы и вычерчивают схему вырезанных узлов; 2.Составляют уравнения равновесия для каждого вырезанного узла ∑Х=0; ∑У=0, предполагая, что стержни работают на растяжение (силы направлены от узлов). Порядок вырезания узлов должен быть таким, чтобы в каждый последовательно рассматриваемы узел входили только два стержня, усилия в которых неизвестны; 3.Решая уравнения равновесия, определяют усилия во всех стержнях фермы; отрицательные усилия будут соответствовать работе стержней на сжатие (силы направлены к узлам). Определение усилий в стержнях фермы методом сквозных сечений выполняется в следующем порядке: 1.Ферму разрезают на две части таким образом, чтобы в разрез попал стержень, усилие в котором необходимо определить, а оси других перерезанных стержней сходились бы в одной точке; 2.Заменив действие перерезанных стержней усилиями в них, составляют уравнения равновесия для любой части фермы. ∑Х=0; ∑У=0; ∑М=0; 3.Из составленных уравнений определяют искомые усилия в стержнях фермы. Графический способ определения усилий в стержнях фермы основан на методе вырезания узлов. При этом для каждого вырезанного узла усилия определяют построением замкнутого силового треугольника или многоугольника. Узлы вырезают последовательно. Каждый узел должен содержать не более двух стержней, усилия в которых неизвестны. Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах жестко или шарнирно (рис. 4.1 а). Замена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 4.1 б). Рис. 4.1 Для статической определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно выполняться условие . При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в основном на растяжение или сжатие, а моменты и поперечные силы в них отсутствуют. Поэтому в стержнях шарнирной фермы определяются только продольные усилия. Положительное усилие Nij в стержне фермы между узлами i и j (рис. 4.2 а) следует направить в сторону от шарниров (рис. 4.2 б). Рис. 4.2 При расчете простых ферм используются методы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, замены стержней и др. Рассмотрим только два метода. Метод вырезания узлов основан на последовательном вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы. Сущность метода: вырезается узел, в котором не более двух неизвестных; составляются уравнения равновесия X=0 и Y=0; из них определяются неизвестные продольные усилия. После этого можно вырезать следующий узел и продолжить расчет. В методе вырезания узлов необходимо установить порядок вырезания узлов. Например, для расчета фермы (рис. 4.3 а) сначала вырежем узел A (рис. 4.3 б) и запишем уравнения равновесия: X = NA-10+NA-1 cos=0; Y = NA-1 sin+1,5P=0. Из них: NA-1= –1,5P/sin; NA-10=1,5P/tg . Рис. 4.3 Теперь вырежем узел 10 (рис. 4.3 в) и запишем условия равновесия: X = N9-10 –NA-10=0; Y = N1-10=0. Из них получаем: N9-10 =NA-10=1,5P/tg; N1-10=0. После этого можно вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5. У метода вырезания узлов есть недостаток: ошибка (неточность), допущенная при расчете одного узла, влияет на последующие вычисления. Поэтому результаты, полученные этим методом, надо контролировать. Например, результаты расчета фермы могут быть проверены по формуле , где – усилия в стержнях, – длины стержней, и – проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок. Из метода вырезания узлов вытекают несколько признаков (частных случаев), упрощающих расчет ферм: 1) если в узле сходятся два стержня и внешняя нагрузка не приложена (рис. 4.4 а), то оба усилия равны нулю: N1= N2=0; 2) если в узле сходятся два стержня, а внешняя нагрузка действует в направлении одного стержня (рис. 4.4 б), то N1=P, N2=0; 3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 в), то усилия в двух стержнях равны: N1= N2, а усилие в боковом стержне равно нулю: N3=0; 4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 г), то усилия также попарно равны между собой: N1= N2, N3= N4. Рис. 4.4 Используя эти признаки легко определяются некоторые усилия рассмотренной фермы (рис. 4.3 а): – по 2-му признаку N1-10=N1-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N4-7=0; – по 3-му признаку NA-10=N9-10=N8-9; NB-6=N6-7=N7-8; NA-1=N1-2; NB-5= N4-5. Метод сквозных сечений позволяет определять усилие в стержне фермы только из одного уравнения. Сущность метода: поперек фермы проводится такое сквозное сечение, чтобы появилось не более трех неизвестных усилий; в точке пересечения направлений двух из них составляется уравнение момента, из которого определяется третье усилие. Точка, в которой составляется уравнение момента, называется моментной точкой. В качестве примера рассмотрим ту же ферму, проведя через нее сквозное сечение I–I (рис. 4.3 а). Рассматривая равновесие левой части от сечения (рис. 4.5), составим уравнение момента в точке 1: M1 = N9-10 –1,5Pa=0. Отсюда получаем: N9-10=4,5P . Рис. 4.5 Точка 9 является моментной точкой для N1-2. Поэтому M9 = –N1-2 b –1,5P2a=0. Так как b=2asin, получаем N1-2=–1,5P/ sin . Для N1-9: MA = –N1-9c=0. Отсюда получаем N1-9=0. Иногда (например, когда два стержня параллельны) моментной точки не существует. В этом случае вместо уравнения момента следует составлять уравнение проекции на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням. Практические занятия: Расчет статически определимых плоских ферм Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Из каких элементов состоят фермы? 2.Каковы преимущества фермы по сравнению с балкой? 3.В чем сущность определения сил в стержнях ферм способами вырезания узлов, моментных точек и проекций? 4.Каковы принцип и порядок построения диаграммы Максвелла – Кремоны? 5.Как с помощью диаграммы Максвелла – Кремоны определить значение и знак силы в стержне? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.7 Линии влияния. Основные понятия и термины по теме: Линии влияния План изучения темы: Общие сведения о линиях влияния. Линии влияния сил в простой балке. Линии влияния сил в консольной балке. Линии влияния при узловой передаче нагрузки. Линии влияния сил в стержнях ферм. Определение сил по линиям влияния от неподвижной и подвижной нагрузк Краткое изложение теоретических вопросов: Подвижной нагрузкой называется нагрузка, движущаяся по сооружению с некоторой скоростью. К примеру, такой нагрузкой является транспорт (рис. 5.1 а). Его можно рассматривать как систему взаимо-связанных параллельных сил, движущихся по сооружению (рис. 1.5 б). Рис. 5.1 Методы расчета сооружений на подвижную нагрузку Подвижная нагрузка вызывает в элементах сооружения переменные внутренние усилия. Расчет сооружения на подвижную нагрузку, даже без учета динамических эффектов (например, ускорений и инерционных сил), сложнее расчета на постоянную нагрузку. Потому что приходится решать несколько задач: 1) определять наиболее опасное (расчетное) положение нагрузки; 2) определять наибольшее (расчетное) значение этой нагрузки; 3) рассчитывать сооружение на расчетную нагрузку. Расчет на подвижную нагрузку можно вести двумя методами. Общий метод. Сущность метода: подвижная нагрузка рассматривается целиком и обозначается одной координатой; искомое внутреннее усилие выражается как функция этой координаты; эта функция исследуется на экстремум и определяется расчетное положение нагрузки; затем вычисляется расчетное значение внутреннего усилия. Этот метод универсален, но сложен для реализации. Метод линий влияния. Сущность метода: искомая величина (внутреннее усилие, реакция и др.) определяется как функция от подвижной единичной силы; строится график этой функции, а затем находятся расчетное положение и расчетное значение этой величины. Метод линий влияния более прост для реализации, позволяет достаточно просто определять расчетное положение нагрузки и ее величину. Поэтому далее остановимся только на нем. Линия влияния (ЛВ) – это график зависимости искомой величины от подвижной единичной силы P=1. Понятия ЛВ и эпюры нельзя путать, потому что эпюра показывает значение внутреннего усилия для всех точек (сечений) от постоянной нагрузки, а ЛВ показывает значение внутреннего усилия от подвижной единичной силы P=1 только для одного сечения. Построение линий влияния усилий простой балки Рассмотрим консольную балку, на которую действует подвижная нагрузка P=1 (рис. 5.2 а). Рис. 5.2 1) Линии влияния опорных реакций Сумма моментов в правой опоре: MB=−RA l + 1 (l – x) = 0. Отсюда RA = . Для построения графика этой функции найдем положение двух точек: если x=0 , то RA=1; если x=l , то RA=0. Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции RA (рис. 5.2 б). Для определения правой опорной реакции составим уравнение MA=RBl – 1 x = 0. Отсюда RB = . Если x=0, то RB=0; если x=l, то RB=1. Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции RB (рис. 5.2 в). 2) Линии влияния поперечной силы и момента Они зависят от положения сечения, в котором определяются. а) Единичная сила правее сечения К В этом случае QK= RA , MK= RAa. Эти функции определяют правые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2 г, д). б) Единичная сила левее сечения К В этом случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию. Тогда QK=– RB , MK=RBb. Эти функции определяют левые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2 г, д). Если сечение располагается на консольных (левой или правой) частях балки (рис. 5.3 а), ЛВ поперечной силы и момента будут совсем другими. Приведем результат их построения для двух сечений К1 и К2 (рис. 5.3 б-д). Рис. 5.3 В некоторых расчетных схемах (например, в этажных схемах разрезной балки) встречаются консоли с заделками справа или слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя соответствующие левые и правые части предыдущих линий влияния (рис. 5.3 б-д), считая, что в точках А и В имеются заделки. Полученные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий используются как известные решения при расчете аналогичных балок и как промежуточные решения при расчете многопролетных балок. Построение ЛВ при узловой передаче нагрузки В некоторых сооружениях нагрузка на их несущую часть может передаваться через вспомогательные балки. Например, такая конструктивная схема часто используется в мостах: там на главную балку накладываются поперечные балки, а на них настил (рис. 5.4 а). В таких сооружениях нагрузка на главные балки передается через узлы пересечения главной балки с поперечными балками. Рис. 5.4 Если бы нагрузка действовала только на главную балку, ЛВ момента MK была бы как на рис. 5.4 б. Поэтому, когда единичная сила находится над поперечными балками, ординаты ЛВ будут такими же. Но, когда единичная сила находится между поперечными балками, ЛВ сглаживается (рис. 5.4 в). Определение усилий по ЛВ Пусть ЛВ какого-то усилия S определяется уравнением y=f(x). По этому графику можно определять усилие S от произвольной нагрузки. Действие сосредоточенной силы (рис. 5.5 а). Если система упругая, то внутреннее усилие прямо пропор-ционально нагрузке. Поэтому S=Py. Если же действует несколько сил, то внутреннее усилие определяется по принципу суперпозиции: S= Pi yi . Действие распределенной нагрузки (рис. 5.5 б). Если рассматривать элементарную силу q(x)dx как сосредоточенную силу, то Рис. 5.5 S= . Когда же распределенная нагрузка постоянна, т.е. q(x)=q=const, то S=q . Здесь  – площадь ЛВ в области действия распределенной нагрузки. Если на сооружение действует несколько сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, то по принципу суперпозиции S= Pi yi+ qj ωj . Построение ЛВ усилий фермы Рассмотрим ферму (рис. 5.6 а). При воздействии только вертикальной нагрузки ее опорные реакции будут такими же как у вспомогательной балки (рис. 5.6 б). Поэтому ЛВ опорных реакций фермы будут аналогичны ЛВ балки (рис. 5.6 в, г). Для построения ЛВ продольных усилий фермы воспользуемся способами вырезания узлов и сквозных сечений. а) Использование способа вырезания узлов Для построения ЛВ N2-6 вначале рассмотрим узел 1. Так как к этому узлу силы не приложены, то по признаку 1 N1-6=0. После этого вырежем узел 6 фермы. Здесь могут быть два случая: 1) когда единичная сила P=1 находится в этом узле (рис. 5.6 е), то Y= N2-6 sin+1–1=0. Отсюда N2-6=0. 2) когда единичная сила P=1 находится вне этого узла (рис. 5.6 ж), то Y=N2-6 sin+RA=0. Отсюда N2-6= – RA. Тогда, используя ЛВ опорной реакции RA, можно построить ЛВ усилия N2-6 (рис. 5.6 д). Рис. 5.6 б) Использование способа сквозных сечений Поперек фермы проведем сквозное сечение I–I (рис. 5.7 а) и получим независимые левые и правые части. Единичная сила P=1 может находиться в обоих частях фермы. 1) Единичная сила левее сечения (рис. 5.7 б): M =N2-3 h+RB 2a=0. Отсюда N2-3= –2 RB ; Y = –N3-7 sin+RB=0. Отсюда N3-7= RB . 2) Единичная сила правее сечения (рис. 5.7 в): M = –N2-3 h – RA a=0. Отсюда N2-3= – RA ; Y =N3-7 sin+RA=0. Отсюда N3-7= – RA . В первом случае определяем ординаты ЛВ этих усилий между узлами 6-7, т.е. определяем их левые ветви, а во втором случае определяем ординаты обоих ЛВ между узлами 8-10, т.е. определяем правые ветви ЛВ. Соединив точки между узлами 7-8, получаем переходную прямую и окончательный вид ЛВ (рис. 5.7 г, д ). Рис. 5.7 Как видно из этих примеров, у ЛВ продольных усилий фермы есть следующее свойства: ветви ЛВ пересекаются под моментной точкой; если же моментной точки нет, ветви ЛВ параллельны. Практические занятия: Построение линии влияния опорных реакций и поперечной силы в указанных сечениях Вопросы для самоконтроля по теме: 1.В чем различие между эпюрой и линией влияния? 2.Каковы вид и значения ординат под опорами линий влияния опорных реакций простой балки? 3.Где линия влияния поперечной силы образует скачок? Чему он равен? 4.Где пересекаются левые и правые ветви линий влияния при узловой передаче нагрузки? 5.Каково различие в построении линии влияния сил в стержнях ферм при езде по низу и езде поверху? 6.Как по линии влияния определить силу от заданной неподвижной системы сосредоточенных сил и от неподвижной равномерно распределенной нагрузки? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.8 Определение перемещений в статически определимых плоских системах. Основные понятия и термины по теме: Линейное перемещение; Угловое перемещение; Действительная работа План изучения темы: Общий принцип обозначения перемещений. Формула Мора для элементов сооружения, испытывающего совместную деформацию изгиба с растяжением (сжатием). Примеры определения перемещений в статически определимых плоских системах методом Мора с применением правила Верещагина. Теорема Максвелла о взаимности перемещений. Краткое изложение теоретических вопросов: При воздействии нагрузки, температуры и других факторов сооружения меняют свою форму, а его точки получают перемещения. Перемещение – векторная величина. Перемещение любой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. Например, вектор перемещения точки А рамы в точку А (рис. 6.1 а) определяется через его модуль A и угол (направление) A (рис. 6.1 б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие xA и yA вектора перемещения : A= , A=arc tg . Поступательные перемещения A, xA, yA будем называть линейными перемещениями, а A – угловым перемещением. Рис. 6.1 Методы определения перемещений основаны на определении работ внешних и внутренних сил. В механике рассматриваются два вида таких работ – действительные и возможные работы. Действительные работы внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия Действительным перемещением называется перемещение, вызванное силой по направлению ее действия (рис. 6.2 а). В упругих системах перемещение  прямо пропорционально действующей силе и поэтому выполняется закон Гука  = P, где коэффициент  называется податливостью. Эту зависимость можно представить в виде диаграммы  –P (рис. 6.2 б). Рис. 6.2 Действительной работой называется работа силы на ее действительном перемещении. Действительную работу силы P можно найти по рис. 6.2 б: W= . Эта формула определяет теорему Клапейрона: сила, действующая на упругую систему, совершает работу, равную половине произведения силы на перемещение. Если воспользоваться законом Гука, то W=  0. Отсюда следует, что внешняя сила совершает положительную работу. Когда на систему действуют несколько сил, то по принципу суперпозиции W= . В идеально-упругой системе предполагается, что работа внешних сил W полностью переходит в потенциальную энергию деформации U: W =U. Если убрать внешние силы, упругая система возвратится в исходное положение. Эту работу совершают внутренние силы. Так как работа внешних сил W всегда положительна, то работа внутренних сил V будет отрицательной: W=–V. Определим работу внутренних сил плоской стержневой системы. а) Работа продольной силы N Пара продольных сил N, действующих на элемент dx, приводят к его чистому растяжению (рис. 6.3 а). Рис. 6.3 По теореме Клапейрона эти силы на общей деформации элемента (действительном перемещении) N совершают действительную работу –dVN= N•N . С учетом закона Гука при растяжении N= получим −dVN= dx, где E – модуль Юнга, F – площадь сечения, EF – жесткость на растяжение. б) Работа изгибающего момента М Пара изгибающих моментов M, действующих на элемент dx, приводят к его чистому изгибу (рис. 6.3 б). На общей деформации M эти моменты совершают работу –dVM= M•M . По закону Гука M= . Поэтому –dVM= dx , где I – момент инерции сечения, EI – жесткость на изгиб. в) Работа поперечной силы Q Действие пары поперечных сил Q приводит к чистому сдвигу элемента dx (рис. 6.3 в). На общей деформации Q они совершают работу: –dVQ= Q•Q . По закону Гука, Q= . Поэтому –dVQ= dx, где  – коэффициент формы сечения, GF – жесткость на сдвиг. Теперь воспользуемся принципом суперпозиции: –dV=–(dVM+dVQ+dVN)= dx. Если проинтегрировать это выражение по всей длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим выражение потенциальной энергии всей стержневой системы: U= –V= dx . Возможные работы внешних и внутренних сил Малое перемещение, допускаемое связями системы, называется возможным перемещением. Причиной возможного перемещения могут быть другие силы, изменение температуры, осадки опор и др. Работа силы на ее возможном перемещении называется возможной работой. Возможное перемещение обозначим ij, а возможную работу Wij (здесь i означает направление, а j – причину). Например, если в некоторой точке балки действует сила Pi, а затем в другой точке начнет действовать другая сила Pj, то балка в точке действия силы Pi получит возможное перемещение ij (рис. 6.4 а). Так как в это время сила Pi остается постоянной, совершаемая ею возможная работа определяется площадью прямоугольника (рис. 6.4 б): Wij=Piij . Таким образом, возможная работа равна произведению силы на возможное перемещение. Рис. 6.4 При определении возможной работы следует рассматривать два состояния системы: в одном из них действуют заданные, а во втором – возможные силы. Теорема Бетти. Возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния. Ее часто называют теоремой о взаимности работ. Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы: 1) действует сила Pi и вызывает внутренние усилия Mi, Qi, Ni; 2) действует сила Pj, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные деформации Mj= dx, Qj= dx, Nj= dx. Внутренние усилия первого состояния на деформациях (возможных перемещениях) второго состояния совершат возможную работу –dVij=MiMj+QiQj+NiNj= dx+ dx+ dx . Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил: –Vij= dx . Интеграл Мора. Определение перемещений Рассмотрим два состояния стержневой системы: 1) грузовое состояние (рис. 6.6 а), в котором действующая нагрузка вызывает внутренние усилия MP, QP, NP; 2) единичное состояние (рис. 6.6 б), в котором действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия . Рис. 6.6 Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают возможную работу –Vij= dx. А единичная сила P=1 единичного состояния на перемещении грузового состояния P совершает возможную работу Wij=1P=P . По известному из теоретической механики принципу возможных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. Wij= –Vij. Значит, должны быть равны и правые части этих выражений: P= dx . Эта формула называется формулой Мора и используется для определения перемещений стержневой системы от внешней нагрузки. Рассмотрим отдельные случаи применения формулы Мора. 1. В балках (рис. 6.7 а) возможны три случая: − если  8, в формуле оставляется только член с моментами: P= ; − если 5≤ ≤8, учитываются и поперечные силы: P= dx; − если  5, формула Мора дает большие погрешности. В этом случае перемещения следует определять методами теории упругости. Рис. 6.7 2. В рамах (рис. 6.7 б) элементы в основном работают только на изгиб. Поэтому в формуле Мора учитываются только моменты. В высоких рамах учитывается и продольная сила: P= dx . 3. В арках (рис. 6.7 в) необходимо учитывать соотношение между основными размерами арки l и f: 1) если  5 (крутая арка), учитываются только моменты; 2) если 5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы. 4. В фермах (рис. 6.7 г) возникают только продольные силы. Поэтому P = dx= = . Практические занятия: Определение перемещений в статически определяемых плоских системах Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какими буквами принято обозначать перемещения? 2.Что означают индексы, ставящиеся при этих буквах? 3.Напишите общую формулу для определения перемещений ( формулу Мора).Что означают входящие в неё величины? 4.Каков порядок вычисления перемещений по формуле Мора? 5.Назовите основные виды перемещений в плоских стержневых системах. Какая единичная сила, прикладываемая по направлению искомого перемещения, соответствует каждому из названных перемещений? 6.Когда при перемножении эпюр ставится знак плюс и когда знак минус? 7.Сформулируйте теорему Максвелла о взаимности перемещений [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.9 Основы расчета статически неопределимых систем методом сил. Основные понятия и термины по теме: Статически неопределимые системы; Степень статической неопределимости. План изучения темы: Общие понятия о статически неопределимых системах. Степень статической неопределимости. Основная система. Каноническое уравнение метода сил. Принцип и порядок расчета статически неопределимых систем методом сил. Применение метода сил к расчету статически неопределимых однопролетных балок и простейших рам с одним или двумя лишними неизвестными. Выбор рациональной основной системы. Проверка правильности эпюр. Понятие о расчете простейших комбинированных (составных) рам. Краткое изложение теоретических вопросов: Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики (равновесия). Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств: 1. Они надежнее, разрушение некоторых элементов не всегда приводит к разрушению всей системы. 2. Они выдерживают бо́льшую нагрузку. 3. У них деформации меньше. 4. Изменение температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов вызывают дополнительные усилия. 5. Внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов. У статически неопределимых систем есть так называемые «лишние» связи, число которых называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости n простой системы определяется из дискового аналога по следующей формуле: . Например, степени статической неопределимости балки (рис. 7.1 а) и рамы (рис. 7.1 в) будут: n=2•0+0+4–3•1=1 и n=2•0+1+4–3•1=2. Использование этой формулы при расчете сложных рам затруднительно. Поэтому можно применить другой подход, вводя два понятия: 1) замкнутый контур – замкнутая цепь из элементов и связей системы; 2) удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов (см. рис. 7.1 б, г, е). Рис. 7.1 Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равняется трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из nк замкнутых контуров, из которых удалены nуд связей, будет n=3nк – nуд. При использовании этой формулы для балки (рис. 7.1 а) и рам (рис. 7.1 в, д) в этих системах необходимо определить общее число замкнутых контуров nк и удаленных связей nуд (рис. 7.4 б, г, е). Тогда − для балки: n=32–5=1; − для рам: n=32–4=2, n=32–4=2. Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле n= nС+ n –2nУ . Например, для фермы (рис. 7.1 ж): n=6+3–24=1. Выбор основной системы Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС). Например, у балки (рис. 7.2 а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 7.2 б). Рис. 7.2 Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 7.2 в-е. Однако одна из этих схем (рис. 7.2 е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему. Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант ОС (рис. 7.2 б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче. Итак, основная система должна быть: 1) обязательно геометрически неизменяемой; 2) простой для расчета; 3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки. Сущность метода сил В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил. Изучим метод сил на примере предыдущей балки (рис. 7.2 а). Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю: =0. По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения X (рис. 7.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения P (рис. 7.3 б) от заданной силы P. Поэтому =X+P=0. Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнением совместности деформаций. Рис. 7.3 Так как сила X неизвестна, перемещение X непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение , возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить. По закону Гука, в линейно-упругой системе X= X. Тогда последнее уравнение принимает вид  X+P=0. Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны  и P, из него определяется неизвестная сила: X= –P/ . Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X1, X2, , Xn. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций: = + ++ +1P=0, = + ++ +2P=0, . . . . . . . . . . . . . . n= + ++ +nP =0. При рассмотрении n различных единичных состояний системы и определении податливостей по различным направлениям эти уравнения приводятся к системе уравнений: + X2++ Xn+ P=0, + X2++ Xn+2P=0, . . . . . . . . . . . . . + X2++ Xn+nP=0. Она называется системой канонических уравнений метода сил. Здесь – главные коэффициенты, – боковые коэффициенты. Свободные члены iP называются грузовыми коэффициентами. Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:  = ; X = ; P = ; 0 = , где  – матрица податливости, X – вектор неизвестных, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В результате этого система канонических уравнений принимает вид:  X +P = 0. Из этого матричного уравнения определяется вектор неизвестных: X = – –1P . Здесь –1 – обратная матрица податливости. Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты при неизвестных и грузовые коэффициенты iP системы канонических уравнений – возможные перемещения от единичных сил и нагрузки. У них есть два индекса. Первый индекс i указывает на направление, а второй индекс j (или P) – на причину перемещения. Методику вычисления этих коэффициентов рассмотрим на примере условной статически неопределимой системы (рис. 7.4 а) и ее основной системы (рис. 7.4 б). Рис. 7.4 Для определения коэффициентов рассмотрим два состояния ОС: 1) i-ое единичное состояние – воздействие силы Xi=1 (рис. 7.4 в); 2) j-ое единичное состояние – воздействие силы Xj=1 (рис. 7.4 г). Если в этих состояниях возникают внутренние усилия , , и , , , то возможная работа внутренних сил i-го состояния на деформациях j-го состояния будет: –Vij= dx. С другой стороны, возможная работа внешних сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна Wij=1×dij=dij . По принципу возможных перемещений Wij=–Vij. Приравнивая их получаем формулу для вычисления коэффициентов при неизвестных: dij= dx . Теорема Максвелла. Перемещение в i-ом направлении от единичной силы в j-ом направлении равна перемещению в j-ом направлении от единичной силы в i-ом направлении, т.е. dij=dji . Эта теорема позволяет уменьшать объем вычислений при нахождении боковых коэффициентов системы канонических уравнений. Формулы вычисления грузовых коэффициентов: = dx= , = dx= , знак используется для сокращения записи формулы вычисления интеграла Мора и означает условное «произведение» двух эпюр. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ (продолжение) Проверка правильности коэффициентов При вычислении коэффициентов системы канонических уравнений возможны ошибки. Поэтому их надо проверять. Существует три способа проверки коэффициентов. 1. Построчная проверка проводится для проверки всех коэффициентов одного уравнения. Если сложить все коэффициенты при неизвестных i-го уравнения, то = + + … + = + + … + = = ( )= = . Здесь: = = – суммарная единичная эпюра, – результат «произведения» i-ой единичной эпюры на эту эпюру. Отсюда следует, что если сумма всех коэффициентов i-ой строки системы канонических уравнений равна произведению i-ой единичной эпюры на суммарную единичную эпюру, т.е. = , то коэффициенты этой строки вычислены верно. Универсальная проверка используется для одновременной проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений. Приведем (без доказательства) только общее правило этой проверки: если сумма всех коэффициентов системы канонических уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры на себя, т.е. = = , то все коэффициенты системы канонических уравнений вычислены верно. Постолбцовая проверка используется для проверки коэффициентов одного столбца системы канонических уравнений. Приведем правило проверки столбца из грузовых коэффициентов: если сумма всех грузовых коэффициентов равна произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру, т.е. = , то грузовые коэффициенты вычислены верно. Определение внутренних усилий После подсчета и проверки коэффициентов системы канонических уравнений все они подставляются в эти уравнения, а потом система уравнений решается относительно неизвестных X1, X2, …, Xn. Затем определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Эту задачу можно решить двумя способами: 1) подстановкой найденных величин X1, X2, …, Xn в основную систему и определением ее усилий M, Q, N; 2) используя эпюры внутренних усилий в единичных состояниях , , и в грузовом состоянии MP, QP, NP с учетом закона Гука и принципа суперпозиции; в этом случае внутренние усилия определяются по формулам: M= X1+ X2+ …+ Xn+MP ; Q= X1+ X2+ …+ Xn+QP ; N= X1+ X2+ …+ Xn+NP . При расчете рам и балок обычно используется только первая из этих формул, и по ней строится эпюра изгибающих моментов M. Эпюра Q строится по эпюре M с дифференциальной зависимости, а эпюра N строится по эпюре Q способом вырезания узлов. Алгоритм метода сил Порядок расчета рамы методом сил состоит из следующих этапов: 1. Определение степени статической неопределимости. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 5. Построение единичных и грузовой эпюр. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений. 7. Решение системы канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N. 9. Проверка правильности расчета. Она состоит их двух частей: 1) статическая проверка состоит в проверке выполнения условий равновесия; 2) кинематическая проверка состоит в проверке всех условий =0 ( ) или общего условия =0. Действительно, А это выражение равно нулю, так как является i-ой строкой системы канонических уравнений. Отсюда следует, что , поскольку каждый из его сомножителей равняется нулю Определение перемещений статически неопределимых систем Перемещения статически неопределимых систем можно вычислять по известной формуле Мора. В системах с преобладанием изгибных деформаций (например, в рамах и балках) она имеет вид: D= dx= M. Здесь и M – эпюры моментов от единичной силы и нагрузки в заданной статически неопределимой системе. К сожалению, построение этих эпюр связано с решением трудоемких задач раскрытия статической неопределимости. Задача несколько упрощается, если одну из этих эпюр строить в статически определимой основной системе и использовать формулы D= M или D= MP, где и MP – единичная и грузовая эпюры, построенные в любой основной системе метода сил. Практические занятия: Расчет статически неопределяемых систем методом сил. Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какие системы называют статически неопределимыми? 2.В чем их преимущества и в чем недостатки? 3.Как определяется степень статической неопределимости различного вида систем? 4.Каков смысл понятия «Лишние связи»? 5.В чем сущность расчета статически неопределимых систем методом сил? 6.Как записывают канонические уравнения? 7.Какую мысль выражает то ил иное каноническое уравнение метода сил? 8.Какие способы, упрощающие расчет, можно применить к симметричной статически неопределимой раме и в чем их сущность? 9.Почему при деформационной проверке окончательной эпюры моментов путем её перемножения с любой из единичных эпюр должен получиться нуль? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.10 Неразрезные балки. Основные понятия и термины по теме: Неразрезные многопролётные балки План изучения темы: Общие сведения о многопролетных неразрезных балках. Уравнение трех моментов. Применение уравнения трех моментов для балок заделанными концами и с консолями. Определение изгибающего момента и поперечной силы в произвольном сечении неразрезной балки. Определение опорных реакций. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Нагружение пролетов неразрезных балок временной нагрузкой для получения максимальных значений опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил. Расчет неразрезных балок с равными пролетами по таблицам при равномерно распределенной и симметрично расположенных в пролете сосредоточенных нагрузок. Краткое изложение теоретических вопросов: Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки. Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов: Здесь — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, — длина i-й балки. Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введением шарниров над опорами получается статически определимая система из балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок. Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова. 1. Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор. Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты . 2. Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно . Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер . Длины пролётов: , . 3. Из условия равновесия консольных частей определяются моменты и . Остальные моменты являются неизвестными системы уравнений трёх моментов. 4. Строятся эпюры моментов и перерезывающих сил в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку. 5. Вычисляются площади эпюр моментов , в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой ( ) и правой ( ) опоры соответствующего пролёта. 6. Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке. Пример Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка кН/м, кН/м и сосредоточенная сила кН. Рис. 1 Длина консоли: м. Длины полетов: м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты и — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, . Для левой консоли получаем . Рис. 2 Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне). Рис. 3 Записываем уравнения трёх моментов: Здесь Решаем систему уравнений кНм, кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4). Рис. 4 Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5). Рис. 5 Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения. Построить эпюру изгибающих моментов для неразрезной балки с помощью уравнения трех моментов. Неразрезная балка 1) Составляется основная система неразрезной балки: Основная система для способа уравнений трех моментов 2) Строятся эпюры изгибающих моментов для отдельных балок, на которые действуют внешние нагрузки: Эпюры изгибающих моментов для отдельных балок Распишем построение эпюры для пролета L2: и т.д. для остальных пролетов. 3) Составляются уравнения трех моментов: 4) Определяются площади и центры тяжести соответствующих эпюр изгибающих моментов простых балок: 5) Преобразуем уравнения трех моментов: 6) Решаем уравнения трех моментов: 7) Строим эпюру моментов в опорах Моп. 8) Строим итоговую эпюру моментов М, равную сумме эпюр моментов в опорах Мопи всех эпюр Mр, построенных для отдельных балок. 9) Выполняем проверку. Строим единичную эпюру от действия единичной силы в крайней правой опоре. Если произведение единичной эпюры на итоговую эпюру равно нулю, то расчет выполнен верно. Расчет неразрезной балки с помощью уравнений трех моментов Построим для заданной балки эпюры изгибающих моментов способом фокусных отношений в результате последовательного загружения всех пролетов временной нагрузкой (например, qвр=1,5 кН/м). Для пролета L3 построим объемлющую эпюру для точек 2, 3, 0,5•L3. По аналогии с методом уравнений трех моментов, если есть заделка, то вместо нее добавляется пролет L=0 (на схеме балке не указан, т.к. схема аналогична задаче для метода трех моментов). Расчет неразрезной балки способом фокусных отношений 1) Определяем фокусные расстояния (левые и правые): 1.1) левые: При шарнирном опирании крайнего левого пролета фокусное расстояние для следующего номера опоры равно бесконечности (∞) в соответствии с формулой: Мn-1 =0, т.к. крайняя опора n-1 является шарнирной, т.е.: 1.2) правые: При шарнирном опирании крайнего правого пролета фокусное расстояние для номера крайней опоры равно бесконечности (∞) в соответствии с формулой: Мn =0, т.к. крайняя опора n является шарнирной, т.е.: 2) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр в пролете L2: 2.1) Определяем фиктивные опорные реакции от qвр (по формуле для способа уравнений трех моментов): Для распределенной нагрузки может применяться следующая формула: 2.2) Определяем моменты в опорах: Моменты в опорах определяются по формулам: 3) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр в пролете L3: 3.1) Определяем фиктивные опорные реакции от qвр: 3.2) Определяем моменты в опорах: 4) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр в пролете L4: 4.1) Определяем фиктивные опорные реакции от qвр: 4.2) Определяем моменты в опорах: 5) Строим эпюру изгибающих моментов для балки от действия временной нагрузкиqвр, действующей на консоли: 6) Строим объемлющую эпюру для пролета L3 (точек 2, 3, 0,5•L3). Она строится при одновременном действии временной нагрузки во всех пролетах и постоянной нагрузки. Значения эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки берем из решения задачи 1 с помощью уравнения трех моментов. Максимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с положительными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках. Минимальные значения определяем сложением значений из эпюры изгибающего момента от действия постоянной нагрузки с отрицательными значениями эпюр изгибающего момента от действия временной нагрузки в рассматриваемых точках. Полученные значения для удобства записи заносим в таблицу 1: Таблица 1 Практические занятия: Расчет неразрезных балок Вопросы для самоконтроля по теме: 1.Какой вид имеет уравнение трех моментов? 2.Как определяются опорные реакции неразрезных балок? 3.Объясните порядок расчета неразрезных балок 4.Как строится суммарная эпюра изгибающих моментов? 5.Как определяется максимальный изгибающий момент в пролете с равномерно распределенной нагрузкой? 6.Какие пролеты шестипролетной неразрезной балки следует загрузить временной нагрузкой для получения максимальных значений изгибающего момента в третьем пролете, изгибающего момента над второй слева опорой, опорной реакции третьей опоры? 7.Что такое огибающая эпюра и с какой целью она строится? [/tab_pane][tab_pane]Тема 4.11 Подпорные стены. Основные понятия и термины по теме: Подпорная стена; Активное и пассивное давление; Теория предельного равновесия План изучения темы: Общие понятия. Расчетные предпосылки теории предельного равновесия. Аналитическое определение активного давления (распора) и пассивного давления (отпора) сыпучего тела на подпорную стену для случая вертикальной гладкой грани стены и горизонтальной поверхности сыпучего тела. Распределение давления сыпучего тела по высоте подпорной стены. Эпюра интенсивности бокового давления. Влияние временной равномерно - распределенной нагрузки , расположенной на горизонтальной поверхности сыпучего тела в пределах призмы обрушения. Давление водонасыщенного грунта на гладкую вертикальную плоскость стены. Проверка прочности устойчивости(против опрокидывания и скольжения) массивных подпорных стен. Определение давления на грунт под подошвой фундамента стены. Эпюра реактивного давления грунта основания. Понятие о выборе поперечного профиля подпорных стен. Краткое изложение теоретических вопросов: При изучении темы необходимо усвоить, что является активным и пассивным давлением, как оно определяется, как определяются прочность и устойчивость под¬порных стен. Практические занятия: Расчет подпорных стен Вопросы для самоконтроля по теме: 1. Что называется подпорной стеной? 2. Что называется сыпучим и что идеально сыпучим телом? 3. Каково различие между углом внутреннего трения и углом естественного от¬коса несвязанного рыхлого грунта? 4. В чем сущность теории предельного равновесия? 5. Что называется активным и пассивным давлением? Как они определяются? 6. По какому закону изменяется давление грунта по высоте подпорной стены? 7. Что такое интенсивность давления грунта на стену и как она изменяется по высоте подпорной стены? 8. Как учитывается при расчете влияние сплошной равномерно распределенной нагрузки, находящейся в пределах призмы обрушения? 9. Как проверяется устойчивость подпорных стен против сдвига и опрокидыва¬ния по методу предельных состояний? 10. Как проверяется прочность массивных подпорных стен из камня и бетона и прочность грунтового основания под подошвой фундамента по методу предельных состояний? 11. Почему под подошвой фундамента нежелательно возникновение растягива¬ющих напряжений, хотя прочность сжатой зоны основания обеспечена? 12. От чего зависит выбор поперечного профиля подпорной стены? Тематика внеаудиторной самостоятельной работы Исследование геометрической неизменяемости плоских стержневых систем.. Расчет многопролетных статически определимых шарнирных балок 3. Расчет статически определимых плоских рам 4. Расчет трехшарнирных арок 5 Расчет статически определимых плоских ферм. 6. Построение линии влияния опорных реакций и поперечной силы в указанных сечениях 7. Определение перемещений в статически определяемых плоских системах. 8. Расчет статически неопределяемых систем методом сил. 9. Расчет неразрезных балок. 10. Расчет подпорных стен [/tab_pane][tab_pane]КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Результаты обучения (освоенные умения, усвоенные знания) Формы и методы контроля и оценки результатов обучения 1 2 Умения: -выполнять расчеты на прочность, жесткость, устойчивость элементов сооружений; Практические занятия -определять аналитическим и графическим способами усилия опорных реакций балок, ферм; Практические занятия -определять усилия в стержнях ферм; Практические занятия -строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений; Практические занятия -строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; Практические занятия Знания: -законы механики деформируемого твердого тела, виды деформаций, основные расчеты; Практические занятия -определение направления реакций, связи; Практические занятия -определение момента силы относительно точки, его свойства; Практические занятия -напряжения и деформации, возникающие в строительных элементах при работе под нагрузкой; Практические занятия -моменты инерции простых сечений элементов и др. Практические занятия ОЦЕНИВАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ СТУДЕНТОВ Оценка Критерии оценки знаний студентов «5» отлично работа выполнена полностью без ошибок и недочетов «4» хорошо работа выполнена полностью, но при наличии в ней более 1 негрубой ошибки и 1 недочета или 3 недочетов «3» удовлетворительно работа выполнена на 2\3 всего объема; работа выполнена полностью, но при наличии в ней более 1 грубой ошибки 2 недочетов, или 1 грубой ошибки и 1 негрубой ошибки, или 3 негрубые ошибки, или 4 недочета «2» неудовлетворительно работа правильно выполнена менее чем на 2\3 всего объема или число ошибок и недочетов превышает норму для оценки «3» ПЕРЕЧЕНЬ ОШИБОК Грубые ошибки: Незнание определений основных понятий, законов, правил, основных положений теории, формул, общепринятых символов обозначения технических величин, единиц их измерения. Неумение выделять в ответе главное. Неумение применять знания для решения задач; неправильно сформулированные вопросы задачи или неверные объяснения хода ее решения; незнание приемов решения задач, аналогичных ранее решенных на занятиях. Неумение читать и строить графики и кинематические схемы. Негрубые ошибки: Неточности формулировок, определений, понятий, законов, теорий, вызванные неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия. Ошибки в условных обозначениях на кинематических схемах; неточности чертежей, графиков и схем. Пропуск или неточное написание наименований единиц технических величин, нерациональный выбор хода решения. Недочеты: Нерациональные записи при вычислениях, нерациональные приемы вычислений, преобразований и решений задач. Арифметические ошибки в вычислениях грубо искажающие реальность результата. Небрежное выполнение записей, чертежей, схем и графиков. Орфографические и пунктуационные ошибки. Текущий контроль Перечень точек рубежного контроля: Контрольная работа (по вопросам раздела кинематика) - 1.11Плоскопараллельное движение твердого тела Контрольная работа (по вопросам раздела динамика - 1.14Теоремы динамики Контрольная работа (по вопросам раздела сопротивления материалов) - 2.20Растяжение и изгиб бруса Итоговый контроль по дисциплине ПЕРЕЧЕНЬ вопросов и практических задач, выносимых на экзамен по дисциплине «Техническая механика» по специальности 44.02.06 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ Аксиомы статики и их свойства. Основные понятия в статике. Плоская система сходящихся сил. Геометрический способ определения равнодействующей сходящихся сил. Аналитический способ определения равнодействующей сходящихся сил. Связи. Реакции связи. Проекция сил на ось. Проекция системы сил на ось. Плоская система произвольно расположенных сил. Условие равновесия плоской системы произвольно расположенных сил. Пара сил. Плечо пары. Момент силы относительно точки. Знак момента. Свойство пар сил. Сложение пар сил. Условие равновесия рычага. Условия равновесия пар сил. Теорема Вариньона. Определение главного вектора и главного момента системы сил. Разновидности нагрузок. Типы балочных опор. Определение неизвестных опорных реакций. Понятие о центре тяжести и статический момент площади поперечных сечений. Определение центра тяжести плоских фигур. Основные положения в сопротивлении материалов. Основные гипотезы и допущения в сопротивлении материалов. Виды нагрузок и основные деформации, их внутренние силы. Метод сечения. Напряжения в сечениях груза. Деформация растяжения и сжатия, внутренние силовые факторы. Знак продольной силы. Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений. Закон Гука при растяжении и сжатии. Модуль продольной упругости. Кручение. Эпюры крутящих моментов. Деформации изгиба. ВСФ при изгибе. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Фрикционные передачи, Назначение. Область применения. Преимущества и недостатки. Вариаторы. Ременные передачи. Назначение. Виды ремней. Типы передач. Область применения. Достоинства, недостатки. Передачи: определение, назначения, классификация. Устройство. Подшипники. Устройство, назначение, классификация, область применения. Оси. Назначение, расчет. Муфты. Назначение, классификация, расчет. Механизм, машина, деталь. Требования, предъявляемые к машинам. Назначение механических передач и их классификация. Передаточное отношение и передаточное число. Общие сведения о зубчатых передачах. Достоинства, недостатки. Виды зубчатых колес Характеристики, классификация и область применения зубчатых передач. Подрезание зубьев. Коррегирование. Прямозубые цилиндрические передачи. Делительная окружность. Модуль. Межосевое расстояние. Клиноременная передача. Достоинства, недостатки Червячные передачи. Принцип работы. Достоинства, недостатки. Виды червяков. Виды расчетов червячных передач. Цепные передачи. Принцип работы. Достоинства, недостатки. Составляющие передачи. Валы, их назначение и классификация. Элементы вала. Узел, рабочий орган машины. Виды передач. Функции передач. КПД передачи. Практические задачи , выносимые на экзамен по дисциплине «Техническая механика» Построение эпюр крутящих моментов, определение диаметра вала на каждом участке и полный угол закручивания. Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений. Определение положения центра тяжести тонкой однородной фигуры. Определение реакции опор балки. Определение главного вектора и главного момента системы сил. Определение момента сил относительно точки. Определение величины и направления равнодействующей силы. [/tab_pane][tab_pane]Глоссарий Сила векторная величина, описывающая взаимодействие материальных точек. Абсолютно твёрдое тело тело не подвергающееся деформации, с постоянными размерами. Равномерно распределённая нагрузка или вес сила приходящаяся на единицу площади или линии, с которой гравитация, воздух, вода или что-либо подобное действуют такие объекты, как машина, лодка или самолёт. Равнодействующая двух или более сил оказывает такое же действие на тело, как и данные силы. Эквивалентные системы сил системы сил, под действием каждой из которых твёрдое тело находится в одинаковом кинетическом состоянии. Уравновешивающая сила сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии её действия в противоположную сторону. Закон параллелограмма равнодействующая двух пресекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. Кинематика раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение. Механическое движение изменение расстояния между телами. Скорость векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта. Вектор скорости первая производная радиуса вектора по времени. Ускорение точки характеризует “быстроту’ изменения модуля и направления скорости точки. Вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. Поступательное движение твердого тела движение, при котором прямая, проведенная в теле остается параллельной самой себе. Вращательное движение тела движение, при котором по крайней мере две точки, неизменно связанные с телом, остаются неподвижными. Плоскопараллельное или плоское движение твердого тела движение, при котором траектории всех точек тела остаются параллельными некоторой неподвижной плоскости. Абсолютное движение движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета. Относительное движение движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Переносным движением движение точки подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета. Кориолисово, или поворотное, ускорение составляющая абсолютного ускорения точки в сложном движении, равная удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки. Сферическое движение твердого тела движение при котором точка, неизменно связанная с телом, остается неподвижной. Второй закон динамики Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы координат прямо пропорционально силе, приложенной к точке, и обратно пропорционально ее массе. Третий закон динамики. Силы, описывающие взаимодействие двух точек, равны по величине, направлены по прямой, соединяющей точки, и противоположны. Первый закон динамики (закон инерции Галилея) В пространстве существует система координат S, относительно которой всякая изолированная материальная точка находится в покое или в состоянии равномерного прямолинейного движения. Первая задача динамики Зная массу точки m и уравнения ее движения найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке. Вторая задача динамики Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу m, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки. Несвободная материальная точка точка, свобода движения которой ограничена. Связи тела, ограничивающие свободу движения точки. Голономная связь связь, выражаемая или конечным соотношением между координатами точки, т. е. уравнением, не содержащим никаких производных от координат, или интегрируемым дифференциальным уравнением. Система материальных точек, или механическая система совокупность точек, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Внешние силы силы, действующие на точки системы со стороны материальных точек, не входящих в состав данной системы. Внутренние силы силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы. Момент инерции твердого тела относительно оси скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси. Количество движения материальной точки вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки т на модуль скорости ее движения v. Кинетическая энергия механической системы сумма значений кинетической энергии всех входящих в эту систему материальных точек. Момент инерции характеристика инертности тела при вращательном движении. Принцип Германа-Эйлера-Даламбера называют общий метод, при помощи которого уравнениям динамики по форме придается вид уравнений статики. Динамические составляющие реакций подпятника и подшипника равны нулю в том случае, если ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела. Обобщенные координаты независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы. Сопротивление материалов экспериментально-теоретическая наука о расчете элементов конструкций и простейших конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Расчет на прочность определение размеров элементов конструкций или выбор материала, чтобы данный элемент (деталь) при работе под нагрузкой не разрушилась. Расчет на жесткость определение размеров элементов конструкций или выбор материала, чтобы данный элемент (деталь) при работе под нагрузкой не деформировалось более, чем это допустимо для нормальной работы детали. Расчет на устойчивость определение размеров элементов конструкций или выбор материала, чтобы данный элемент (деталь) при работе под нагрузкой не терял устойчивости, то есть не переходил из одной формы равновесия «прохлопыванием» в другую форму равновесия с большими деформациями, недопустимыми для нормальной работы детали. Гипотеза плоских сечений гипотеза Бернулли. Плоскость до изгиба и после изгиба остаётся плоскостью. Подшипники качения опоры вращающихся или качающихся деталей, использующие элементы качения и работающие на основе трения качения. Муфты устройства, обеспечивающие передачу крутящего момента между соосными валами, приближённо соосными или с взаимнонаклонёнными пересекающимися осями. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ раздел «Теоретическая механика m – масса; F (Fx, Fy, Fz) – сила (составляющие силы по координатным осям); М – момент силы (момент пары); q – интенсивность распределенной нагрузки; R (X, Y, Z) – реакция (реактивная сила); MR – реактивный момент в жесткой заделке; T – сила натяжения гибкой связи (каната, троса, ремня); F∑– равнодействующая сила; М∑ – равнодействующий момент; Fт – сила трения; Mт – момент трения; G – сила тяжести; Fи – сила инерции; f – коэффициент трения скольжения; А – площадь; Sx – статический момент площади относительно оси х; V – объем; С – центр тяжести; W – работа силы (момента силы); P – мощность силы (момента силы); l (lAB) – длина (длина между точками A и В); t – время; s – перемещение, путь; v – скорость; а – ускорение; an (at) – нормальное (тангенциальное) ускорение;  – угол поворота;  – угловая скорость; рад/с  – угловое ускорение; n – частота вращения вала, об/мин; P – мощность;  – коэффициент полезного действия (КПД). Основные обозначения раздел «Сопротивление материалов» [] – допускаемое нормальное напряжение (общее обозначение); [р] – то же, при растяжении; [с] – то же, при сжатии; [см] – то же, при смятии; В – предел прочности; Вр (Вс) – предел прочности при растяжении (при сжатии); т – предел текучести; max (max) – наибольшее напряжение в поперечном сечении бруса; пц – предел пропорциональности; [] – допускаемое касательное напряжение; [кр] – допускаемое напряжение при кручении; [ср] – то же, при срезе;  – угол закручивания бруса при кручении; [0] – допускаемый относительный угол закручивания; Е – модуль продольной упругости; Jx, Jy – главные центральные моменты инерции; Jp – полярный момент инерции; Мх, – изгибающий момент в поперечном сечении бруса относительно оси х; Мизг – изгибающий момент, суммарный для бруса круглого поперечного сечения; Мкр – крутящийся момент в поперечном сечении бруса; N, – продольная сила в поперечном сечении бруса; s [s] – коэффициент запаса прочности (нормативный); Qy, Q – поперечная сила, действующая вдоль оси у или суммарная. Практические работы по дисциплине «Техническая механика» Практические работы по разделу: «Теоретическая механика» Практическая работа № 1 Тема: Определение равнодействующей системы сил и уравновешивающей силы. Цель: Уметь определить проекции сил на координатные оси; находить числовое значение и направление равнодействующей силы. Ход занятия: Повторить тему: «Определение проекций силы на координатные оси». Определить равнодействующую системы сил и уравновешивающую силу, согласно параметрам вашего варианта. Вариант № 1 Вариант № 5 Вариант № 2 Вариант № 6 Вариант № 3 Вариант № 7 Вариант № 4 Практическая работа №2- №3 Тема: Определение реакций связей. Цель: Научиться определять реакции всех типов связей. Ход занятия: 1)Повторить Г.Г.Сафонова, стр. 21-22 2)Определить силы, нагружающие стержни кронштейна, согласно параметрам вашего варианта. № Вариант F₁, кH F₂, кH № вариант F₁, кH F₂, кH 1 15 5 6 11 5 2 5 9 7 3 7 3 11 7 8 15 3 4 13 7 9 3 9 5 7 3 10 6 16 Практическая работа №4-№5 Тема: Решение задач на равновесие плоской системы сходящихся сил (аналитический и геометрический методы). Цель: Научится определить равновесие плоской системы сходящихся сил аналитическим методом. Ход занятия: 1)Повторить Г.Г.Сафонова, стр. 21-22 2)Определить силы ,нагружающие стержни кронштейна, согласно параметром вашего варианта аналитическим методом № варианта F₁,кH F₂,кH № варианта F₁, кH F₂, кH 1 20 6 6 14 4 2 4 10 7 2 8 3 12 6 8 18 4 4 16 8 9 4 12 5 10 4 10 3 9 Практическая работа № 6 Тема: Условие равновесия системы пар сил. Цель: 1)Научиться определить момент силы относительно точки. 2)Научиться определить главный вектор и главный момент системы. Ход занятия: 1)Повторить В.П. Олофинская, стр. 28-31 2)Определить главный вектор и главный момент системы сил согласно параметрам вашего варианта № варианта Точка прив. АВ,м ВС,м СД,м F₁,кH F₂,кH F₃,кH М,кН•м 1 А 1 0.5 2.5 10 8 12 10 2 В 2 0.8 2 5 6 15 5 3 С 1.5 1 1.8 3 4 6 8 4 Д 2.5 1.2 1.5 8 2 8 4 5 А 0.8 1.5 1 4 1 10 9 6 В 0.5 2 1.2 6 3 4 6 7 С 1 2.5 0.8 3 5 2 2 8 Д 1.2 0.8 0.9 9 7 12 7 9 А 1.5 0.5 2 7 9 14 3 10 В 0.7 1 1.2 2 10 6 4 3)Определить момент результирующей пары: № вариант F₁,кH F₂,кH № вариант F₁,кH F₂,кH 1 3 5 6 8 10 2 1 2 7 3 4 3 5 6 8 7 8 4 9 10 9 11 12 5 13 14 10 15 18 Практическая работа № 7-8 Тема: Определение опорных реакций балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок. Цель: Уметь определять опорные реакции балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок Ход занятия: Повторить тему «Плоская система произвольно расположенных сил». Определить опорные реакции балки на двух опорах по данным вашего варианта Практическая работа №9 Тема: Определение момента силы относительно оси. Цель: Научиться определить реакции, возникающие в подшипниках Ход занятия: 1)Повторить Г.Г.Сафонова, стр. 43 2)Определить вертикальное окружное Р₂ и радиальное Q₂ усилия, действующие в положении равновесие на второе колесо, а так же реакции обоих подшипников. (Q₂=0,364 Р₂) (Q₁=0.364 Р₁) № вариантa d₁, мм d₂, мм P₁, н № вариантa d₁, мм d₂, мм P₁, н 1 200 300 1800 6 250 350 1600 2 250 300 1600 7 300 350 1800 3 300 350 1500 8 400 200 1500 4 350 400 2000 9 350 250 1400 5 350 450 1900 10 400 450 1600 Практическая работа № 10 Тема: Определение центра тяжести сложных геометрических фигур. Определение центра тяжести тел, составленных из стандартных профилей. Цель: Знать методы определения центра тяжести тела и плоских сечений, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений. Уметь определить положение центра тяжести сложных геометрических фигур, определять положение центра тяжести фигур, составленных из прокатных профилей. Ход занятия: Повторить Г.Г. Сафонова, стр.44-52 Определите центр тяжести фигур, изображенных на рисунке. Задание № 1 Задание № 2 Практическая работа № 11 Тема: Определение ускорения точки. Цель: Научиться определить кинематические величины движущейся точки. Ход занятия: 1)Повторить В.П.Олофинская, стр. 71-76 2)Движение точки прямолинейной траектории описывается уравнением (смотрите задание вашего варианта). Определить скорость и ускорение точки в начале движения. В какие моменты времени скорость и ускорение точки равны нулю? Построить графики перемещения, скорости и ускорения сил первых пяти секунд движения (t-c; s-м) № вариантa Уравнение движения № вариант Уравнение движения 1 S=0,2t³-t²+0,6t 6 S=0,4t³-0,8²t+0,8t 2 S=0,4t³-2²t+t 7 S=0,6t³+0,6t²-0,4t 3 S=0,3t³+4t²+0,2t 8 S=0,8t³-0,4t²+0,2t 4 S=0,2t³+0,4t²+0,3t 9 S=t³+0,2t²-0,6t 5 S=0,5t³+0,8t²-t 10 S=0,2t³-t²+0,5t Практическая работа № 12 Тема: Решение задач по определению характеристик вращательного движения. Цель: Научиться определять характеристики вращательного движения. Ход занятия: Повторить В.П. Олофинская, стр. 79-85 Частота вращения шкива диаметром d меняется согласно графику. Определить полное число оборотов шкива за время движения и среднюю угловую скорость за это же время. Построить график угловых перемещений и угловых ускорений шкива. Определить ускорение точек обода колеса момент вращения t1 и t2. Параметр Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d, м 0,2 0,3 0,4 0,6 0,5 0,8 0,2 0,6 0,5 0,8 t1, c 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t2, c 8 9 8 9 8 6 9 8 9 6 Задание 2. Движение груза А задано уравнением у = аt2 + вt + c, где [у]=[м]; [t]=[c]. Определить скорость и ускорение груза в момент времени t1 и t2, а также скорость и ускорение точки В на ободе барабана лебёдки. Параметр Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a, м/с2 2 0 3 0 3 3 2 0 4 0 в, м/с 0 3 4 2 0 4 0 3 4 2 с, м 3 4 0 5 2 0 4 2 0 3 r, м 0,2 0,4 0,6 0,8 0,5 0.4 0,3 0,2 0,8 0,6 t1 , с 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 t2, с 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 Практическая работа № 13 Тема: Решение задач по теореме «Сложение скоростей» Цель: Научиться определять скорость точки методом «Сложения скоростей» Ход занятия Пример. Колечко М движется по вращающемуся стержню так, что (см) и (рад). Определить относительную VR , переносную Ve и абсолютную Vм скорости колечка. Ранее было установлено, что тра¬ектория относительного движения – прямая линия, сов¬падающая со стерж¬нем, и движение это определяется уравнением . Траектория пе¬реносного движения точки М в мо-мент времени t – окружность радиуса . Поэтому относительная ско¬рость . И направлена по ка¬сательной к траектории вдоль стержня. Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси, . Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню. Абсолютная скорость колечка . Величина ее, т.к. . Решите задачу, используя параметры вашего варианта № варианта S, см φ, рад 1. S= 2t2 2t 2. S= 4t2 3t 3. S= 8t2 4t 4. S=t2 5t 5. S= 10t2 6t 6. S= 9t2 7t 7. S= 7t2 8t 8. S= 6 t2 9t 9. S= 5 t2 2t 10. S= 3t2 3t Практическая работа № 14 Тема: Решение задач по определению скоростей точек методом мгновенного центра скоростей. Цель: Научиться определять скорость точек методом мгновенного центра скоростей. Ход занятия Мгновенный центр скоростей, или сокращенно МЦС, есть точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Мгновенный центр скоростей обозначается буквойР (рис. 29). Скорости точек плоской фигуры распределены так, как если бы фигура совершала вращательное движение вокруг оси, проходящей через МЦС перпендикулярно плоскости движения. Поэтому скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна отрезку, соединяющему эту точку с МЦС, а модуль скорости равен произведению угловой скорости тела на расстояние точки до МЦС, т.е. (см. рис. 29). Рис. 29 и ; (61) и ; и и т. п. Отсюда и т.п. (62) Из анализа формул (61) и (62) видно, что для определения скоростей надо знать положение МЦС и скорость одной какой-нибудь точки (последнее нужно для определения ). Рассмотрим основные способы нахождения положения МЦС. а) В некоторых случаях удается сразу указать точку плоской фигуры, скорость которой в рассматриваемый момент времени равна нулю. Эта точка и есть МЦС. Так, в случае качения без скольжения тела по неподвижной поверхности точка соприкосновения тела с поверхностью является мгновенным центром скоростей (рис. 30). Примером служит качение колеса по рельсу. б) Если известны направления скоростей каких-нибудь двух точек плоской фигуры в данный момент, то МЦС находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных в этих точках к направлениям скоростей (перпендикуляры АР и ВР на рис. 31). Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32 в) Если скорости точек А и В (рис. 32) взаимно параллельны, а точки лежат на общем перпендикуляре к скоростям, то МЦС (точка Р) находится на пересечении указанного общего перпендикуляра АВ и прямой 1–1, проведенной через концы векторов скоростей этих точек. Это следует из соотношения (62). г) Если скорости двух точек А и В (рис. 33) параллельны, а точки не лежат на общем перпендикуляре к скоростям, то МЦС находится в бесконечности. В этом случае имеем мгновенное поступательное движение плоской фигуры. Угловая скорость фигуры при таком движении равна нулю. Действительно, из формулы (62) Рис. 33 Скорости всех точек фигуры в этом случае одинаковы по величине и направлению: . Отметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны. Укажем последовательность определения скоростей с использованием мгновенного центра скоростей. 1. Изобразить на чертеже тело (плоскую фигуру) в заданном положении и найти мгновенный центр скоростей одним из рассмотренных выше способов. 2. Указать направления векторов скоростей точек фигуры и записать формулы для вычисления их модулей в соответствии с (61). 3. Определить угловую скорость по формуле (62), учитывая, что скорость одной какой-либо точки задана по условию задачи. 4. Вычислить искомые модули скоростей точек по формулам (61). Пример 24. Колесо радиусом R = 0,5 м катится без скольжения по прямому рельсу (рис. 34). Скорость центра колеса в данный момент времени VC = 2 м/с. Определить угловую скорость колеса и скорости концов горизонтального и вертикального диаметров. Рис. 34 Решение: 1. Мгновенным центром скоростей является точка Р касания колеса с рельсом (см. способ (а) нахождения МЦС). 2. Направления векторов скоростей точек определяются как при вращательном движении колеса вокруг Р: Их модули: 3. Учитывая, что скорость точки С задана (VС = 2 м/с), определим угловую скорость колеса 4. Вычислим искомые модули скоростей по написанным выше формулам (п. 2): м/с; м/с; м/с. Определить угловую скорость колеса и скорости концов горизонтального и вертикального диаметров, используя параметры вашего варианта: № варианта R, м V, м/с 1 1 3 2 1,5 3 3 2 4 4 2,5 5 5 1 6 6 1,5 4,5 7 2 5 8 2,5 7,5 9 1 2,5 10 1,5 1,5 Практическая работа № 15 Тема: Решение задач по определению параметров движения с использованием аксиом динамики. Цель: Научиться определять силу, действующую на тело, массу, время, используя аксиомы динамики. Ход задачи: Повторить В. П. Олофинская , стр. 93-95. Решить задачи, используя параметры вашего варианта. А) Тело массой m под действием силы F движется равноускоренно по горизонтальному пути с начальной скоростью V0. Определить время t, необходимое для достижения скорости V и ускорения а. Б) Какую силу нужно приложить к телу массой m, движущемуся по горизонтальному пути, чтобы на пути S его скорость уменьшилась с V до V0. Найти время движения тела до полной остановки. В) Тело, двигаясь со скоростью V, под действием силы F, остановилось за 10 с. Определить массу тела. № (варианта) m, кг F, H V0, км/ч V, км/ч S, м 1 2 100 20 50 100 2 5 200 30 100 200 3 10 300 50 120 100 4 3 100 60 90 200 5 4 200 72 100 100 6 6 300 100 120 200 7 8 100 120 150 100 8 9 200 40 80 200 9 12 300 70 90 100 10 14 100 80 120 200 Практическая работа № 16 Тема: Решение задач методом кинетостатики. Определение сил инерции и величин ее составляющих Цель: Уметь определять силы инерции и величины ее составляющие методом кинетостатики Ход занятия: Повторите тему «Динамика». Решите задание вашего варианта, используя метод кинетостатики. Автомобиль массой m1 , трогаясь с места, достигнет скорости V1 через 20 с. Найти силу тяги, если коэффициент сопротивления f. Груз массой 600 кг, подвешенный на стальном канате, спускается вниз с ускорением а. Найти натяжение стального троса. Автомобиль массой m3 проезжает по мосту с радиусом кривизны R со скоростью V2. Каков вес автомобиля в середине выпуклого моста. № варианта m1 Т V1 м/с t,с f m2 кг а, м/с m3 Т R, м V2 км/ч 1 1 30 20 0,05 600 1,8 3 40 54 2 1,2 32 21 0,06 500 2 3,2 42 60 3 1,4 28 19 0,05 650 1,9 3,4 44 62 4 1,3 31 20 0,06 550 2 3,3 46 64 5 1,5 29 20 0,05 400 2 3,1 48 66 6 1,1 25 15 0,06 450 2,2 3,5 50 68 7 1,6 20 12 0,05 420 1,8 2,8 52 52 8 1,7 22 14 0,06 520 2 2,9 54 50 9 1,8 26 16 0,05 650 2 2,6 56 48 10 1,9 28 18 0,06 620 1,8 2,5 58 46 Практическая работа № 17 Тема: Решение задач по определению механической работы и мощности. Цель: Научиться рассчитывать механическую работу и мощность. Ход занятия: Повторить В. П. Олофинская , стр. 109-119. Тело массой m поднимают по наклонной плоскости. Определите работу при перемещении на S м с постоянной скоростью. Коэффициент трения ƒ. Определить потребляемую мощность мотора лебёдки для подъёма груза весом P на высоту h за время t, КПД механизма лебёдки η Задача №1 Задача №2 № варианта m,кг S, м f P, кН h, м t, c η 1 200 10 0,15 3 10 3 0,75 2 100 20 0,2 4 20 4 0,8 3 250 30 0,25 5 30 5 0,75 4 200 40 0,15 6 40 2,5 0,8 5 100 10 0,2 3 10 3 0,75 6 250 20 0,25 4 20 3,5 0,8 7 300 30 0,15 5 30 4 0,75 8 100 40 0,2 6 40 4,5 0,8 9 200 10 0,25 3 10 2,5 0,75 10 300 20 0,15 4 20 3 0,8 Практическая работа № 18 Тема: Определение кинетической энергии различных видов движения. Цель: Научиться рассчитывать кинетическую энергию различных видов движения. Ход занятия: Повторить лекцию «Механическая энергия. Закон сохранения и превращения энергии». Решить задачи, используя параметры вашего варианта. Задача №1. Кинетическая энергия тела в момент бросания равна Ек. Определить, на какую высоту над поверхностью Земли может подняться тело, если его масса равна m. Задача №2. При подготовке игрушечного пистолета к выстрелу, пружину с коэффициентом жёсткости (k) сжали на (х) см . Какую скорость приобретает пуля массой m0 при выстреле в горизонтальном направлении. Задача №3. Тело, брошенное вертикально вверх, упало обратно через t с после начала движения. Определите кинетическую энергию в момент падения и потенциальную энергию в верхней точке, если масса тела m. Сопротивление воздуха не учитывать. № варианта Ек, Дж m, г k, Н/м х, см m0, Г t, c 1 200 500 800 5 20 5 2 300 600 850 4 25 6 3 400 500 750 5 20 7 4 500 600 800 4 25 8 5 600 500 850 5 20 5 6 700 600 750 4 25 6 7 800 500 800 5 20 7 8 900 600 850 4 25 8 9 200 500 750 5 20 5 10 300 600 800 4 25 6 Практические работы по разделу: «Сопротивление материалов» Практическая работа № 1 Тема: Определение продольных сил и нормальных напряжений, построение эпюр. Цель: Уметь определять значение продольных сил и нормальных напряжений; строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Ход занятия: Повторить Г.Г. Сафонова, стр.59 – 81; Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений Практическая работа №2 Тема: Расчеты на срез и смятие. Цель: 1. Знать условие прочности при срезе и смятии. 2. Уметь проводить расчеты на срез и смятие. Ход занятия: Повторить В.П. Олофинская , стр. 202-205. Проверить прочность заклёпочного соединения на срез и смятие, согласно параметрам вашего вариант № варианта F, кН [τс],,MПа [σс], МПа № варианта F,кН [τс],MПа [σс], МПа 1 60 100 240 6 50 100 260 2 50 110 260 7 40 110 230 3 40 120 230 8 70 120 250 4 60 130 250 9 60 130 240 5 30 90 240 10 50 90 260 Практическая работа № 3 Тема: Построение эпюр крутящих моментов, расчеты на жесткость и прочность при кручении. Цель: Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения бруса, условие прочность и жесткости при кручении. Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость. Ход занятия: Повторить В.П. Олофинская, стр. 223 – 229. - Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для предложенной в задании схемы. - Выбрать рациональное расположение колес на валу и дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами. - Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полученных значений, округлив величину диаметра до ближайшего четного или оканчивающегося на 5. При расчете использовать следующие данные . Материал вала – сталь. Практическая работа №4 Тема: Определение осевых, центробежных и полярных моментов инерции. Цель: 1. Знать формулы моментов инерции простейших сечений. 2.Знать способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей. Ход занятия: Повторить В.П. Олофинская, стр. 208-215. Вычислить главные центральные моменты инерции сечений, представленных на схемах. При расчётах воспользоваться данными таблицы, выбрав необходимые величины. Параметр Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d1,мм 72 80 88 96 98 72 76 88 96 104 d2,мм 12 14 16 18 10 12 1416 18 18 20 h,мм 72 80 88 96 98 72 76 88 96 104 в, мм 36 42 48 54 60 36 42 48 4 60 а, мм 48 52 56 60 58 48 48 56 60 64 h1, мм 16 18 20 22 24 16 18 20 22 24 в1, мм 32 36 40 44 48 32 46 40 44 48 h2, мм 6 8 10 6 8 10 6 8 10 6 Практическая работа № 5 Тема: Расчеты на прочность при изгибе. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Цель: Знать распределение нормальных напряжений при чистом изгибе, расчетные формулы. Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений. Ход занятия Повторить В.П. Олофинская, стр.239 – 269 Для изображенных балок построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Сечение балок – сдвоенный двутавр. Материал – сталь, допускаемое напряжение изгиба 160 МПа. Проверить прочность балок. В случае, если прочность не обеспечена, подобрать сечение большего размера. В вариантах 1 – 5 использован двутавр № 20 В вариантах 6 – 10 – двутавр № 30 Практическая работа № 6 Тема: Определение напряжений в поперечных сечениях бруса. Цель: Уметь определять наибольшее нормальное напряжение в опасном сечении балок, определять наибольшее растягивающее и сжимающее напряжения; подбирать сечения балок. Ход занятия: Повторить Г.Г. Сафонова, стр. 147 – 165 Определить наибольшее нормальное напряжение в опасном сечении балок; определить наибольшее растягивающее и сжимающее напряжения; подобрать сечение в виде круга, если Ry = 210 МПа Практическая работа №7 Тема: Расчёт бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением. Цель: Научиться рассчитывать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций. Ход занятия: Повторить В.П. Олофинская, стр. 262-269. Для промежуточного вала редуктора, передающего мощность P при угловой скорости ω, определить вертикальную и горизонтальную составляющие реакций подшипников, построить эпюры крутящего момента и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определить диаметр вала по сечениям, приняв [σ]= 60 МПа и пологая Fr=0,364Ft. Расчет произвести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Параметры Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P, кВт 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 ω,рад/с 70 65 62 34 54 50 46 42 38 34 а, мм 60 70 80 58 100 60 70 80 90 100 d1,мм 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 d2,мм 250 240 230 220 210 200 19 180 170 160 Практическая работа № 8 Тема: Расчеты на усталость при одноосном и упрощенном напряженном состоянии и при чистом сдвиге. Цель: Знать факторы, влияющие на сопротивление усталости; основы расчета на прочность при переменных напряжениях. Ход занятия: Повторить В.П. Олофинская, стр. 301 – 305 Определить при [ ] = 70 МПа требуемый диаметр троса, на котором подвешен груз массой m, поднимаемый с постоянным ускорением a. Массу троса не учитывать. Необходимые данные возьмите из таблицы. № варианта m, T a, № варианта m, T a, 1 1 10 6 6 5 2 2 9 7 7 4 3 3 8 8 8 3 4 4 7 9 9 2 5 5 6 10 10 1 Практическая работа № 9 Тема: Определение критической силы для сжатого бруса большой гибкости. Цель: Уметь определять допускаемое значение сжимающей силы для центрально-сжатого стержня. Ход занятия: Повторить Г.Г. Сафонова, стр. 188-196 Определить величину допускаемого значения центрально-сжимающей силы по данным вашего варианта. Материал для стержня сталь марки С-345 Практические работы по разделу: «Детали машин» Практическая работа № 1. Тема: Определение типа и общего передаточного числа многоступенчатой последовательно соединенной передачи. Цели: Научиться определять тип и общее передаточное число многоступенчатой последовательно соединенной передачи. Ход занятия: Повторить В.П Олофинская, стр. 8-11. Задача 1. Определить тип и общее передаточное число многоступенчатой последовательно соединенной передачи. Дано: две пары колес с зубьями.Первая пара: z2 - число зубьев ведомого колеса = 12; z1 – число зубьев шестерни (ведущего колеса) = 6; вторая пара: z3 - число зубьев ведомого колеса = 16; z4 – число зубьев шестерни (ведущего колеса) = 12; Пример решения задачи. 1. Определяем тип передачи – пары колес с зубьями – это зубчатая передача. 2. Определяем передаточное число первой пары и1 =z2 /z1 = D2 / D1, =12\6 =2 3. Определяем передаточное число второй пары и1 =z4 /z3 = D2 / D1, =16\12 =1,33 4. Определяем общее передаточное число передачи иобщ = и1 и2 и… = 2 х 1,33 = 2,7 5. Определяем тип передачи, проверяя условие при и > 1 – передача понижающая, при и < 1 –повышающая. 2,7 > 1 – передача понижающая
Ответ: Многоступенчатая последовательно соединенная передача является понижающей с общим передаточным числом иобщ = 2,7.

Задача 2.
Определить тип и общее передаточное число многоступенчатой последовательно соединенной передачи. Дано: две передаточные пары.Первая пара: z1 — число заходов червяка = 5; z2 – число зубьев колеса = 25; вторая пара: z3 — число зубьев ведомого колеса = 12; z4 – число зубьев шестерни (ведущего колеса) = 25;
Пример решения задачи.
1. Определяем тип передачи – пара: колесо с зубьями и червяк – это червячная передача; пара колес с зубьями — зубчатая передача.
2. Определяем передаточное число первой пары и =z2 /z1, = 25\ 5 = 5; где z1 — число заходов червяка; z2 – число зубьев колеса.
3. Определяем передаточное число второй пары
и1 =z4 /z3 = D2 / D1, =25\12 =2,08
4. Определяем общее передаточное число передачи иобщ = и1 и2 и… = 5 х 2,08 = 10,4
5. Определяем тип передачи, проверяя условие при и > 1 – передача понижающая, при и < 1 – повышающая. 10,4 > 1 – передача понижающая
Ответ: Многоступенчатая последовательно соединенная передача является понижающей с общим передаточным числом иобщ = 10,4.

3. Определить тип и общее передаточное отношение многоступенчатых последовательно соединенных передач;

Варианта Тип передач
2 зубчатых передачи Червячная и зубчатая передачи
Z2 Z1 Z3 Z4 Z1 Z2 Z3 Z4
1 15 30 25 12 5 20 12 22
2 12 18 20 30 3 18 14 24
3 14 20 12 25 4 25 16 25
4 16 22 25 18 2 18 18 24
5 18 30 25 14 5 16 20 22
6 20 25 20 12 3 14 22 20
7 25 12 25 18 4 12 24 18
8 20 18 16 25 2 14 25 16
9 18 12 20 25 5 16 26 14
10 16 25 20 14 3 18 28 12

Практическая работа № 2
Тема: Расчет фрикционных передач.
Цель: Знать формулы для расчета передаточного отношения передачи, силы трения, момента трения, усилия нажатия пружины.
Ход занятия:
Повторить В.П.Олофинская стр 12-16.
Основные характеристики фрикционной передачи
Передаточное число без учета проскальзывания
u=(ω₁)/(ω₂)=(D₂)/(D₁)
Cила трения в контакте
Ff=ƒQ,
где f ─ коэффицент трения; Q ─ сила прижатия.
Создаваемый момент трения
Tf=Ff D/2 = ƒQ D/2; Tf=T₁

Сила прижатия
Q=(2KT_1)/( ƒD₁)

где К ─ коэффицент запаса сцепления.
Передаточное число фрикционной передачи с учетом скольжения

U=(D₂)/(D₁(1-ε))

где ε ─ коэффицент скольжения:
ε =(υ₁-υ₂)/(υ₁)
где υ₁, υ₂ ─ линейные скорости в точке контакта. Обычно ε=0,002…0,05.

Расчет на прочность фрикционной передачи
Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи представлена на рисунке. Контактные напряжения передач с контактом по линии определяют по формуле Герца
σ_н= √((qE_пр)/(2π(1-μ^2)ρ_пр )) q= QK/l ; l= 2πR_1
Где q- нормальная нагрузка по длине контактной линии; Q — сила прижатия катков;
К- коэффициент запаса сцепления( коэффициент нагрузки), К= 1,25…2; l- длина контактной линии;
ρ_пр- приведенный радиус кривизны:
ρ_пр= (R_1 R_2)/(R_1+R_2 ) R1=D_1/2 R2=D_2/2
Eпр— приведенный модуль упругости, Eпр=(2E₁E₂)/(E₁+E₂) ;
µ—коэффициент поперечной деформации.
При µ=0,3 получим условие прочности по кантактным напряжениям:

σ=0,418√(qEпр/ρ_пр )≤[ơ σ_н ],

где [ơ σ_н ]—допускаемое контактное напряжение для менее прочного материала
катков.

Проверить на прочность фрикционную передачу, согласно параметрам вашего варианта.


варианта Q,кН D1,мм D2,мм Е₁,Г Па Е₂,Г Па [σ_н],МПа
1 9 120 240 115 150 650
2 8 110 220 120 120 650
3 7 100 200 160 140 650
4 6 90 180 125 115 650
5 5 90 180 130 120 650
6 10 120 240 135 150 650
7 9 110 220 140 130 650
8 8 100 200 145 135 650
9 7 90 200 150 145 650
10 6 100 180 155 125 650

Практическая работа № 3
Тема: Расчет зубчатых передач.
Цель: Знать геометрические, кинематические и силовые соотношения цилиндрических зубчатых передач; формулы для расчета усилий в зацеплении; формулы для расчета прямозубых передач на изгиб и контактную прочность; обозначения, физический смысл и порядок определения всех входящих коэффициентов: коэффициентов нагрузки, коэффициента ширины колеса, коэффициента формы зуба, допускаемых напряжений.
Ход занятия
Повторить В.П. Олофинская «Детали машин», стр. 22-26.
Рассчитайте зубчатую передачу, согласно параметрам вашего варианта.

Номера вариантов к контрольной работе
№ Мощность Р, кВт Частота
ω1, рад/с Частота
ω2, рад/с z1 Коэффициент
YF1
1 5,5 100 20 22 3,98
2 6 100 20 22 3,98
3 5,2 100 20 22 3,98
4 6,1 100 20 20 4,07
5 5 100 20 20 4,07
6 5,4 100 20 20 4,07
7 6 100 20 17 4,26
8 5,5 100 20 17 4,26
9 5 90 30 17 4,26
10 6 110 25 35 3,75
11 5,5 110 25 40 3,7
12 5 80 20 17 4,26
13 6,2 90 20 20 4,07
14 5 85 25 22 3,98
15 5,2 100 25 24 3,92
16 5,4 70 20 28 3,81
17 6,4 105 30 35 3,75
18 6,3 110 30 17 4,26
19 5 90 20 20 4,07
20 6 100 25 40 3,7
21 5,1 95 20 35 3,75
22 5,3 80 20 28 3,81
23 6,5 110 25 24 3,92
24 6,4 105 20 22 3,98
25 6,3 95 20 20 4,07
26 6,2 100 20 50 3,65
27 5,8 85 20 22 3,98
28 5,6 70 25 20 4,07
29 5,9 100 25 24 3,92
30 6 110 25 40 3,7

Задание № 1

Тема: «Расчет зубчатой передачи на изгиб»
Порядок выполнения:
Определяется передаточное отношение

Выбирается материал и допускаемое напряжение

Задается число зубьев Z1
Z1≥17
Определяется модуль

YF1 – коэффициент формы зуба

Округляется модуль до стандартного, определяются геометрические размеры колес и усилия в зацеплении

Выполняется проверочный расчет

Задание №2

Тема: «Расчет зубчатой передачи на контактную прочность»
Порядок выполнения:
Определяется передаточное отношение

Выбирается материал, вид термообработки и допускаемое напряжение

Определяется требуемое межосевое расстояние

Округляется aω до стандартного и определяется модуль:

Определяется суммарное число зубьев

Определяется число зубьев шестерни и колеса

Уточняется передаточное число

Определяем размеры колес и усилия в зацеплении:

Выполняется проверочный расчет

Практическая работа № 4
Тема: Расчет передачи винт — гайка
Цель: Знать виды разрушений и критерии работоспособности; формулы для кинематического и геометрического расчетов.
Ход занятий:
Повторить В.П.Олофинская, стр. 35-37.

Передаточное отношение передачи винт — гайка

ί=πD/P_h ,

где D — диаметр маховика; Ph —ход винта: P_h= рz, где р — шаг резьбы; z — число заходов резьбы.
Ведущим звеном может быть как винт, так и гайка.
Скорость поступательного движения, мм/с, в зависимости от угловой скорости ω, рад/с, винта
υ=ω/(2 π) P_h
Материалы
Винты изготовляют из стали 45 или 50, а гайки из оловянных бронз БрО10Ф0,5 и Бр6Ц6С3.
Тяжелонагруженные передачи качения изготовляют из хромистых сталей, закаленных до твердости 61 HRC (XВГ, 8ХВ и др.).
Силовое соотношение в передаче винт —гайка
Окружная сила на маховике
Ft =F_(a ) iη
где F_(a )- осевая сила на гайке; ί — передаточное отношение передачи;
η — КПД передачи: η =tgψ/tg(ψ+φ) ,
где ψ —угол подьема винтовой линии; ƒ = tgφ^/ — коэфицент трения;
φ^/=arctgƒ.

Критерии работоспособности и расчет передачи винт — гайка
Основным критерием работоспособности является износостойкость резьбы. Для уменьшения износа применяют антифрикционные пары материалов ( сталь—бронза, сталь— чугун), смазку поверхностей, малые допускаемые напряжения смятия.
Резьбу проверяют на смятие. Рассчитывают среднее давление на поверхности витков из условия невыдавливания смазочного материала. Прочность тела гайки рассчитывают из условия прочности на растяжение. Винты проверяют на сжатие и устойчивость.
Расчет на износостойкость резьбы проводят по допускаемому давлению [р]изн
с последующей проверкой болта на прочность.

Р изн =(F_aₐ)/(πd₂H₁Zв )≤ [р]изн,
где d₂ — средний диаметр резьбы; Н₁ — рабочая высота профиля резьбы; Z в — число витков гайки.
Для проектировочного расчета передачи

d₂ ≥√(F_a/(πψ_(H ) ψ_h 〖[р]〗_изн )),
где ψ_H=(Н₁ )/(d₂), ψ_H≈1,2…2,5 — коэффицент высоты гайки;ψ_h — коэффициент рабочей высоты профиля резьбы; , ψ_H =0,5 (трапецеидальная резьба); ψ_H =0,75 (упорная резьба).
Наружный диаметр гайки
D=1,5d,
где d — наружный диаметр резьбы.

Произвести расчет на износостойкость резьбы, согласно параметром вашего варианта.


Варианта [Ризн] Fa,кН d₂,мм Н₁мм ZB d,мм
1 30 10 9,026 3 10 8,59
2 40 12 10,863 4 8 10,36
3 50 15 14,701 5 12 14,12
4 60 20 18,376 6 10 17,65
5 30 18 22,051 3 8 21,18
6 40 15 27,727 4 12 26,211
7 50 20 33,492 5 10 31,670
8 60 10 10,863 6 8 10,36
9 30 12 14,701 3 12 14,12
10 40 15 22,051 4 10 21,18

Практическая работа № 5
Тема: Расчет ременных передач
Цель: Уметь рассчитывать геометрические характеристики ременных передач; знать формулы для расчета передаточного отношения, межосевого расстояния передачи, длины ремня; знать основы расчета плоскоременных передач по тяговой способности; формулы для определения напряжений в поперечных сечениях ремня.
Ход занятия
Повторить В.П. Олофинская «Детали машин», стр. 43-49.
Рассчитайте ременную передачу, согласно параметрам вашего варианта.
№ варианта Р, кВт

1 5,5 10 15 40
2 6 8 4 60
3 5 12 6 50
4 5,5 8 4 70
5 6,5 10 16 40
6 6 15 20 80
7 7 10 18 90
8 7,5 12 8 60
9 6,5 16 20 70
10 6 14 20 80
11 8 18 26 40
12 7,5 10 18 50
13 7 12 20 70
14 8,5 10 20 80
15 6 8 16 60
16 5 15 22 90
17 5,5 16 24 70
18 6,5 18 10 50
19 7,5 14 8 80
20 6 12 18 60
21 6,5 10 18 40
22 9 8 12 90
23 4,5 14 20 50
24 6,5 10 18 60
25 5,5 12 18 90
26 5 15 20 100
27 7,5 16 8 70
28 8 18 10 40
29 8,5 14 20 60
30 6 12 20 80
Расчет ременной передачи:
Определяется передаточное число:

Определяется диаметр малого шкива:

По таблице диаметр округляется до стандартного
Определяется диаметр большего шкива (без учета скольжения)

Или более точно
Определяется скорость ремня:

Задается межосевое расстояние
Определяется окружное усилие:

Определяется угол обхвата на малом шкиве:

Задается тип ремня и выбирается дополнительное напряжение

Задается толщина ремня:

Или число прокладок. Толщина одной прокладки 1,5 мм.
Определяется сечение ремня:

С2 – коэффициент угла обхвата = 5
— скоростной коэффициент
— коэффициент нагрузки
С0 – коэффициент угла наклона = 50
Определяется ширина ремня:

По таблице подбирается ремень стандартных размеров.
Определяется длина ремня:

Для сшивания длину ремня необходимо увеличить на 0,5

Практическая работа № 6
Тема: Расчет цепной передачи .
Цель: Научиться расчитывать цепную передачу на износостойкость и подбирать цепь по стандарту.
Ход занятия:
Повторить В.П.Олофинская, стр. 50-53.

Геометрические и кинематическме параметры цепной передачи
Основной геометрический параметр цепи – шаг t,мм
Оптимальное межосевое расстояние а=(30…50)t
Длина в цепи в шагах

Lp = 2a/t + (Z_2 + Z_1)/2 + ((Z_2-Z_1)/2π)2 t/a ,
где Z1 и Z2 — число зубьев звездочек.

Число зубьев малой звездочки выбирают из соотношения
Z1 = 29-2u.
Тогда Z2 = Z1u
Окончательное значение межосевого расстояния

Диаметр делительной окружности звездочки d=t/(sin⁡(180°/ʐz)).
Передаточное число u= (ω₁)/(ω₂) = Z_2/Z_1
Передаточное отношение передачи нельзя определять как отношение диаметров делительных окружностей звездочек. В пределах одного оборота звездочки передаточное отношение не остается постоянным, поэтому говорят о средней скорости цепи, м/с:

υ=ωzt/(2 π⦁1000),
где ω, z — угловая скорость и число зубьев звездочки.

Критерии работоспособности и расчет цепной передачи

При проектировочном расчете предварительно определяют шаг цепи по формуле
t ≥ 2,8√((KэT₁)/(z₁[р_ц]m)),
где Kэ — коэффициент эксплуатации, Kэ = КдКсКоКрегКр; Кд —коэффициент динамичности; Кс —коэффициент способа смазывания передачи; Ко —коэффициент наклона передачи к горизонту; K_рег—коэффициент способа регулирования; Кр —коэффициент режима нагрузки; T₁ — вращающий момент на ведущей звездочке; [рц] —допускаемое среднее давление в шарнире; m—число рядов цепи; Z1 = 29 – 2u — минимальное число зубьев ведущей звездочки роликовой цепи.
После подбора цепи по стандарту выбранная передача проверяется на износостойкость по формуле
р_ц=(F_t Kэ)/A≤ [p_ц],

где F_t —окружная сила , F_t=(2T₁)/(d₁); d₁=t/(sin⁡(180°/Z_1)); А — площадь проекции опорной поверхности шарнира, А= d_0 В;
d_0—диаметр оси; В —длина втулки.

Силы в цепной передаче
В цепной передаче ведущая и ведомая ветви натянуты по-разному.
Натяжение ведущей ветви работающей передачи
F₁=Ft+Fо+F υ,
где Ft—окружная сила, передаваемая цепью; Fо —предварительное натяжение от провисания ведомой ветви цепи; F υ —натяжение от центробежных сил.
Предварительное натяжение незначительное и составляет несколько процентов от Ft ; в тихоходных передачах можно пренебречь и натяжением от центробежных сил.
Допускаемое среднее давление

Рассчитать цепную передачу на износостойкость и подобрать цепь, исходя из параметров вашего варианта.

варианта Кд Кс Ко Крег Кр Р,квT ω₁,рад/с ω₂,рад/с [Рц],МПа m dо,мм В,мм
1 0,3 0,01 0,25 0,01 0,7 0,5 21 42 34,3 1 10 30
2 0,4 0,02 0,3 0,02 0,8 1 20 40 34,3 2 12 32
3 0,5 0,03 0,35 0,15 0,9 2 42 85 34,3 3 13 34
4 0,3 0,01 0,2 0,01 0,6 3 63 120 34,3 1 11 33
5 0,4 0,02 0,25 0,02 0,5 4 5,2 12 34,3 2 10 31
6 0,5 0,03 0,3 0,15 0,7 5 105 80 34,3 3 12 30
7 0,3 0,01 0,35 0,01 0,8 6 21 46 34,3 1 13 32
8 0,4 0,02 0,2 0,02 0,9 7 42 84 34,3 2 11 34
9 0,5 0,03 0,25 0,15 0,6 1 63 150 34,3 3 10 33
10 0,3 0,01 0,3 0,01 0,5 2 105 65 34,3 1 12 31

Практическая работа № 8
Тема: Расчёт валов.
Цель: Уметь провести проектировочный и проверочный расчёты вала.
Ход занятия:
1. Повторить В.П.Олофинская , стр. 54-57.
Расчёт валов.
Расчёт валов проводится в два этапа: проектировочный только под действием крутящего момента и проверочный расчёт с учётом крутящего и изгибающего моментов.
Проектировочный (предварительный) расчёт вала проводят по формуле
d≥∛(Мк/0,2[τ_к ] ) ,
Где Мк – крутящий момент, Мк= Т; Т- вращающий момент на валу; d- диаметр вала; [τ_к ] -допускаемое напряжение при кручении, [τ_к ]- 20…30 МПа.
Полученное значение диаметра вала округляют до ближайшего большего размера из ряда чисел R40 по ГОСТ ≪Нормальные линейные размеры≫ (см.табл. П37 Приложения). Форму и размеры вала уточняют при эскизной проработке вала после определения размеров колес, муфт и подшипников, по которым определяют длину шеек и цапф вала.
Проверочный расчёт спроектированного вала проводят по сопротивлению усталости и на жесткость.
Предварительно определяют все конструктивные элементы вала, обработку и качество поверхности отдельных участков. Составляется расчётная схема вала и наносится действующие нагрузки.
Проверочный уточненный расчёт на сопротивление усталости заключается в определении расчётных коэффициентов запаса прочности в опасных сечениях, выявленных по эпюрам моментов с учётом концентрации напряжений.
Принимают , что напряжение изгиба меняется по симметричному циклу, а напряжение кручения – по отнулевому.
Амплитуда цикла изменения напряжений изгиба вала.
σ_а=σ_max=М_и/W_ос ;
Амплитуда отнулевого цикла изменения напряжений кручения
τ_a= σ_max/2=М_к/(2W_p ),
Где Woc, Wp- момент сопротивления изгибу и кручению сечений вала соответственно.
Запас прочности вала:
по нормальным напряжениям S_σ=〖σ_〗_1/(K_σD σ_a )
По касательным напряжениям S_τ= 〖τ_〗_1/(K_τD τ_a ),
Где σ_(-1) – предел выносливости при расчёте на изгиб; 〖τ_〗_1 – предел выносливости при расчёте на кручение; K_(σD ,) К_τD — общий коэффициент концентрации напряжений при изгибе и кручении соответственно:
K_σD= (Kσ/К_d +1/К_F -1) 1/К_v ;
К_τD=(К_τ/К_d +1/К_F -1) 1/К_v ;
Где Kσ,К_τ — коэффициенты снижения предела выносливости за счёт местных концентраторов — галтелей, выточек, поперечных отверстий, шпоночных пазов (эффективный коэффициент концентрации напряжений); К_d-коэффициент влияния абсолютных размеров; К_F- коэффициент влияния обработки поверхности; К_v-коэффициент упрочнения поверхности; значение перечисленных коэффициентов приведены в специальной литературе.
Расчетный коэффициент запаса выносливости в сечении при совместном действии изгиба и кручения
S=(S_σ S_τ)/√(S_σ^2+S_τ^2 ).
Минимально допустимое значение коэффициента запаса прочности 1,6…2,5.
Расчет осей ведут только на изгиб: при расчете неподвижных осей принимают изменения напряжений по отнулевому циклу, при расчете подвижных – по симметричному.
3.Провести проектировочный и проверочный расчеты, исходя из параметров вашего варианта
№ Варианта Р,кВт ω_1, рад/с [τ_к ],МПа G, МПа σ_(-1),МПа 〖τ_〗_1,МПа K_σD К_τD
1 5 25 20 0,8*〖10〗^5 25 30 0,25 0,3
2 6 30 22 0,8*〖10〗^5 25 30 0,15 0,2
3 7 35 24 〖0,8*10〗^5 25 30 0,2 0,25
4 8 40 26 0,8*〖10〗^5 25 30 0,25 0,23
5 9 45 28 0,8*〖10〗^5 25 30 0,22 0,24
6 10 50 30 0,8*〖10〗^5 25 30 0,18 0,26
7 11 55 30 〖0,8*10〗^5 25 30 1,17 0,27
8 12 60 28 0,8*〖10〗^5 25 30 0,2 0,28
9 14 65 26 0,8*〖10〗^5 25 30 0,19 0,29
10 15 70 24 0,8*〖10〗^5 25 30 0,22 0,22

Практическая работа № 9
Тема: Расчет муфт
Цель: Знать принцип подбора стандартных муфт и порядок проверки на прочность основных элементов
Ход занятия
Повторить В.П. Олофинская, стр. 73-77

Проверить на прочность основные элементы фрикционной муфты, исходя из параметров вашего варианта
№ варианта D1, мм D2, мм Z P, кВт
f
1 50 60 2 10 20 0,15
2 55 65 4 15 25 0,16
3 60 70 2 20 30 0,17
4 40 50 4 25 35 0,18
5 45 55 2 30 40 0,18
6 50 60 4 30 45 0,17
7 55 65 2 25 50 0,16
8 60 70 4 10 55 0,15
9 40 50 2 15 60 0,16
10 45 55 4 20 65 0,17

Практическая работа № 10

Тема: Расчет шпоночных соединений.
Цель: Уметь рассчитывать шпоночные соединения на срез и смятие.

Ход занятия:
Повторить В.П Олофинская, стр. 84-86.
Расчет шпоночных соединений

Критерием работоспособности соединения призматическими шпонками является сопротивление смятию боковых поверхностей.
Поперечное сечение шпонки подбирают по каталогу по диаметру вала, потребная длина шпонки l определяется по длине ступицы l = l_ст – 10 мм и уточняется по каталогу (см. табл. П33 Приложения).
Выбранная шпонка проверяется на прочность.
Призматическая шпонка работает на смятие и срез. Стандартные шпонки на срез не рассчитывают, поскольку условия прочности на срез учтено при конструировании.
Условие прочности на смятие
σ_см= 2Т/〖dA〗_см ≤ [σ_см] или σ_см= 2Т/d(h-├ t_1 ) l_p ┤ ≤ [σ_cм],
Где Т- вращающий момент; А_см- площадь смятия; h- высота шпонки; l_p– расчетная длина; для шпонок с плоскими концами l_p= l, для шпонок с закругленными концами l_p= l — b; b- ширина шпонки; t_1- глубина паза на валу.
Допускаемое напряжение смятия при стальной ступице [σ_см]= 130…200 МПа.
Соединение сегментными шпонками проверяют на смятие и срез, так как шпонка узкая.
Условие прочности на срез
τ_с = 2Т/(dbl_p ) ≤ [τ_c ].
Допустимое напряжение среза: [τ_с ]= 70…100 МПа.
Если условие прочности на смятие не выполняется, на вал устанавливают две шпонки. Установка нескольких шпонок сильно ослабляет вал, поэтому в таких случаях используют шлицевые (зубчатые) соединения.
Провести расчет шпоночного соединения, исходя из параметров вашего варианта.


варианта Р, квт d, мм b, мм h, мм t_1,мм ω_1 рад/с l, мм [σ_см ],МПа τ_c,МПа
1 2 50 16 10 6 30 16 130 70
2 1 45 14 9 5,5 35 14 140 80
3 0,9 40 12 8 5 40 12 150 90
4 0,8 35 10 8 5 45 10 160 100
5 0,7 30 10 8 5 50 8 170 75
6 0,6 25 8 7 4 30 6 180 85
7 1 20 6 6 3,5 35 6 190 95
8 0,9 30 10 8 5 40 8 200 70
9 2 35 10 8 5 45 10 150 80
10 0,8 25 8 7 4 50 12 160 90
Практическая работа № 11
Тема: Расчет резьбовых соединений.
Цель: Знать основы расчета на прочность болтов при постоянной нагрузке.
Ход занятия:
Повторить В.П Олофинская, стр. 78-83.

Расчет болта под действием поперечной силы, болт установлен без зазора (рис. 16.5, а). Болт установлен в отверстие из-под развертки, работает на срез и смятие.

Условие прочности на срез: d_c= √((4F_r)/π[τ_c ] ) .
Проверочный расчет на смятие: σ_см= F_r/(d_c δ) ≤[σ_см ].
Расчет болта под действием поперечной силы, болт установлен в отверстие с зазором
(рис. 16.5, б).
Необходимая затяжка создает силу трения, препятствующую сдвигу деталей под действием внешних сил. Затянутый болт работает на растяжение и скручен за счет трения в резьбе.
Потребная затяжка:
F_(зат )≥ F_r/if; F_зат = (KF_r)/if,
Где i — число плоскостей трения; К — коэффициент запаса сцепления, К = 1,3…1,5.
На рис. 16.5, б число плоскостей трения i = 2.
Влияние скручивания болта при затяжке учитывают, увеличивая расчетную нагрузку на 30 %:
F_расч= 1,3F_зат.
Расчетный диаметр болта:
d_p≥√((4F_расч)/π[σ_p ] ) = 1,3 √((KF_r)/if[σ_p ] ).
Формулы для проверочного расчета болтов:
Болт растянут и скручен: σ_э=√(σ_p^2+〖3τ〗^2≤[σ_p ] );
Болт работает на сдвиг: τ_с=F_r/A_c ≤[τ_c ].
Провести расчет болта на прочность при постоянной нагрузке, исходя из параметров вашего варианта.
№ варианта F_r, кН [τ_с ], МПа [σ_см ],МПа d_c, мм δ, мм ƒ [σ_р ],МПа
1 10 240 400 9,026 14 0,04 160
2 9 240 400 10,863 13 0,05 160
3 8 240 400 14,701 12 0,04 160
4 7 240 400 18,376 11 0,05 160
5 6 240 400 9,026 10 0,04 160
6 5 240 400 10,863 9 0,05 160
7 4 240 400 18,376 8 0,04 160
8 3 240 400 14,701 7 0,05 160
9 2 240 400 10,863 6 0,04 160
10 1 240 400 9,026 5 0,05 160

Практическая работа № 12
Тема: Расчет заклепочных соединений.
Цель: Уметь рассчитывать заклепочный шов на прочность
Ход занятия:
Повторить В.П.Олофинская, стр. 90 – 94

Рассчитать на прочность элементы заклепочного шва, согласно параметрам вашего варианта
№ варианта h, мм F, кН

b, мм
1 10 5 140 10 70
2 9 4 140 9 80
3 8 3 140 8 90
4 7 2 140 7 100
5 6 1 140 6 90
6 5 2 140 5 80
7 6 3 140 6 70
8 7 4 140 7 80
9 8 5 140 8 90
10 9 6 140 9 100

Практические работы по разделу:
«Статика сооружений»

Практическая работа № 1
Тема: Исследование геометрической неизменяемости плоских стержневых систем.
Цель: Знать формулу для определения степени свободы систем.
Ход занятия.
1.Повторить Г.Г. Сафонова, стр. 211-225
2.Определить степень свободы нижеуказанных систем

Практическая работа № 2
Тема: Расчет многопролетных статически определяемых шарнирных балок.
Цель: Знать аналитический способ расчета многопролетной статически определяемой шарнирной балки.
Ход занятия.
1.Повторить Г.Г. Сафонова, стр. 225-232

2.Для многопролетной балки построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов М_х

№ Варианта а
(м) в
(м) F
(кН) q_1 (кН/м) q_2
(кН/м)
1 1 0,5 12 2 2,4
2 1,5 1 14 3 2
3 2 1,5 16 2,2 0,8
4 2,5 2 18 1,8 1
5 1,5 0,5 20 3 1,5
6 2,5 1,5 8 3,5 2
7 1,5 0,8 9 2 1
8 5,4 1 11 2,2 1,5
9 2,2 0,8 15 1,8 2
10 1,8 0,6 17 3,5 1,5

Практическая работа № 3

Тема: Расчет статически определимых плоских рам.

Цель: Уметь вычислять степень статической неопределимости рамы. Знать правила определения внутренних усилий в сечениях элементов рамы.

Ход занятия.
Повторить Г. Г. Сафонова, стр. 233-247

Построить эпюры Q_y M_x и N_x для рам, показанных на рисунке.

Практическая работа № 4
Тема: Расчет трехшарнирных арок
Цель: Уметь определять внутренние усилия в сечениях арки.
Ход занятия.
1. Повторить Г. Г. Сафонова, стр. 247-256

Для заданной трехшарнирной арки параболического очертания аналитически определить значения изгибающегося момента, поперечной и продольной сил и построить соответствующие эпюры.

Практическая работа № 5

Тема: Расчет статически определимых плоских ферм
Цель: Уметь определять усилия в стержнях фермы от постоянной и временной нагрузок
Ход занятия.
Повторить Г. Г. Сафонова, стр. 256-267

Определить усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Необходимые данные взять из таблицы.

№ Варианта а
(м) F_1
(кН) F_2
(кН)
1 2 2 10
2 3 6 12
3 4 7 14
4 6 8 16
5 2 9 18
6 3 10 20
7 4 10 12
8 6 9 14
9 2 8 10
10 3 7 18

Практическая работа № 6
Тема: Линии влияния
Цель: Научится строить линии влияния опорных реакций и поперечной силы в указанных сечениях.
Ход занятия:
Повторить лекции «Линии влияния»
Для балки, изображенной на рисунке построить линии влияния опорных реакций А и В, поперечной силы и изгибающего момента в сечении С, используя данные вашего варианта.

№ варианта Р, кН l,м a, м x,м
1 2 8 3 2
2 3 7 4 3
3 4 6 2 1
4 5 8 3 2
5 6 9 4 3
6 5 7 2 1
7 4 6 3 2
8 3 8 4 3
9 2 9 2 1
10 4 7 3 2

Практическая работа № 7
Тема: Определение перемещений в статически определяемых плоских системах
Цель: Уметь определять вертикальное и горизонтальное перемещения в сечениях балок.
Ход занятия
1. Повторить Г. Г. Сафонова, стр. 269-27
2.- Определить вертикальное перемещение в сечении Д для консольных балок, изображенных на рисунке.
— Определить горизонтальное перемещения сечения Д для консольных балок.

Практическая работа № 8
Тема: Расчет статически неопределимых систем методом сил.
Цель: Знать как определяется степень статической неопределимости различного вида систем; сущность расчета статически неопределимых систем методом сил; канонические уравнения метода сил.
Ход занятия:
1. Повторить Г. Г. Сафонова, стр. 277-28
2.Построить эпюру М_х для статически неопределимой рамы по данным вашего варианта.

Практическая работа № 9
Тема: Расчет неразрезных балок.
Цель: Знать уравнение трех моментов; как определяются опорные реакции неразрезных балок; порядок расчета неразрезных балок; как строится суммарная эпюра изгибающих моментов; как определяется максимальный изгибающий момент в пролете с равномерно-распределенной нагрузкой.
Ход занятия:
Повторить Г. Г. Сафонова, стр. 283
2. Для неразрезной балки построить эпюры Q_у и М_х по данным вашего варианта.

Практическая работа № 10
Тема: Расчет подпорных стен.
Цель: Знать расчет подпорных стен на устойчивость и прочность;
уметь определить давление грунта на подпорную стену.
Ход занятия:
Повторить Г.Г. Сафонова, стр.289-294
Определить активное давление (распор) песчаного грунта средней крупности на заднюю грань подпорной стены и пассивное давление (отпор) на переднюю грань фундамента, а также расстояние от уровня подошвы фундамента до линий их действия при следующих данных.

№ варианта

1 2 36 0 2,5
2 2,2 37 0 2,4
3 3 38 0 2,6
4 2 39 0 2,2
5 2,1 40 0 2,4
6 2,3 33 0 2,5
7 2,4 32 0 2,8
8 2,5 31 0 3
9 2,6 30 0 2,9
10 2,7 35 0 2,7
— объемный вес грунта
— угол внутреннего трения
— угол трения грунта о грани стены и фундамента
q – постоянная равномерно распределенная нагрузка

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная:
Аркуша А.И. Техническая механика: Теоретическая механика и сопротивление материалов. ― М.: Высш. шк., 2000. ― 352 с.
Аркуша А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике. ― М.: Высш. шк., 2002. ― 336 с.
Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Детали машин. ― М.: Высш. шк.; Изд. Центр «Академия». 2001. ― 285 с.
Олофинская В.П. Детали машин. – М.: Форум- Инфра –М. 2006
Дополнительная:
Бородин Н.А. Сопротивление материалов. ― М.: Дрофа, 2001.
Вереина Л.И. Техническая механика. ― М.: Изд. центр «Академия»; ИРПО, 2000. ― 176 с.
Ивченко В.А. Техническая механика. ― М.: ИНФРА-М, 2003. ― 157 с.
Олофинская В.П. Техническая механика. М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003.―349с.
Олофинская В.П. Техническая механика. Сборник тестовых заданий. ― М.: ФОРУМ, ИНФРА-М, 2002. ― 132 с.
Эрдеди А.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов. ― М.: Высш. шк.; «Академия», 2001. ― 318 с.

Ответить

Ваш email нигде не будет опубликован. Обязательные поля отмечены *

Вы можете использовать HTML теги и атрибуты <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>